第三篇常微分方程第六章常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．第一节微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．1．1引例引例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程．解设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得x dxdy 2=. 两边同时积分得2y x c =+（c 为任意常数）． 又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为21y x =+．引例2将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系．解依照冷却定律，冷却方程为kt dtdT -=（k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =．以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．下面我们介绍有关微分方程基本概念．1.2微分方程的基本概念定义1含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．例如下列微分方程中，（1）13=-'x y ；（2）sin 0dy y xdx +=；（3）21()20y y x'''++= （4）22221u u x y∂∂+=∂∂；（5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．本课程只讨论常微分方程．定义2微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．一般地，n 阶微分方程记为：0) , , , ,()(='n y y y x F ．定义3若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ϕ代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ϕ是微分方程的隐式解． 定义4微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是00y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00y y x x ==，10y y x x ='=，上述这些条件叫做初始条件．定义5求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00y y x x ==的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x ． 例1验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程的解．解at c at c x sin cos 21+=的一阶导数x '和二阶导数x ''分别是at a c at a c x cos sin 21+-='，at a c at a c x sin cos 2221--=''()at c at c a sin cos 212+-=．把x '和x ''代入微分方程中，()++-at c at c a sin cos 212()0sin cos 212≡+at c at c a ．因此，at c at c x sin cos 21+=是微分方程的解．如果1c 、2c 是任意常数，则解at c at c x sin cos 21+=是二阶微分方程02=+''x a x 的通解．例2已知xe x C C y -+=)(21是微分方程0222=++y dx dy dx y d 的通解，求满足初始条件40==x y ，20-='=x y 的特解．解由题意得x x e x C C C e x C C y ----='+=')(])[(21221，把40==x y ，20-='=x y 分别代入得⎩⎨⎧-=-=24121C C C , 即⎩⎨⎧==2421C C ， 于是微分方程的特解为x e x y -+=)24(．习题6-11．指出下列各微分方程的阶数．（1）d d 0x y y x +=；（2）2()20x y y xy ''-+=；（3）2y yy y x '''+-=；（4）2()y y y x y ''''''+=+；(5)352cos y y y y ''''-=-；(6)22x y dxdy +=； （7）022=++C Q dt dQ R dt Q d L ；（8）θρθρ2sin =+d d ． 2.验证下列函数是所给的微分方程的解．（1）sin ,cos x y xy y x x'=+=；（2）,20x y e y y y '''=-+=； （3）2221,1y x y x y xy x'=-=++；（4）2221,(1)2y x y y x y x '=+=-++． 3．验证函数1x y Ce x -=+-是微分方程y y x '+=的解，并求满足初始条件02x y ==的特解．4．写出下列条件确定的曲线)(x y y =所能满足的微分方程．（1）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．（2）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率与该点横坐标成正比．5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了着名的Malthus 人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t 表示时间（变量），x 表示人口总数（依赖于时间变化），k 表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，渐渐地，小树长高了并且长得越来越快，几年之后，绿荫底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来．