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抛物线及其标准方程(课件)

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抛物线及其标准方程(优秀课件)

抛物线及其标准方程(优秀课件)

抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质

《抛物线及其标准方程》课件

《抛物线及其标准方程》课件

课
人
：
邢
启 强
19
课堂练习 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x
(2)x2= y
1
(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +82y =0
焦点坐标
准线方程
(1) （5，0）
x=-5
(2) （0，—1 ） y= - —1
8
8
(3) （- —5 ，0）
8
x= —5
8
讲
(4)
（0，-2） y=2
10
学习新知 二、标准方程的推导
y
M(x,y)
Ko F x
l
解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为
K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设 M( x, y), FK p ,
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得 ( x p )2 y2 | x p |
L
H
M
F
讲
课
人
：
邢
启 强
6
问题探究
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探 究
H
M· C
？
·F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点 F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
讲
课 人 ：
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 8
l
y
A1
A
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标, 计算弦长(运算量一般较大);

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程 课件
抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M

抛物线及其标准方程(优秀课件)

抛物线及其标准方程(优秀课件)
形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法

抛物线及其标准方程ppt课件

抛物线及其标准方程ppt课件

l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)

3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，

3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)

3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)

4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程 课件

【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】

陈欣妍-抛物线及其标准方程-课件.ppt

陈欣妍-抛物线及其标准方程-课件.ppt
解:∵抛物线焦点坐标为F(0,-2)， ∴抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为x2=-2py,
并且 ∴2p=8， ∴抛物线的标准方程为x2=-8y.
练习3 根据下列条件写出抛物线的标准
方程；
（1）焦点是（3，0）；
y2 12 x
（2）准线方程是x= 1 ； y2 x
4
（3）过点（-3,2）；
抛物线的生活实例 抛球运动
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 图像
是开口向上或向下的抛物线。
y
y
o
x
o
x
抛物线的定义:
· H d M
C
在平面内与一个定点F和
d
一条定直线l(l不经过点F)距离 相等的点的轨迹叫抛物线
·F
l
点F叫抛物线的焦点 直线l 叫抛物线的准线
二、标准方程
解：如图所示建立平面直角坐标系
由于F是定点，直线L是定直线
所以不妨设︱KF︱= p (p>0)
则F（ p ,0）,l : x p
2
2
设点M（x，y），|MH| = d
由定义可知，M满足的几何条件为：
| MF | d
列方程：
(x
p 2
)2
y2
|
x
p 2
|
ly
·M
H
· K o
x F
化简得： y2 = 2px（p＞0）
对抛物线标准方程的初认识
焦点坐标、准线方程
x2 32 y 向上
（0,8） y 8
y2 252 x y2 24 x
yx2 1x28y0
8 3y22 44xx 0
3
向右 向左 向下 向右
（63,0） x 63 （-6,0） x 6

抛物线及其标准方程 课件

抛物线及其标准方程 课件

求它的焦点坐标和准线方程.
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是(0,4);
(2)准线方程是y=-4; (3)经过点A(-3,2);
(4)焦点在直线4x-3y-12=0上; (5)焦点为椭圆x2+4y2=4的顶点.
3、抛物线x2=4y上一点M的纵
坐标为4,则点M与抛物线焦点
的距离为
.
探究 观察动画 ，总结抛物线定义
把平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点
F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线
y
Ｈ
M
思 求抛物线方程如何建 考 立直角坐标系呢？
KO l
Fx
解：如图，以过点F且垂直于l的直线FK为x轴，线段FK的
中垂线为y轴，建立直角坐标系。设|KF|=p,则F(P/2,0)，
y
F
M
O
x
Ｈ
设M(x,y)是双曲线上任意一点，则：
|MF|=|MH|
ＨyM来自即：(x p )2 y2 x p
2
2
两端平方化简得：y2 2px(p 0)
K O Fx
所求双曲线的方程为：y2 2px(p 0) l
探 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 究 能根据上述办法求出它的标准方程吗？
各组分别求解开口不同时双曲线的方程。
图形
标准方程
Ｈ
y
M
y2=2px
O F x (p>0)
y
M
Ｈ
FO
x
yM
F
O
x
Ｈ
y
Ｈ
O
F
x
M
y2=-2px (p>0)
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y2 2 px
p 0
y2 2 px
p 0
x2 2 py
p 0
数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P；
(4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀:
对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左;
看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
四种抛物线的对比
P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离
方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置. (3)焦点坐标中 横（纵）坐标 的值是一次项 系数的1/4，准 线方程中的数 值是一次项系 数的 -1/4.
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y
.M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
o
.
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
y2 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
【讲授新课】
标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
准线方程为: x p 2
【讲授新课】
若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，
【讲授新课】
例4 求满足下列条件的抛物线的标准
方程： （1）过点(-3,2)；
（1）y2
4
x或x2
9
y
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上3.
2

y
M Ox
O
Fx F
（2）y2 16x或x2 8y.
【讲授新课】
例5点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1， 求点M的轨迹方程。
其开口方向有哪几种可能？
y
l
l
OF x
F
F l
向左、向上、向下.
【讲授新课】
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦点想坐:标坐是标(系2p的, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
p 2
4 ，
p 8.
故点 M的轨迹方程为 y2 16x .
【课堂小结】
1．抛物线的定义类似椭圆和双曲线的第二 定义，其离心率 e = 1 ． 2．抛物线有四种标准方程． 3．p 的几何意义是焦点到准线的距离．
4．标准方程中 p 前面的正负号决定了抛物线 的开口方向． 5．求轨迹方程的方法： （1）待定系数法；（2）定义法．
x2 2 py
p 0
求P！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
【讲授新课】
例1 已知抛物线的标准方程是y2＝6x， 求它的焦点坐标和准线方程.
焦点为
( 3 , 0) 2
准线方程为 x = - 3
2
例2 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，－2)，求它的标准方程．
y
lo
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简单 ？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0) x p
2
2
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
x
F（0,－2）
解：因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 p = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方
程是2x2 =－8y .
例3已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线
的标准方程
yl
Fo
x
X=1
解：因为准线方程是 x = 1，所以 p=2 ， 且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛 物线的标准方程是 y2 =－4x .
注意：定点在定直线外．若定点在定直线上，
得到的点的轨迹是什么?
l M
过定点 F 与定直线 l 垂直的直线．F
（椭圆、双曲线的第二定义）
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的 点M的轨迹
当 0<e<1 时，
当__e_>_1___时，
当__e_=_1___时，
点M的轨迹是椭圆； 点M的轨迹是双曲线 点M的轨迹是抛物线
【复习引入】
在初中，我们学习过了二次函数y ax2 bx c(a 0), 知道二次函数的图像是一条抛物线，如：（1）y 4x 2 (2) y 4x2的图像。
2.3.1a抛物线及其标准方程.gsp
【讲授新课】
抛物线的定义：
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点．直线 l 叫做抛物 线的准线．
M
M
HM
lF
【讲授新课】
y
解：以过F且垂直于 l 的直线为x
M(x,y) 轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐
Ko F
标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得
(x
p )2
y2
| x
p |
2
2
两边平方,整理得