周期系数高阶线性微分方程的次正规解

华 南师 范大 学学报 （自然科学版）
２１ ０ ０年 ２月
Ｆｅ ｂ． ２Ｏ１ Ｏ Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴＨ ＣＨＩ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＲＳＩＹ ＶＥ Ｔ
２１ ０ ０年 第 １期
Ｎｏ ．１，２０１ ０
（ Ａ ＵＲ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｅ ＩＩ Ｎ） Ｎ Ｔ Ａ ＣＥ Ｃ ＤＴＯ
其 中 ｇ （） ： ： 是关 于 的多项式 且 ｄｇ ｇ ｝ ． ｅ ｛ ： ≥１ （） ３ 如果 ｄｇＰ ＜ｄｇＰ ， ｅ ｅ 那么 方程 （ ） １ 唯一 的
次 正规解 厂 ） ０ （ － ． ＝ （） ４ 如果 ｄｇＰ ＝ ｅ ， 么 ｚ 的表示 ｅ ， ｄｇＰ ≥１ 那 ） 形式 为 ｚ ［ ｅ）＋ ：ｅ ］ ）＝ ｇ （ ｇ （ ） ＋
其 中 卢 和 是复 常数 ， ） （＝１２ ３４ 均 是关 。 ｇ（ ，， ，）
于 的多项 式．
定义 ２ 设 厂 ）≠０是 方 程 （ ） （ １ 的解 且 满 足 Ｐ （ ＝ ，则称 ｆ ｚ 为 方 程 （ ） ０ （） １ 的次 正 规 解 ．特 别 地 ，称 Ｚ －０也 是方 程 （ ） ） ＝ １ 的次 正规 解． 关 于方 程 （ ） １ 的次 正 规解 的研 究 ，我 们 可 以参
考 虑二 阶齐次线 性 微分方 程
）＝ ｅ ， ｇ （ ）
厂 Ｐ （ ＋［ ｅ）＋Ｑ （ 一）厂 ＋ 。ｅ ］ ［ ： ｅ）＋Ｑ （ ）／＝ ， Ｐ （ ： ｅ ］ ｏ （） １
其 中 Ｐ （ ，Ｐ （ ） 和 Ｑ （ ） 是 关 于 ｚ的 ） Ｚ ，Ｑ （ ） ｚ均
பைடு நூலகம்
ｎ一１ ）不全 为常数．在条件 ｄｇ尸 ＜ ｅ ０（ ， ， ｅ ｄｇ尸 ＝１２ …，ｎ一１ 下 ， ） 获得方程 的次 正规 解的表 示．
关 键 词 ： 阶 线 性 微 分 方 程 ；次 正规 解 ；周 期 系数 高 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１４ ５ 文 献 标 志 码 ： Ａ
式 且不 全为 常数．
均是 关 于 ｚ的多项式 ， 不 全 为 常数．在文 献 ［ ］ 且 ３、
［］ ， ４ 中 获得方 程 （ ） ３ 的所 有次 正规解 的表 示 ，即 定 理 Ｂ ４ 设 ｚ 是 方程 （ ） －］ ） ３ 的次正 规解 ， 其 中 Ｐ （ ） Ｐ （ ） Ｑ （） （ ） Ｒ （ ） Ｒ （ ） ， 。 ｚ ， ， Ｚ ， 和 ： ｚ 是
ｚ 的表 示形式 为 ）
收 稿 日期 ： ０ ９— ３— ０ ２０ ０ ３
）＝ ［ ｅ）＋ｇ（ 。） ， ｇ （ ２ ｅ ］
基 金项 目：国家 自然科学基金 资助项 目（０ ７ ０ ６ ； １８ １７ ） 华南师范大学数 学科学 学院青年教师基金资助项 目 作者简介 ：黄志波 （ ９７ ）， 江西东 乡人 ， 士， １７ ～ 男， 博 华南师范大学讲师 ，主要研究方 向：复域差分方程和复域微分方程 ，Ｅ ａｌｈｌ，０ １ ＠ｓ ｍ ｉ Ｔ ２ ０９ ｉ ： ｘ ・
摘要 ： 考虑周期 系数高 阶线性微分方程
，’ ‘ ＋∑ ［ ， ＋ 一（ ） ＝ Ｉ ＋ ２ｅ） 一ｅ Ｑ ｅ ｌ （） 厂 Ｒ（ ） （ ， ｅ
：ｌ
其 中 ｎ （ ） Ｑ （ ） （：０ １２ … ， ≥２， ， ｆ＝ Ｊ ， ，， ｎ一１ ， ｌｚ 和 尺 （） 是 关 于 的 多项 式 ， 尸 （） Ｑ （） ） Ｒ （） ：ｚ均 且 ， ， ｆ
Ｎ ａ ．ｃ ｏｍ ．
通 讯 作 者
６
华 南 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版）
２１ ００年
关于 ： 的多 项式 ， 不全 为 常数． 且
（） １ 如果 ｄｇＰ ＞ ｅ ２ Ｐ ＋Ｑ －０， 么方 ｅ １ ｄ ｇＰ 和 ２ ２ 那 程 （） １ 的任一 次正 规解必 为 常数．
（） ２ 如果 ｄ ｇＰ ＞ｄ ｇＰ ｅ １ ｅ ２和 Ｐ ２＋Ｑ ≠０， 么 ２ 那
（） １ 如果 ｄ ｇ ＞ｄｇＰ ｅ Ｐ１ ｅ ２和 ｄｇＰ ＞ ｅ ， ｅ １ ｄ ｇ Ｒ１ 那 么 ｚ 的表示 形式 为 ）
［ ， ｅ）＋ ｅ ） ， ｇ （ ｇ （ ］
多项 式 ， 不 全为 常数．众 所周 知 ， 且 方程 （ ） １ 的所 有
解 均 为整 函数 ． Ｊ
定义 １ 设 ｚ 为整 函数 ， 函数 ＝ 的 ｅ ） 则 ） 一型 级 定 义为
Ｊ（ ： Ｄ ． （） ２
文 章 编 号 ：１０ ５ ６ （０ ０ ０ — ０ ５ ４ ０ ０— ４ ３ ２ １ ） １ ０ ０ —０
周 期 系数 高 阶线 性 微 分 方 程 的次 正 规解
黄志波 李 ， 倩
（． １华南师 范大学数学科学学院 ， 广东广州 ５ ０ ３ ；． １６ １２ 华南农业大学应用数 学系 ， 广东广州 ５０ ４ ） １６ ２
考 文 献 ［ ］ ７ ．在 文献 ［ ］ ，黄 志 波 和陈 宗煊 ２ ］ ２中
给 出了方程 （ ） １ 的所有 次正 规解 的表 示 ，即 ： 定理 Ａ 设 ｆ ） 方 程 （ ） 次 正规 解 ， （ 是 １的 其 中 Ｐ （ ） Ｐ （ ） Ｑ （ ） Ｑ （ ） 是关 于 的多项 ， ｚ ， 和 均
考 虑更一 般 的微分 方程
／ ＋［ 。ｅ）＋Ｑ （ 一）厂 ＋［ ｅ） ｅ ］ Ｐ （ 。ｅ ］ Ｐ （ ＋Ｑ （ 一）厂＝
尺 （ Ｒ （ ） ｅ）＋ ： ｅ ， （） ３ 其 中 Ｐ （ ） Ｐ （ ） Ｑ （ ） Ｑ （ ） Ｒ （） Ｒ （ ） ： ， ： ｚ ， ， ｚ ， 和