如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H (m),在t (年)时的高度为),(t h 0>k 的是比例常数）第二节可分离变量微分方程本节我们讨论的是一阶微分方程),(y x f y ='的解法．2.1可分离变量微分方程引例微分方程y x e dxdy -=，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形： dx e dy e x y =，此时，方程右边是只含x 的函数的微分，方程左边是只含y 的函数的微分，对上式积分，得⎰⎰=dx e dy e x y ，即C e e x y +=（C 为任意常数）．这就是微分方程的通解．一般地，一阶微分方程),(y x f y ='，如果能变形为的形式，则方程),(y x f y ='称为可分离变量的微分方程．此处，)(),(y g x f 为连续函数．根据以上所述，解可分离变量的微分方程),(y x f y ='的步骤如下：第一步：分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式；第二步：两端积分：⎰⎰=dx x f dy y g )()(；第三步：求得微分方程的通解C x F y G +=)()(，其中)(),(x F y G 分别为)(),(x f y g 的原函数．例1求微分方程2dy xy dx=的通解． 解将方程分离变量，得到dy y =xdx 2， 两边积分，即得12||ln C x y +=，即2112x C C x e e e y ±=±=+．由于1C e ±是任意非零常数，又0=y 也是方程的解，故原方程的通解为2x Ce y =（C 为任意常数）． 注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象： ⎰⎰=dx x f y g dy )()()0)(()()(≠+=→y g C x F y G ．如果存在0y ，使得0)(0=y g 满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并C x F y G +=)()(．如果0y 不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解．例2求微分方程110dy y y dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的解．解将方程分离变量，得到110dydx y y =⎛⎫- ⎪⎝⎭，两边积分:110dydx y y =⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1ln 10y x C y =+-，整理得方程的通解是 x cey -+=110（1c e c -±=为任意非零常数）． 由于1010y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得01=y ，102=y 也是方程的解． 另外，10=y 包含在通解中，0=y 不含在通解中，故原方程的解为x cey -+=110（c 为任意常数）和0=y ． 例3镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量)(t M M =成正比．当0=t 时，0M M =．求镭的存量与时间t 的函数关系．解由题意得)0(,>-=k kM dtdM ． 满足初始条件00|M M t ==．此微分方程为变量分离方程，变量分离，得kdt MdM -=， 积分，得C kt M ln ln +-=，即kt Ce M -=．将初始条件00|M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律为kt e M M -=0．2.2齐次方程如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换，化为可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种．如果),(y x f y ='可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ， 的形式，则称此方程为齐次方程．例如微分方程0)(22=-+xydy dx y x 可化为xyy x dx dy 22+=， 即等号右边分子、分母同除以2x ，得x y x y dxdy 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 故此方程为齐次方程．齐次方程的解法：令xy u =，则ux y =，u x u y +'='，代入齐次方程 )(u dxdu u ϕ=+， 即x dx u u du =-)(ϕ， 为变量分离方程．例4求微分方程x y x y y tan +='的通解． 解令xy u =，则ux y =，u x u y +'='，代入上式，得 u u u x u tan +='+，化简，分离变量，得dx xdu u u 1sin cos =， 积分，得C x u ln ln sin ln +=，即Cx u =sin ． 把xy u =回代，得原方程的通解 Cx xy =sin ． 思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？mm k k m k m m mm k k m k m m y b y x b y x b x b y a y x a y x a x a dx dy ++++++++++=---- 110110， 特点：分式中分子与分母的各项中x 与y 的幂次之和无一例外的“整齐”——m 次，则该微分方程是齐次方程．例5求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解．