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函数思想在中学数学解题中的应用数学科组 周晓兰函数是中学数学中最为重要的内容。
函数思想更是中学数学的一种基本思想，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。
1 利用函数的单调性证明不等式例1 （2010年高考数学辽宁卷﹒文）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 分析：（1）略；（2）当我们看到要证明的不等式时，有绝对值，就要利用第（1）问分析出的单调性却绝对值，转化后再引入辅助函数帮助证明。
解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0故f (x )在（0,+∞）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ,则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 2 利用函数的单调性求参数的取值范围例2 （2011年高考数学北京卷﹒理）18.已知函数k xe k x xf 2)()(-=.(1)求)(x f 的单调区间； (2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有ex f 1)(≤，求k 的取值范围。
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中，函数思想是一个非常重要的概念。
函数不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在高中数学解题中，函数思想的应用几乎无所不在，它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将从几个具体的数学问题入手，探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
一、函数思想在代数问题中的应用代数是高中数学中一个非常重要的部分，而函数思想在代数问题的解决中起着至关重要的作用。
以一道典型的代数题目为例：已知函数f(x) = 2x-1，g(x) = x^2+3x，求f(g(x))。
在这道题目中，我们需要先计算出g(x)，然后将g(x)的结果代入f(x)中去，以求出f(g(x))。
这就是典型的函数嵌套运算，也是函数思想在代数问题中的应用。
通过这种方式，我们可以将复杂的代数运算分解成简单的函数运算，更好地理解和解决问题。
在高中代数中，还有很多其他类型的问题可以通过函数思想来解决，比如函数的复合、反函数的求解、函数的范围与值域等。
函数思想可以帮助学生更好地理解代数问题的本质，从而更好地解决各种代数题目。
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（1，2），求a、b、c的值。
在这道题目中，我们可以将顶点坐标（1，2）代入抛物线的一般式方程中去，得到一个方程组。
然后通过函数思想，将方程组中的未知数a、b、c进行化简和求解，最终得到a、b、c的值。
这就是函数思想在几何问题中的应用，通过将几何问题转化为函数问题，更好地解决了几何问题。
已知数列{an}满足an+1 = an + 2n，a1 = 1，求a10的值。
在这道题目中，我们可以通过递推关系式来计算数列的各项，也可以建立与数列{an}对应的函数f(x)来求解。
通过函数思想，我们可以将数列问题转化为函数问题，从而更好地解决了数列问题。
函数思想在中学数学解题中的应用摘要：随着我国教育的不断变革，在教学过程中涉及到的学科思想越来越重要，尤其对于中学数学教学来说，这个特点十分明显。
中学时期的教学对学生们是至关重要的，受到社会各界广泛的关注。
对于中学教学科目来说，数学这门科目是十分重要的，学生们在做数学题的时候，需要具有较强的数学知识作为基础，并能够熟练的应用函数思想进行解题。
学生们在学习数学过程中能够合理地运用函数知识解决相关问题，就可以极大的提升学生们的学习效率。
本文主要围绕函数知识在中学数学解题中的应用展开分析。
关键词：函数知识；中学数学解题；应用措施引言现阶段在中学数学教学过程中要求学生们学会合理的利用函数知识解决相关问题。
数学这门学科对学生们数字理解能力、逻辑推理能力要求都比较严格，一旦学生们数学基础知识十分薄弱，那么对于解决数学问题来说也将十分困难。
函数知识作为中学数学教学内容重要的一部分，在数学解题过程中发挥着十分重要的作用。
函数将各个变量之间的关系描述得十分清楚。
在中学数学解题中应用函数知识就是将数学题目中部分数量关系利用函数表达式呈现给学生们，之后让学生们根据函数表达式建立数学模型来解决相关问题。
在数学解题中，应用函数知识解题就表明题中的各个数量关系是不断变化的，并且存在着某种联系，能够形成某个特定的公式，从而方便学生们在解题过程中了解各个数量的变化趋势，以此更加高效地解决相关数学问题。
一、函数思想在中学数学解题中的应用现状（一）函数思想在中学数学解题中学生的应用不积极对于中学生来说，在解决数学问题的时候，利用学过的数学知识进行解决是不可避免的。
大部分的数学题都是需要学生们从题目中找出有用的信息，并利用所学知识将各个信息建立联系，以此来方便解决整个题目。
在数学解题过程中，应用函数知识就是找出题目中各个变量之间的关系来进行解答。
但是在实际教学过程中，大部分的学生们由于函数知识基础薄弱。
因此，在解决数学问题的时候，也不善于运用函数知识解决。
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
