例析函数思想在数列问题中应用

1 例析函数思想在数列问题中应用 江苏省赣榆县赣马二中 石延亮222125王怀学 222124

王怀学，男，36岁，本科学历，中学高级，赣榆县赣马高级中学任教。具有数学学科系统而坚实的理论知识和丰 富的教学实践经验，具有较强的创新意识和教研科研能力，掌握教学与高考改革和发展的最新动态。从教以来，曾被县局授予“教科研先进个人”，“百名优秀指导者”等荣誉称号；所带毕业班高考数学均分超省均分，辅导学生参加省、市数学竞赛多人获奖；在《新高考》、《高考金刊》、《中学生理科应试》、《数学大世界》、《数学学习指导》、《中学生学习报》、《考试报》、《数理化解题研究》、《数学之友》等省级刊物，以及省、市论文评比中发表或获奖论文多篇，兼任《高考金刊》、《学习报》等刊物特约编辑。 从函数对应的角度看，数列可以看成定义在正整数集（或其子集）上，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。数列是一种特殊的函数。很多数列问题都可以放到动态背景下考虑，运用函数的概念、性质、图像从较高的角度去讨论。本文举例说明函数思想在处理数列问题中所发挥的作用。 一、运用函数的有关概念理解和思考问题 1、应用函数零点概念

例1、已知12341,0,nnaaaaaa求数列的通项；分析：由于数列通项na与项数n之间存在一种函数关系，

()nafn。因此，0na即()0fn中， n 表示方程()0fn的根，或看成函数()fn的零点。本题函数()fn的零点

是2，3，4，设na(2)(3)knn(4)n，11,a(1)1f即 1.6k因此，na1(2)(3)6nn(4)n

。

2 运用函数图像上点的坐标的意义 例2（1996全国卷）已知等差数列na的前 m项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m项和为（） A、130 B、170 C、210 D、260 分析:等差数列的前n项和nS =21()22ddnan,可以看成关于 n的二次式函数,则nSn可以看成关于n的一次式函

数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点30(,)mm100(2,)2mm3(3,)3mSmm就在同一条直线yanb上,利用斜率相等,得它的前3m项和为210.选(c). 3运用复合函数概念

例3、(2002上海卷〕已知122113,,,3nnnnaaanZa求

分析:条件21nnaa理解为2(1)()fnfn，而2()(1)fnfn， 2(2)(1)ff

，就这样一个函数套一个函数，得22()((((1))))fnf=312n

二 、运用函数图像直观地分析问题 1、利用凸凹函数图像 例4、 某厂2001年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润与总投资N大小关系（ ） A、>N B 2

分析：投入资金逐月值构成等比数列nb，利润逐月值构成等差数列na，等比数列nb可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列na可以看成关于n一次式函数。由于11,ab1212ab，相当于图像有两个交点，且两交点间的nb图像在na下方，全年的总利润=1212aaa比总投资N=1212bbb大。选（A）。 2立足于图像的单调区间 例5、递增数列na，对任意正整数n，2nann恒成立，求

分析：2nann看成函数2()fxxx，它的定义域是 1,xxxN，要使函数2()fxxx为递增函数，即单调增区间为1,,抛物线对

称轴2x至少在1x的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2x在1.5x的左侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，322，得3. 3 着眼于图像对称轴及与x轴交点位置 例6、（1992全国卷）等差数列na中，312a，12130,0SS。求（1）数列的公

差 d的取值范围;（2）123,,nSSSS中，最大值是哪一个？ 分析：（1） nS可以看成关于n的二次式函数， 12130,0SS可看成图像上的点（12，12S）（13，13S）分别在x轴上方和下方，图

像与x轴的交点一个介于12和13 之间，另一个必过原点，开口向下。解方程21()22ddnan=0，得120,nn=12dad，于是，121213dad，312aad解得243.7d