解原方程可化为x y x y dxdy 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 令xy u =，则ux y =，u x u y +'='，代入上式，得 uu u x u 21+='+， 化简，分离变量，得dx xudu 1=， 积分，整理，得C x u +=||ln 22， 把xy u =回代，得原方程的通解 ()C x x y +=||ln 222．习题6-21．求下列微分方程的通解．（1）(ln )0x x y y '-=；（2）sin d 2cos d x y y x x =；（3）ln xy y y '=；（4）(1)d (1)d 0y x x y ++-=； (5)y y x dx dy +=21；(6)2(0).dy x xy y x dx +=<； (7)21y y e dx dy x +=；(8)yt ty y dt dy 321++=． 2．求下列微分方程在初始条件下的特解．（1）0(1),1x x x e yy e y='+==；（2）2d (1)d ,1x y x x y y ==-=； （3）42,1x y x y y ='==；(4)2cos dy y x dx=,10==x y ． 3．求下列齐次方程的通解或特解． （1）02222=---'x y y y x ；（2）0ln =-'xy y y x ； （3）0)(22=++-dy y x x ydx ； (4)0cos 3)cos 3sin 2(=-+dy xy x dx x y y x y x ； （5）02)3(22=--xydx dy y x ，10==x y ；（6）x y y y x 2)2(-='+，21==x y ．4．作适当的变量代换，求下列微分方程的通解（1）2)(y x dxdy +=；（2）0)(22=-+xydy dx y x ； （3）13dy x y dx x y -+=+-；（4）2)(1y x dx dy +=． 5．已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比．由经验材料得知，镭经过1600年后，只剩余原始量的一半．试求镭的质量与时间的函数关系．6．假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比．已知最初价格为0R ，试求t 年后的价格()R t ．7．由物理学知道，物体冷却的速率与当时物体的温度和周围环境温度之差成正比．现在把100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃的环境中冷却，5min 中后测得水温为60℃.求水温x （℃）与时间t （min ）之间的函数关系．8．探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状由xOy 坐标面上的一条曲线L 绕x 轴旋转而成．按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（x 轴）上一点O 处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴（x 轴）平行．求曲线L 的方程．第3节 一阶线性微分方程3．1一阶线性齐次微分方程形如0)(=+y x P dxdy （6-3-1） 的方程，叫做一阶线性齐次微分方程．方程（6-3-1）是可分离变量的微分方程，分离变量，得dx x P ydy )(-=， 两端积分，得⎰-=dx x P y )(ln ，整理，得⎰=-dx x p Ce y )(（1c e C ±=），其中0=y 也是方程的解．一阶线性齐次微分方程的通解为⎰=-dx x p Ce y )(（C 为任意的常数）．3．2一阶线性非齐次微分方程方程（6-3-2）且0)(≠x Q 则方程（6-3-2）叫做一阶线性非齐次微分方程．现在我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解．这个方法是把（6-3-1）的通解中的C 换成x 的未知函数)(x c ，即作变换⎰=-dx x p e x c y )()(， （6-3-3） 于是⎰-⎰'=--dx x p dx x p e x P x c e x c dxdy )()()()()(． （6-3-4） 将（6-3-3）和（6-3-4）代入（6-3-2）得)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e x c dx x p dx x p dx x p =⎰+⎰-⎰'---，两端积分得C dx e x Q x c dx x p +⎰=⎰)()()(，代入（6-3-3）得方程（6-3-2）的通解))(()()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰-．（6-3-5）上述方法求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤，可以总结为：（1）先求对应的齐次方程的通解；（2）将齐次方程通解中的常数C 变换为待定函数()C x ，代入原方程，求出()C x ，得到非齐次方程的通解．这种方法称为常数变易法．例1求微分方程x e y y x =+'的通解．解原方程即xe y x y x=+'1，这是一阶线性非齐次微分方程，其中 xe x Q x x P x==)(,1)(， （I ）：常数变易法 先求原方程对应的齐次方程10y y x'+=的通解.分离变量得 d d y x y x=-， 两边积分，得1ln ln ln ln C y C x x=+=，（为了方便计算记C C ln =） 故C y x=， 将上式中的任意常数C 变换成函数()C x ，即设原来的非齐次微分方程的通解为()C x y x=， 则2()()xC x C x y x '-'=， 将y 和y '代入原方程，得22()()()xxC x C x C x e x x x'-+=， 整理得()x C x e '=，两边积分，得()x C x e C =+，故原方程的通解为1()x y e C x=+， （II ）：公式法将)(),(x Q x P 代入公式（6-3-5），得)(1C e xx +=． 