3 常系数线性微分方程组

2
6
34
0
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
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对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2)T 满足
(E A)u
5i
5
5
5i
u1 u2
0
解得
u
1
i
,
0.
对特征根2 3 5i的特征向量v (v1, v2 )T 满足
(E
A)u
5i
5
5 5i
v1 v2
形如 (t) etc, c 0, (3)
的解, 其中常数和向量c是待定的.
将(3)代入(1)得
etc Aetc,
因et 0,上式变为
(E A)c 0, (4)
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(E A)c 0, (4)
x' Ax, (3)
方程(4)有非零解的充要条件是: det(E A) 0,
dx Ax, (1) dt
本节主要讨论(1)的基解矩阵的求法.
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一、矩阵指数expA的定义和求法
1 expA的定义
定义 设A为n n常数矩阵,则定义矩阵指数
exp A为下列矩阵级数的和
exp A Ak E A A2 Am
k0 k !
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例1 如果A是一个对角矩阵
a1
A
a2
an
试求出x' Ax的基解矩阵.
解 由(2)得
a1
exp At E
a2
t
a12
a22
1!
an
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t
2
2!
an2
8
a1m
a2m
ea1t
由于: exp Aexp(-A) exp(A (-A)) exp 0 E.
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(3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
由于:
exp(T-1AT ) (T 1AT )k k0 k !
E
(T 1AT )k k1 k ! E
cos t sin t
ie3t
sin t
证明: 当t 0时,由exp At定义知 (0) E;
又因为 ' (t) (exp At)'
A A2 t A3 t 2 Am t m1
1! 2!
(m 1)!
A(E At A2 t2 Am tm ) A exp At A (t),
2!
m!
故(t) exp At是基解矩阵
0 2
t)
exp(00
1 0
t
)
e2t
0
0 0
e2t
{E
0
1 0
t
0 0
12 0
t2 2!
}
e2t
0
0
e2t
1 0
t 1
e2t
1 0
t 1
.
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(2) 基解矩阵的一种求法
对n阶矩阵A设 A T 1JT
其中T为非奇异矩阵, J为Jordan矩阵.
tm
ea2t
m!
anm
例2
试求出x'
2 0
1 2
x的基解矩阵.
解 因为
2 1 2 0 0 1 A 0 2 0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的
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e
ant
9
2 0
0 2
2E,
0 0
12 0 0 0
0 0 ,
故
exp At exp(02
2!
m!
(2)
其中E为单位矩阵, Am为A的m次幂, A0 E,0! 1.
注1: 矩阵级数(2)是收敛的.
由于
Ak
Ak
,
k! k!
而数项级数
Ak
收敛 .
k 1 k !
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注2: 级数
exp At Ak tk E At A2 t2
k0 k !
结论 微分方程组(3)有非零解(t) etc的充要条件是 是矩阵A的特征根, c是与对应的特征向量.
即 (t) etc为(3)解 (E A)c 0有非零解
例3 解
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
A的特征值就是特征方程
det(E
的根,
A)
1
3
3
5
5i, 2
5
3
3 5i.
0
解得
v
i 1
,
0.
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微分方程组x'
3 5
5 3
x的解为
x1
e(35i)t
1 i
,
x2
e(35i ) t
i 1 ;
x1
e(35i ) t
1
i
e3t
(cos
5t
i
sin
5t)
1
i
e3t
cos t i sin t
sin
t
i
cos
t
e3t
2!
在t的任何有限区间上是一致收敛的.
Am t m m!
由于
Akt k
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
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2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB.
由于: exp(A B)
= exp Aexp B
(A B)k
A k 0 i
k! Bj
i0 i! j0 j!
k
k0 l0 k
[
k0 l0
Al Bk l ; l!(k l)!
Al Bk l ];
l!(k l)!
绝对收敛级数的乘法定理
(2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在Baidu Nhomakorabea且
(exp A)1= exp(-A).
T 1 AkT k 1 k !
T 1T T 1(
Ak )T
k 1 k !
T 1(E Ak )T T-1(exp A)T. k 1 k !
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3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理 矩阵
(t) exp At 是(1)的基解矩阵,且 (0) E.
则 eAt T 1eJtT.
其中 J1
J
J2
e J1t
, eJt
eJ2t
J
k
注1: 由eAtT 1 T e 1 Jt知,T 1eJt也是基解矩阵.
,
e
J
k
t
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二 基解矩阵的计算公式
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系
寻求
x' Ax, (1)
常系数线性微分方程组
常系数齐次线性微分方程组 常系数非齐次线性微分方程组
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一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在 a t b上连续的向量函数;
若f (t) 0,则对应齐线性微分方程组为