例谈函数思想在解题中的应用函数是中学数学中最重要的概念之一，内容十分丰富，构成了一个完整的知识体系.在数学学习中，我们应重视培养以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，灵活应用函数思想与方法去分析和解决问题的能力.函数思想方法，就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、处理问题.利用函数处理问题，须深刻理解，熟练掌握各种函数的具体特征及函数的单调性、最值、图象变换等，这是利用函数思想解题的必备基础.同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含的特征，从而恰当构造函数和准确利用函数性质，使问题得以解决.例1：已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围.分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令f（x）=kx2-2x-3k-2，则由根的分布，函数f（x）的图象只能如图1，图2所示.对应的条件分别是k>0f（1）图1 图2解：由以上分析可知，令f（x）=kx2-2x-3k-2，为使方程f（x）=0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需k>0f（1）即k>02k-2-3k-20或k评注：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得到巧妙解决.例2：设a，b，c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1 0：.分析：构造函数f（a）=ab+bc+ca+1，f（a）是关于a的一次函数，由于a∈[-1，1]，因此，只要证明f（-1） 0且f（1），就能证明f（a） 0.证明：设f（a）=（b+c）a+bc+1，（a）是关于a的一次函数. a，b，c∈R，f（1）=b+c+bc+1=b（1+c）+（c+1）=（b+1）（c+1） 0，f（-1）=-b-c+bc+1=b（c-1）+（1-c）=（1-b）（1-c） 0.f（a）在[-1，1]上恒为负. ab+bc+ca+1 0.评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而根据一次函数的图象性质，使问题得以解决.例3：对任意的a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于0，试求x的取值范围.分析：观察所给的函数式，如果看作关于的二次函数式，则感到无从下手，如果重新调整函数关系式，写成关于的一次函数，利用一次函数的单调性，则问题便迎刃而解.解：视f（x）为a关于的函数，令g（x）=（x-2）a+（x-2）2（a≠0）为关于a的一次函数，故须使g（a）在a∈[-1，1]上恒大于0，则g（1）>0g（-1）>0解得x3.评注：一般地，对于一次函数f（x）=mx+b，（m≠0），在x∈[α，β]范围内，f（x）>0恒成立等价于f（α）>0f（β）>0。
函数思想在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 了解函数思想的重要性了解函数思想的重要性是高中数学学习中的重要一环。
函数思想可以帮助我们更好地理解问题，提高问题解决的效率。
通过了解函数思想，我们可以更快地找到问题的核心，从而更快地解决问题。
函数思想也可以帮助我们建立起对数学知识体系的整体认识，提高数学思维的深度和广度。
在高中数学学习中，函数思想是贯穿始终的一个重要内容。
无论是在解代数方程还是解几何问题，函数思想都扮演着重要的角色。
了解函数思想可以让我们更好地理解数学概念，提高解题的速度和准确性。
所以，掌握函数思想对于高中数学学习来说是至关重要的。
1.2 高中数学解题的特点高中数学解题的特点主要包括题目形式简单、题目类型多样、涉及知识面广泛、考察思维能力强等特点。
在高中数学学习中，学生需要掌握各种数学概念和方法，能够灵活运用这些知识解决各类数学问题。
高中数学解题通常需要考虑多个因素，需要学生进行一定的逻辑推理和分析，以找到解题的有效方法。
另外，高中数学解题还常常涉及到多个知识点的综合运用，需要学生具有整合和综合能力，能够将所学知识有机地结合起来解决问题。
由于高中数学解题的特点，学生在解题时往往需要一定的思维方法和技巧，能够快速准确地分析问题并找到解决方法。
因此，深入理解和灵活运用函数思想在高中数学解题中具有重要的意义，可以帮助学生更好地应对各种数学问题，提高解题效率和准确性。
2. 正文2.1 函数思想在代数方程中的应用在高中数学中，代数方程是一个重要的内容，通常涉及到未知数的关系和等式的求解。
函数思想在代数方程中的应用可以帮助我们更加清晰地理解和解决这些问题。
我们可以将代数方程中的未知数看做自变量，而等式则可以看做一个函数关系。
通过建立数学模型，我们可以将复杂的代数方程简化成一个函数方程，从而更好地进行求解和分析。
函数思想可以帮助我们对代数方程的图像进行理解和分析。
通过绘制函数图像，我们可以直观地看到方程的解和特性，从而更好地理解方程的含义和求解方法。
函数思想在解题中的应用作者：王晓丽来源：《新教育时代·教师版》2018年第47期数学是一门逻辑性与抽象性思维都很强的学科，在解析数学题时，需要应用一些数学思想方法，主要是利用一种数学规律来进行题目解析，能大大提高题目解析的正确率与解题效率。
在数学题目解析过程中，常用的数学思想包含分类讨论、化归与转化、函数与方程、数形结合思想等。
在本次研究，针对函数思想在数学题解析中的应用情况展开分析，旨在为后续学生对函数思想的应用提供借鉴。
一、函数思想的基本概述函数思想就是高中数学中的一种基本解题方法，是数学思想系统中的一员。
函数思想就是一种运用运动与变化观点、综合集合与对应思想来处理数学问题等量关系，构建相应的函数关系，可利用函数图像与性质来分析和转化数学问题，能将数学题从复杂转化为简单，进而达到解决数学问题的目的。
处理数学问题时，可从函数角度来审题与分析，主要将数学题目放置在一个动态环境之中去考查。
可见，函数思想对于数学题目解析而言意义重大，成为当前常见的一种数学题处理策略。
应用函数思想，便于简化数学题目求解过程，此类思想广泛的被应用在综合性强的题目处理与解答上。
使用函数思想来解题，需要从量的关系上着手，旨在探求事物运动的基本发展规律，从而把握事物间所存在的联系。
使用函数思想来进行题目的解析，应将常量看作变量，把离散性数据看作成连续性的数据，结合实际情况设定函数关系模型，能把具体问题及时转化成一定的辅助性函数。
函数思想始终贯穿在整个的高中数学教材之中，因此，在实际教学中，教师应及时将函数思想的本质传递给学生，让学生了解函数思想的真实价值，激发学生的学习热情，能利用好函数思想来解答各类题型，还能锻炼学生构建数学模型的能力，对学生数学能力的提升具有重要意义。
二、函数思想在解题中的应用当前，在高中数学题目解析中，多种类型题目都应用到函数思想，如三角函数、向量、方程解析等，能借助函数思想直观、形象的分析题意，把握解题思路，从而实现题目解析。