例2求微分方程cos cos y y x x '+=满足初始条件01x y ==下的特解.解这是一阶线性非齐次微分方程，其中()cos ,()cos P x x Q x x ==套用公式（6-3-5），得 把初始条件01x y ==代入上式，得0C =，故所求的特解是1y =．例3求微分方程22yx y dx dy -=， 的通解．解上述微分方程可改写为yy x dy dx 22-=， 即y yx dy dx -=-2， 为关于未知函数x 的微分方程，其中yy P 2)(-=，y y Q -=)(，套用公式（6-3-5），得 3．3贝努利方程方程n y x Q y x P dxdy )()(=+（1,0≠n ）（6-3-6） 叫做贝努利方程．这个方程不是线性方程，但可以通过变量代换化为线性方程．事实上，对于上式两端同除以n y ，得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+--（6-3-7） 令n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n--=)1(， 用（n -1）乘方程（6-3-7），得)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+， 求出方程的通解后，以n y -1代z 得贝努利方程的通解．例4求方程的通解．解以2y 除以方程两端，得x y xdx dy y ln 112=+--， 令1-=y z ，则上述方程成为.ln 1x z xdx dz -=-， 它的通解为])(ln 21[2x C x z -=， 以1-y 代z ，解得方程的通解为1])(ln 21[2=-x C yx ． 习题6-31．求出下列微分方程的通解．（1）x xy dxdy 42=+； （2）232++=+'x x y y x ； （3）x e x y y sin cos -=+'； （4）22cos x y xy e x '-=；（5）22(1)1y y x x '-=++；（6）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解．（1）x x x y dx dy sin =+，1==πx y ；（2）10,2x xy y y ='-==； （3）0cos ,0y y x y='-==；（4）42,1x y x y y ='==； （5）0(1),1x x x e yy e y ='+==；（6）2d (1)d ,1x y x x y y ==-=；3.求解下列贝努利方程的通解．（1）23ty ty dt dy =-；（2）5tx x dtdx =-； （3）4)21(3131y x y dx dy -=-；（4）2(cos sin )dy y y x x dx+=-．4.一容器内盛盐水100L ，含盐50g 现以L g c /21=的盐水注入容器内，其流量为m in /31L =φ．设注入盐水与原有盐水被搅拌成均匀的混合液，同时，此混合液有以流量为m in /22L =φ流出．试求容器内的含盐量与时间t 的函数关系．5.设有一质量为m 的质点作直线运动．从速度为零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，此外还受到与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力．求质点运动的速度与时间的函数关系．第4节可降阶的高阶微分方程4.1)()(x f y n =型微分方程微分方程)()(x f y n =的右端仅含有自变量x ，可以对微分方程两边积分，得到一个1-n 阶的微分方程同理可得依次继续进行，积分n 次，便得方程)()(x f y n =的含有n 个任意常数的通解．例1求微分方程x e y x cos 2-=''的通解．解对所给方程接连积分两次，得C x e y x +-='sin 212， 22cos 41C Cx x e y x +++=， 记C C =1，原方程的通解22cos 41C Cx x e y x +++=． 例2求方程0)3()4(=-y xy 的通解．解设),(x P y ='''代入方程,得)0(0≠=-'P P P x ，解线性方程得x C P 1=1(C 为任意常数)，即x C y 1='''，两端积分得22121C x C y +=''， 32316C x C x C y ++='， 再积分得到方程的通解为432241224C x C x C x C y +++=， 其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.例3质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动．设力F 仅是时间t 的函数?F ?F (t )．在开始时刻t ?0时F (0)?0F ，随着时间t 的增大，此力F 均匀地减小，直到t ?T 时，0)(=T F ．如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律．解设)(t x x =表示在时刻t 时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =． 由题设，力)(t F 随t 增大而均匀地减小，且t ?0时，F (0)?0F ，所以kt F t F -=0)(；又当t ?T 时，F (T )?0，从而)1()(0Tt F t F -=． 于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=， 其初始条件为0|0==t x ，0|0==t dtdx ． 把微分方程两边积分，得120)2(C Tt t m F dt dx +-=， 再积分一次，得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=， 由初始条件x |t ?0?0，0|0==t dtdx ，得021==C C ． 于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=，0?t ?T ． 