（2）因为136.521262，可以看出抛物线对称轴介于6和6.5之间，即便向于6,因此6S最大.此法关键是要确定对称轴介于哪两整数中间，且细化到偏向谁。 4、构造特殊函数模型

例7、 数列通项9798nnan,前30项中最大项和最小项分别是( )

A 130,aa B19,aa C109,aa D 1030,aa 分析:用分离常数法,得9897198nan.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例式函数图像。根据函数图像特点,判断出答案应选(C). 三 、运用函数问题的研究方法

1直接利用函数值域求字母范围 3

例8、（1998全国卷）等比数列na中，11,anlim11nsa，求1a的范围（ ） A、1, B、1,4 C、1,2 D、1,2 分析：无穷等比数列存在极限充要条件是0<1q,nlim11nasq,于是得11aq11a,11aq.它可以看成1(01)yxx,函数值域0,2,又11,a,得1a的范围1,2.选(D).

2分离变量法求字母范围

例9、2()22xxfx，111(,)Pxy222(,)Pxy若P是12PP的中点，P点横

坐标为12，（1）1()ninixSfn，nN，求nS；（2）记1(2)(2)nnnTSS的前n项和，有2(2)nnTaS恒成立，求a 分析:(1) 倒序求和,得nS2-11(1)()2nn

(2) 1(2)(2)nnSS=4(3)(4)nn,nT14(3)(4)niii用裂项法,得

4nnTn,由条件2(2)nnTaS,及220nS,分离变量得 2nnTaS=22920nnn,构造数列22920nnn,只须求出函数 ()fn=22920nnn的最大值19. 所以,a>19.

3利用均值不等式法求数列的最值 例10、数列na中，12nnnSa，11.a (1)na求 ；

（2）求()fn1(32)nnSnS的最大值及此时n的值。 分析：（1）;nan（2）()fn23464nnn=16434nn150，且当且仅当64nn即n=8时，()fn的值最大值是150。 4 运用待定系数法 例11、（1995全国卷）已知等差数列na、nb的前 n项和分别为nnST和，若2,31nnSnTn则 nlimnnab等于（C） 4

A、1 B、63 C、23 D、49 分析：令nS=22nk，nT(31)nnk，（k是比例系数）。分别求出 nak(42n)和nbk(6n-2).于是，nlimnnab=42lim62nnn=23。

四 、运用函数的性质研究问题 1运用周期函数性质求周期数列的项 例12、（2004北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数

列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{}an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为3 ，

这个数列的前n项和nS的计算公式为 _____（当n为偶数时，Snn52；当n为奇数时，Snn5212） 分析：根据题意列举观察，125aa，得23a，235aa，得32a，可以看出数列na是以2为周期的数列，因为()()fxnTfx，()nafn 18=282，所以18(18)(28)affT=(2)f=2a=3。 数列同样具有周期性。如2003高考涉及到一个数列na，符号“nnaa8”就表示(8)()fnfn，T=8 是该数列的一个周期。 2函数单调性求最值

例13、（2000上海）在XOY平面上有一列点112(,),Pab212(,)Pab

(,)nnnPab对每个自然数n，点nP位于函数2000()10xay(010)a的图像上，且点nP、点（n,0）与点（n+1,0，）

构成一个以nP为顶点的等腰三角形。 （1）求nP的纵坐标nb的表达式；（2）若对每个自然数n，以nb1nb2nb为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； （3）若lg()nncb（ nN）若a取（2）中确定的范围的最小整数，问数列nc前多少项的和最大？

分析：(1)122000()10nnab;(2)nb是关于n的指数式函数,因为 010a,所以0<10a<1.函数单调递减,则nb>1nb>2nb,构成一个三角形的条件是nb<1nb+2nb,得a的取值范围是5(51) (3)由(2)的最小整数a=7,127lg2000()10nnc=lg23+1lg0.7lg0.72n,因为lg0.70,nc关于n成一次单调递减