随机变量及其概率分布
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第二章随机变量及其概率分布
考试内容
随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求
1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。
理解各种分布的背景和主要特征；
注意随机变量和随机事件的转化〔等价性〕。
7、函数分布
离散型：已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．23：已知随机变量 的分布列为
，
其中 。求 的分布列。
解：
连续型：先利用X的概率密度 写出Y的分布函数， ，再利用变上下限积分的求导公式求出 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
标准化公式及其应用：〔正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布〕
一、主要内容讲解
1、分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
例2．20：X,Y独立，均服从U[1,3]，A={X≤a}，B={Y≤a}，已知P(A∪B)= ,求a=？
解：
P(A∪B)＝ = .
例2．21：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X（单位：分）服从指数发布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，如超过10分钟，他就离开。他一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列，并求P(Y≥1)。
解：取 的任意子区间 ，则有
.
而
所以
从而
又 ，从而有
.
或者， 即得
注：这里X是混合型的随机变量，其分布函数图形如下பைடு நூலகம்示
5、八大分布
0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
〔X～b(5000,0.001)近似～P(5), 〕
例2．10：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？
解： ，
超几何分布从一个有限总体（N个产品，其中M个是不合格的）中进行不放回抽样（任取n个），取到的不合格产品的个数X的分布称为超几何分布，其分布列为：
（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。
解：
(1)T的分布函数为
其中，
注：关键在于理解 .
（2）
或者直接利用指数分布的五记忆性：
（02年）1.设随机变量X服从正态分布 ，且二次方程 无实根的概率为 ，则 4。
解：
2.设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度
〔不是〕
例2．4：设离散随机变量 的分布列为
，
求 的分布函数，并求 ， ， 。
例2.5掷两颗骰子，观察其点数，则 。记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的分布。
注：可利用古典方法求其概率。
问题：如何由分布函数求分布列？
例2．6：
注意：离散型随机变量分布函数的特征——右连续阶梯状.〔左闭右开〕
分析：方程有实根，即 .
指数分布
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
.
记住积分公式：
指数分布的无记忆性：
例2．15：设非负随机变量Ｘ的密度函数为 A ，x>0,则A=。
分析：
正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
几何分布的的无记忆性
设X ，则对 ，有 .
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
当 时，X落在区间 内的概率为
。〔几何概率〕
例2．14：若随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求方程 有实根的概率。
例2．12：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中先后取 个球（放回），试求直到第 次时才取到白球的概率（ ）。
分析：即前 次取到的都是黑球〔直到……才〕
例2．13：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X的分布律。
〔 〕
注：朝一目标射击直到射中为止所需射击次数等都是服从几何分布的。
即：
例2．24：已知随机变量 ，求 的密度函数 。
〔 〕〔注意Y的可能取值范围〕
例2.25、设随机变量X的密度函数为 ，
求Y=sinX的密度函数 .
解：Y=sinX的可能取值在区间（0，1）内，所以当 时， ；
当0<y<1时，使 的x的取值在两个互不相交的区间，如下图
于是 ，
所以有
，
即得Y的概率密度函数为
解：
例2．22：X3~N(1,72)，则P(1<X<2)=？
解：P(1<X<2)=
注：若要计算 ，则可化为
6、分位数
定义：设X的分布函数为F(x)，密度函数为p(x).对 ，称：
①满足 的 为此分布的p分位数（或下侧p分位数）；
②满足1－ 的 为此分布的上侧p分位数。如下图所示：
注：
设 ， ，即是分布函数的反函数，如： .且易知：
例2.1.向半径为r的圆内随机投一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，
并求 .
解： 表示事件“所投点落在半径为x的圆内”，〔几何概率〕
故 .
从而 ＝
2、离散型随机变量的分布
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布列或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足条件：
与分布函数的关系： ；
例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X的分布律和分布函数.
解：
例2．3：给出随机变量 的取值及其对应的概率如下：
，
判断它是否为随机变量 的分布律。
…，r，其中r＝min｛M，n｝。
【注】当n《N时，可近似看作是有放回抽样，可以用二项分布近似。
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
〔背景〕概率模型：M个白球，N-M个黑球。从中取出n个球，有k个白球的概率。
例2．11（1）：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中任取 个球，试求其中含 个白球， 个黑球的概率（ ）。〔 〕
注意：不要强记教材上的公式〔单调函数的条件〕。
例2．26：设X服从N(0,1)，求Y=X2的分布。
解：先求FY（y），由Y=X2 0，故当 时，FY（y）＝0 ；
当y>0时， .
所以：
.
【注】：Y=X2的分布即是自由度为1的 分布， .
例2．27：设随机变量X具有连续的分布函数 ，求 的分布函数 （或证明：设X的分布函数 是连续函数，证明随机变量 在区间（0，1）上服从均匀分布。）
分别为 ，分布函数分别为 ，则（D）
（A） 必为某一随机变量的概率密度；
（B） 必为某一随机变量的概率密度；
（C） 必为某一随机变量的分布函数；
（D） 必为某一随机变量的分布函数。
分析：利用密度函数的正则性和分布函数的有界性容易排除（A）和（C）；
可以举反例〔一个取均匀分布〕说明（B）错；
满足分布函数的性质.
解： ， .Y的可能取值范围是[0,2].
当 时， .
问：Y服从指数分布吗？〔否，指数分布的可能取值范围是 〕
解题要点：求函数分布的基本方法―――分布函数法。
二、历年试题分析：
〔93，8分〕设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布。
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）
例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－l分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，σ2)、指数分布及其应用.
5．会求随机变量函数的分布．
解：（1）记 --第i个人的设备发生故障而无人修理，i＝1，2，3.