4.2),(y x f y '=''型微分方程方程),(y x f y '=''(6-4-1)的右端不显含未知函数y ，如果我们设p y ='，则方程化为),(p x f p ='，这是关于p x ,的一阶方程，设),(p x f p ='的通解为p ??(x ?C 1)，则),(1C x dxdy ϕ=， ?对它进行积分，原方程的通解为?21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例4求微分方程(1?x 2)y ???2xy ?满足初始条件y |x ?0?1?y ?|x ?0?3的特解．解所给方程是y ???f (x ?y ?)型的．设y ??p ，代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得ln|p |?ln(1?x 2)?C ，即p ?y ??C 1(1?x 2)(C 1??e C )．由条件y ?|x ?0?3，得C 1?3，所以y ??3(1?x 2)．两边再积分，得y ?x 3?3x ?C 2．又由条件y |x ?0?1，得C 2?1，于是所求的特解为y ?x 3?3x ?1．4.3),(y y f y '=''型微分方程方程),(y y f y '=''(6-4-2)的右端不显含自变量x ，y '看作未知函数)(y p ，即令y ??p ，并利用复合函数的求导法则把方程化为dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''． 原方程化为),(p y f dydp p =． 设方程),(p y f dydp p =的通解为y ??p ??(y ?C 1)?则原方程的通解为 21),(C x C y dy +=⎰ϕ．例5求微分方程yy ???y ?2?0的通解．解设y ??p ，则dydp p y =''，代入方程?得 02=-p dydp yp ．在y ?0、p ?0时，约去p 并分离变量，得ydy p dp =， 两边积分得c y p ln ln ln +=，即p ?Cy 或y ??Cy (C ??c )．再分离变量并两边积分?便得原方程的通解为1ln ln c Cx y +=，即y ?C 1e Cx (C 1??c 1)．例6求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.解令,p y ='由,dy dp py =''代入方程并化简得 )1(2-=p dydp y ， 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得12+='=Cy y p ，再分离变量,得dx Cy dy =+12， 由初始条件1)0(=y ，2)0(='y 得出1=C ，从而得dx ydy =+21， 再两边积分,得1arctan C x y +=或)tan(1C x y +=，由1)0(=y 得出41arctan 1π==C ，从而所求特解为)4tan(π+=x y ． 习题6-41．求下列各微分方程的通解．（1）x x y sin +=''；（2）0='+''y y x ；（3）y y y '+'=''3)(；（4）3221yx d y d -=；2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解．（1）0,1,1113='=-=''==x x y y y y ；（2）0,0,002='==''==x x y y y e y ；（3）0,111=''='=='''===x x x ax y y y e y ；（4）2,1,300='==''==x x y y y y ．3．设有一质量为m 的物体，在空中静止开始下落，如果空气阻力为cv R =（其中c 为常数，v为物体运动的速度），试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系．第5节 二阶线性微分方程本节课，我们主要讨论二阶线性微分方程解的结构及其解法.5.1二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式为y ???P (x )y ??Q (x )y ?f (x )，若方程右端f (x )?0时，方程称为齐次的；否则称为非齐次的.先讨论二阶齐次线性方程y ???P (x )y ??Q (x )y ?0，即0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d . 定理1如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ???P (x )y ??Q (x )y ?0，的两个解，那么y ?C 1y 1(x )?C 2y 2(x )，也是方程的解，其中C 1、C 2是任意常数.证明对y ?C 1y 1(x )?C 2y 2(x )求一阶导得[C 1y 1?C 2y 2]??C 1y 1??C 2y 2?，再求二阶导得[C 1y 1?C 2y 2]???C 1y 1???C 2y 2??.因为y 1与y 2是方程y ???P (x )y ??Q (x )y ?0的解，所以有y 1???P (x )y 1??Q (x )y 1?0及y 2???P (x )y 2??Q (x )y 2?0，从而[C 1y 1?C 2y 2]???P (x )[C 1y 1?C 2y 2]??Q (x )[C 1y 1?C 2y 2]?C 1[y 1???P (x )y 1??Q (x )y 1]?C 2[y 2???P (x )y 2??Q (x )y 2]?0?0?0.这就证明了y ?C 1y 1(x )?C 2y 2(x )也是方程y ???P (x )y ??Q (x )y ?0的解.下面讨论函数的线性相关与线性无关：设y 1(x )?y 2(x )?????y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数.如果存在n 个不全为零的常数k 1?k 2?????k n ?使得当x ?I 时有恒等式k 1y 1(x )?k 2y 2(x )?????k n y n (x )?0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关.