函数思想在解题中的应用
摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。
关键词：函数思想；解题；应用；
引言
函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．
1、 利用函数的单调性解题
单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．
例1 解不等式05110)
1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。
观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 51
25)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=
∵3
x 及x 5均为增函数．
∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()1
2(
x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+1
2． 解得11<<-x 或2-<x ,此即为原不等式的解． 例２解方程0)3)12(2)(12()392(322=+++++++x x x x 解：构造函数)32()(2++=m m m f ，则方程变为)3()12(x f x f -=+
又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．
规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问
题．
２、利用函数的奇偶性解题
奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．
例３已知：
4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．
分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．
解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵
52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x
)(x f =
∴)(x f 为偶函数．
∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-
从而039531=====a a a a
∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a
规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．
3、 利用函数值域解题
求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122
=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则
则4
5)21(122
2+--=++-=t t t m ∵4
545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2
525≤≤-m 即当2525≤≤-
m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．
４、利用一次函数的保号性解题
某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．
例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab
证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且
∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．
当0≠+c b 时，
构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，
由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；
0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．
知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，
所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．
规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．
５、利用二次函数的性质解题
二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．
例６已知b a c R a +>∈+2,，求证：ab c c a ab c c ab c -+<<-->222;．
证明：构造函数0,0)1(,2,2)(2><+>+-=a f b a c b cx ax x f 又因知由，故函数图
像与x 轴在1=x 的两边各有一个交点，从而有0442>-=∆ab c ，即ab c >2．解方程
02)(2
=+-=b cx ax x f ，得a ab c c x a ab c c x -+=--=2221,． ∴a
ab c c a ab c c -+<<--221，即ab c c a ab c c -+<<--22 规律概括：将目标式构造成二次函数，并利用二次函数的性质解题是一种重要的方法，往往是利用二次函数的图像与x 轴的交点和判别式来求解．
总结：从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用相当广泛，函数思想在解题当中所具有神奇力量也可见一斑．但这些方面都涉及到最基础知识．构造函数，利用函数思想解题，需要解题者不断强化训练，在解题过程当中“悟出”函数来．只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果．。