考试内容
随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求
1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。
理解各种分布的背景和主要特征；
注意随机变量和随机事件的转化〔等价性〕。
7、函数分布
离散型：已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．23：已知随机变量 的分布列为
，
其中 。求 的分布列。
解：
连续型：先利用X的概率密度 写出Y的分布函数， ，再利用变上下限积分的求导公式求出 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
标准化公式及其应用：〔正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布〕
一、主要内容讲解
1、分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
例2．20：X,Y独立，均服从U[1,3]，A={X≤a}，B={Y≤a}，已知P(A∪B)= ,求a=？
解：
P(A∪B)＝ = .
例2．21：设顾客到某银行窗口等待服务的时间X（单位：分）服从指数发布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，如超过10分钟，他就离开。他一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列，并求P(Y≥1)。
解：取 的任意子区间 ，则有
.
而
所以
从而
又 ，从而有
.
或者， 即得
注：这里X是混合型的随机变量，其分布函数图形如下பைடு நூலகம்示
5、八大分布
0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
〔X～b(5000,0.001)近似～P(5), 〕
例2．10：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？
解： ，
超几何分布从一个有限总体（N个产品，其中M个是不合格的）中进行不放回抽样（任取n个），取到的不合格产品的个数X的分布称为超几何分布，其分布列为：
（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。
解：
(1)T的分布函数为
其中，
注：关键在于理解 .
（2）
或者直接利用指数分布的五记忆性：
（02年）1.设随机变量X服从正态分布 ，且二次方程 无实根的概率为 ，则 4。
解：
2.设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度
〔不是〕
例2．4：设离散随机变量 的分布列为
，
求 的分布函数，并求 ， ， 。
例2.5掷两颗骰子，观察其点数，则 。记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的分布。
注：可利用古典方法求其概率。
问题：如何由分布函数求分布列？
例2．6：
注意：离散型随机变量分布函数的特征——右连续阶梯状.〔左闭右开〕
分析：方程有实根，即 .
指数分布
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
.
记住积分公式：
指数分布的无记忆性：
例2．15：设非负随机变量Ｘ的密度函数为 A ，x>0,则A=。
分析：
正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
几何分布的的无记忆性
设X ，则对 ，有 .
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
当 时，X落在区间 内的概率为
。〔几何概率〕
例2．14：若随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求方程 有实根的概率。
例2．12：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中先后取 个球（放回），试求直到第 次时才取到白球的概率（ ）。
分析：即前 次取到的都是黑球〔直到……才〕
例2．13：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X的分布律。
〔 〕
注：朝一目标射击直到射中为止所需射击次数等都是服从几何分布的。
即：
例2．24：已知随机变量 ，求 的密度函数 。
〔 〕〔注意Y的可能取值范围〕
例2.25、设随机变量X的密度函数为 ，
求Y=sinX的密度函数 .
解：Y=sinX的可能取值在区间（0，1）内，所以当 时， ；
当0<y<1时，使 的x的取值在两个互不相交的区间，如下图
于是 ，
所以有
，
即得Y的概率密度函数为
解：
例2．22：X3~N(1,72)，则P(1<X<2)=？
解：P(1<X<2)=
注：若要计算 ，则可化为
6、分位数
定义：设X的分布函数为F(x)，密度函数为p(x).对 ，称：
①满足 的 为此分布的p分位数（或下侧p分位数）；
②满足1－ 的 为此分布的上侧p分位数。如下图所示：
注：
设 ， ，即是分布函数的反函数，如： .且易知：
例2.1.向半径为r的圆内随机投一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，
并求 .
解： 表示事件“所投点落在半径为x的圆内”，〔几何概率〕
故 .
从而 ＝
2、离散型随机变量的分布
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布列或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足条件：
与分布函数的关系： ；
例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X的分布律和分布函数.
解：
例2．3：给出随机变量 的取值及其对应的概率如下：
，
判断它是否为随机变量 的分布律。
…，r，其中r＝min｛M，n｝。
【注】当n《N时，可近似看作是有放回抽样，可以用二项分布近似。
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
〔背景〕概率模型：M个白球，N-M个黑球。从中取出n个球，有k个白球的概率。
例2．11（1）：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中任取 个球，试求其中含 个白球， 个黑球的概率（ ）。〔 〕
注意：不要强记教材上的公式〔单调函数的条件〕。
例2．26：设X服从N(0,1)，求Y=X2的分布。
解：先求FY（y），由Y=X2 0，故当 时，FY（y）＝0 ；
当y>0时， .
所以：
.
【注】：Y=X2的分布即是自由度为1的 分布， .
例2．27：设随机变量X具有连续的分布函数 ，求 的分布函数 （或证明：设X的分布函数 是连续函数，证明随机变量 在区间（0，1）上服从均匀分布。）
分别为 ，分布函数分别为 ，则（D）
（A） 必为某一随机变量的概率密度；
（B） 必为某一随机变量的概率密度；
（C） 必为某一随机变量的分布函数；
（D） 必为某一随机变量的分布函数。
分析：利用密度函数的正则性和分布函数的有界性容易排除（A）和（C）；
可以举反例〔一个取均匀分布〕说明（B）错；
满足分布函数的性质.
解： ， .Y的可能取值范围是[0,2].
当 时， .
问：Y服从指数分布吗？〔否，指数分布的可能取值范围是 〕
解题要点：求函数分布的基本方法―――分布函数法。
二、历年试题分析：
〔93，8分〕设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布。
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）
例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－l分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，σ2)、指数分布及其应用.
5．会求随机变量函数的分布．
解：（1）记 --第i个人的设备发生故障而无人修理，i＝1，2，3.