对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关.例如，1-cos2x，sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数x，5x2在任何区间(a,b)内是线性无关的.定理2如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线性无关的解，那么y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常数) 是方程的通解.例1验证y1?cos x与y2?sin x是方程y???y?0的线性无关解，并写出其通解.解因为y1???y1??cos x?cos x?0，y2???y2??sin x?sin x?0，所以y1?cos x与y2?sin x都是方程的解.由于不恒为常数，所以cos x与sin x在(??,??)内是线性无关的.因此y1?cos x与y2?sin x是方程y???y?0的线性无关解.方程的通解为y?C1cos x?C2sin x.推论1如果y1(x)?y2(x)?????y n(x)是方程y(n)?a1(x)y(n?1)?????a n?1(x)y??a n(x)y?0的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为y?C1y1(x)?C2y2(x)?????C n y n(x)?其中C1?C2?????C n为任意常数.定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解?那么y?Y(x)?y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.例如，Y?C1cos x?C2sin x是齐次方程y???y?0的通解，y*?x2?2是y???y?x2?的一个特解，因此y?C1cos x?C2sin x?x2?2是方程y???y?x2的通解.定理4设非齐次线性微分方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)几个函数之和，如y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解，那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解.5.2常系数齐次线性微分方程先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程.方程y ???py ??qy ?0(6-5-1)称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y ?C 1y 1?C 2y 2就是它的通解.由定理2可知，要求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解.为此，我们分析一下方程(6-5-1)有什么特点.容易看出，二阶常系数线性微分方程(6-5-1)的左端是,,y y y '''分别乘以“适当”的常数后，可以合并成零，这就是说，适合于方程(6-5-1)的函数y 必须与其一阶导数、二阶导数之间只差一个常数因子.而指数函数rx y e =（r 为常数）就是具有此特征的最简单的函数.因此可用函数rx y e =来试解（r 是待定常数）.将2,,rx rx rx y e y re y r e '''===代入方程(6-5-1)得因为0rx e ≠，所以有20r pr q ++=(6-5-2)由此可见，只要r 是代数方程(6-5-2)的根，那么rx y e =就是微分方程(6-5-1)的解.于是微分方程(6-5-1)的求解问题，就转化为求代数方程(6-5-2)的根的问题.代数方程(6-5-2)称为微分方程(6-5-1)的特征方程.特征方程20r pr q ++=是一个一元二次代数方程，它的根有三种情况，因此微分方程(6-5-1)的解也有三种情况：由一元二次方程的求根公式，有21,242p p q r -±-= (1)当240p q ->时，特征方程(6-5-2)有两个不相等的实根1r 和2r ，则方程(6-5-1)有两个线性无关的特解1212,r x r x y e y e ==.这是因为，函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解，又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2)当240p q -=时，特征方程(6-5-2)有两个相等的实根122p r r r ==-=，则方程(6-5-1)只得到一个特解1rx y e =，这时直接验证可知2rx y xe =是方程(6-5-)得另一个特解，且1y 与2y 线性无关，因此微分方程(6-5-1)的通解为1212()rx rx rx y C e C xe C C x e =+=+(3)当240p q -<时，特征方程(6-5-2)有一对共轭复根1,2r i αβ=±，其中24,022q p p αβ-=-=≠.则方程(6-5-1)有两个线性无关的复数形式的特解()()12,i x i x y e y e αβαβ+-==.而在实际问题中，常用的是实数形式的解，为了得到实数形式的解.我们先利用欧拉公式cos sin ix e x i x =+把12,y y 改写为由本节定理1知，微分方程(6-5-1)的两个解的线性组合仍是它的解，因此实数函数仍是微分方程(6-5-1)的解，且它们线性无关，因此方程(6-5-1)的通解为综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解的步骤如下：（1）写出微分方程(6-5-1)的特征方程20r pr q ++=；（2）求出特征方程的两个根1r ，2r ；（3）根据两个根的不同情形，按下表写出微分方程(6-5-1)的通解： 特征方程20r pr q ++=的两个根1r ，2r微分方程0y py qy '''++=的通解 两个不相等的实根1r ，2r两个相等的实根122p r r r ==-=一对共轭复根1,2r i αβ=±例1求微分方程y ???2y ??3y ?0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2?2r ?3?0，即(r ?1)(r ?3)?0.其根r 1??1，r 2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为y ?C 1e ?x ?C 2e 3x .例2求方程y ???2y ??y ?0满足初始条件y |x ?0?4、y ?|x ?0??2的特解.解所给方程的特征方程为r 2?2r ?1?0，即(r ?1)2?0.其根r 1?r 2??1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为y ?(C 1?C 2x )e ?x .将条件y |x ?0?4代入通解，得C 1?4，从而y ?(4?C 2x )e ?x ，将上式对x 求导，得y ??(C 2?4?C 2x )e ?x .再把条件y ?|x ?0??2代入上式，得C 2?2.于是所求特解为x ?(4?2x )e ?x .例3求微分方程y ???2y ??5y ?0的通解.解所给方程的特征方程为r 2?2r ?5?0.特征方程的根为r 1?1?2i ?r 2?1?2i ?是一对共轭复根，因此所求通解为y ?e x (C 1cos2x ?C 2sin2x ).方程y (n )?p 1y (n ?1)?p 2y (n ?2)?????p n ?1y ??p n y ?0，称为n 阶常系数齐次线性微分方程，其中p 1?p 2?????p n ?1?p n 都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D ?及微分算子的n 次多项式：L (D)=D n ?p 1D n ?1?p 2D n ?2?????p n ?1D ?p n ，则n 阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n ?p 1D n ?1?p 2D n ?2?????p n ?1D ?p n )y ?0或L (D)y ?0.注：D 叫做微分算子D 0y ?y ?D y ?y ??D 2y ?y ???D 3y ?y ????????D n y ?y (n )?分析：令y ?e rx ，则L (D)y ?L (D)e rx ?(r n ?p 1r n ?1?p 2r n ?2?????p n ?1r ?p n )e rx ?L (r )e rx .因此如果r 是多项式L (r )的根，则y ?e rx 是微分方程L (D)y ?0的解.n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：L (r )?r n ?p 1r n ?1?p 2r n ?2?????p n ?1r ?p n ?0称为微分方程L (D)y ?0的特征方程.根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：（1）单实根r 对应于一项：Ce rx ；（2）一对单复根r 1?2???i ?对应于两项：e ?x (C 1cos ?x ?C 2sin ?x )；（3）k 重实根r 对应于k 项：e rx (C 1?C 2x ?????C k x k ?1)；（4）一对k 重复根r 1?2???i ?对应于2k 项：e ?x [(C 1?C 2x ?????C k x k ?1)cos ?x ?(D 1?D 2x ?????D k x k ?1)sin ?x ].这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解例4求方程y (4)?2y ????5y ???0的通解.解这里的特征方程为r 4?2r 3?5r 2?0，即r 2(r 2?2r ?5)?0.它的根是r 1?r 2?0和r 3?4?1?2i .因此所给微分方程的通解为y ?C 1?C 2x ?e x (C 3cos2x ?C 4sin2x ).例5求方程0444=+w dx wd β的通解，其中??0.解这里的特征方程为r 4??4?0. 它的根为)1(22,1i r ±=β?)1(24,3i r ±-=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e w x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.5.3常系数非齐次线性微分方程本节课着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.方程()y py qy f x '''++=，如果()f x 不恒为零，上述方程称为二阶常系数线性非齐次方程，其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y ?Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y ?y *(x )之和：y ?Y (x )?y *(x ).本节课只介绍方程右端)(x f 取如下两种常见形式时，求)(*x y 的方法.5.3.1x m e x P x f λ)()(=型对于x m e x P x f λ)()(=型，其中λ是常数，)(x P m 是x 的m 次多项式：1011()......m m m m m P x a x a x a x a --=++++.当f (x )?P m (x )e ?x 时，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式.下面用待定系数法求微分方程()x m y py qy P x e λ'''++=（6-5-3）的一个特解.因为方程（6-5-3）的右端()f x 是多项式()m P x 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数之积的导数仍为多项式与指数函数之积，联系到方程（6-5-3）左端的系数均为常数的特点，它的特解*y 也应该是多项式与指数函数之积.因此设*()x y Q x e λ=（其中()Q x 是x 的待定多项式）是方程（1）的特解.则有*[()()]x y e Q x Q x λλ''=+，*2[()2()()]x y e Q x Q x Q x λλλ'''''=++，将***,,y y y '''代入方程（6-5-3）并约去x e λ，得2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（6-5-4）（I ）当λ不是特征方程20r pr q ++=的根时，即20p q λλ++≠，要使（6-5-4）式的两端恒等，()Q x 必须与()m P x 同次，因此可设()Q x 为另一个m 次多项式()m Q x ：1011()......m m m m m Q x b x b x b x b --=++++（其中(0,1,...,)i b i m =然后将所设特解*()x m y Q x e λ=代入方程（6-5-3），并通过比较两端x 的同次幂系数来确定(0,1,...,)i b i m =.（II ）当λ是特征方程20r pr q ++=的单根时，则必有20p q λλ++=而20p λ+≠，此时要使式（6-5-4）两端恒等，()Q x '必须是m 次多项式，从而()Q x 是1m +次多项式，因此可设()()m Q x xQ x =（其中()m Q x 为m 次待定多项式）.然后将所设特解*()x m y xQ x e λ=代入方程（6-5-3），并用与（I ）同样的方法确定()m Q x 的系数(0,1,...,)i b i m =.（III ）当λ是特征方程20r pr q ++=的二重根时，则必有20p q λλ++=且20p λ+=，此时要使式（6-5-4）两端恒等，()Q x ''必须是m 次多项式，从而()Q x 是2m +次多项式，因此可设2()()m Q x x Q x =（其中()m Q x 为m 次待定多项式）.然后将所设特解*2()x m y x Q x e λ=代入方程（6-5-3），并用与（I ）同样的方法确定()m Q x 的系数(0,1,...,)i b i m =.综上所述，我们有如下结论：二阶常系数线性齐次微分方程有如下形式的特解其中()m Q x 是与()m P x 同次（m 次）的多项式，而按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根，k 分别取0，1或2.例1求微分方程y ???5y ??6y ?xe 2x 的特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程?且f (x )是P m (x )e ?x 型(其中P m (x )?x ???2).则与所给方程对应的齐次方程为y ???5y ??6y ?0，它的特征方程为r 2?5r ?6?0.解得特征方程有两个实根r 1?2，r 2?3.由于??2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y *?x (b 0x ?b 1)e 2x ，把它代入所给方程，得?2b 0x ?2b 0?b 1?x .比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ，?2b 0?1，2b 0?b 1?0. 由此求得210-=b ，b 1??1.于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 例2求微分方程2544101y y y x x '''++=++的一个特解.解因为方程右端2()31f x x =+，属于2()x P x e λ型，其中22()4101,0P x x x λ=++=，且0λ=不是特征方程2540r r ++=的根，所以可设特解为因而有**0102,2y b x b y b '''=+=，将***,,y y y '''代入原方程并整理，得比较两端x 同次幂的系数，有解之得01211,0,4b b b ===- 所以原方程的特解为*214y x =-. 例3求微分方程3696x y y y xe -'''++=的通解.解（1）先求对应齐次方程的通解因为特征方程2690r r ++=有两个相等的实根123r r ==-，所以对应齐次方程的通解为312()x Y C C x e -=+.（2）求非齐次方程的一个特解因为方程右端3()6x f x xe -=，属于1()x P x e λ型，其中1()6P x x =，3λ=-，且3λ=-是特征方程的二重根，故设特解为*2301()x y x b x b e -=+，因而有*3230011[3(33)2]x y b x b b x b x e -'=-+-+，*323001011[9(189)(612)2]x y b x b b x b b x b e -''=+-++-+，将***,,y y y '''代入原方程并整理，得01626b x b x +=，比较两端x 同次幂的系数，得011,0b b ==，于是特解为*33x y x e -=，所以原方程的通解为3312()x y C C x x e -=++.5.3.2]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=型其中ωλ,为常数，)(),(x P x P n l 分别是x 的l 次，n 次多项式，并且其中有一个可以为零.我们可以推导出这种类型的二阶常系数非齐次微分方程的特解的形式方程y ???py ??qy ?e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]的特解形式应用欧拉公式可得e ?x [P l (x )cos ?x ?P n (x )sin ?x ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=， 其中)(21)(i P P x P n l -=，)(21)(i P P x P nl +=而m ?max{l ?n }.。
