数学分析试题2-2

1 2021年中央广播电视大学一年级期末考试试卷

大学一年级《数学分析二》大学考试试题D卷及答案

一、叙述题：(每小题5分，共10分）

1、 叙述反常积分adxxfba,)(为奇点收敛的cauchy收敛原理

2、 二元函数),(yxf在区域D上的一致连续

二、计算题：（每小题8分，共40分）

1、)212111(limnnnn

2、求摆线]2,0[)cos1()sin(ttayttax与x轴围成的面积

3、求dxxxcpv211)(

4、求幂级数12)1(nnnx的收敛半径和收敛域

5、),(yxxyfu， 求yxu2

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、yxyxyxf2),(，求),(limlim),,(limlim0000yxfyxfxyyx；),(lim)0,0(),(yxfyx是否存在？为什么？

2、讨论反常积分0arctandxxxp的敛散性。

3、讨论133))1(2(nnnnn的敛散性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）

3、 设f（x）在[a,b]连续，0)(xf但不恒为0，证明0)(badxxf

4、 设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu

2 参考答案

一、1、,0.0使得210，成立21)(aadxxf

2、设2RD为点集，mRDf:为映射，,0.0使得Dxxxx2,121,，成立)()(21xfxf

二、1、由于x11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）

)212111(limnnnn=2ln11)11211111(1lim10dxxnnnnnn（6分）

2、 、所求的面积为：22023)cos1(adxxa（8分）

（二十一）数学分析期终考试题

一 叙述题：（每小题5分，共15分）

1 开集和闭集

2 函数项级数的逐项求导定理

3 Riemann可积的充分必要条件

二 计算题：（每小题7分，共35分）

1、9131dxxx

2、求)0()(222babbyx绕x轴旋转而成的几何体的体积

3、求幂级数nnnxn12)11(的收敛半径和收敛域

4、11lim222200yxyxyx

5、22),,(yzxyxzyxf，l为从点P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求fl(P0)

三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、已知0,0001sin)(),(222222yxyxyxyxyxf，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微

2、讨论级数12211lnnnn的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(11xnxnxnnn的一致收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共20分）

1 若adxxf)(收敛，且f（x）在[a,+∞）上一致连续函数，则有0)(limxfx

2 设二元函数),(yxf在开集2RD内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：''''''),(),(yyLyxfyxf其中LDyxyx,),(),,('''为常数证明),(yxf在D内连续。

参考答案

一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。 2 设函数项级数1)(nnxu满足（1）),2,1)((nxun在[a，b]连续可导

a) 1)(nnxu在[a，b]点态收敛于)(xS

b) 1')(nxun在[a，b]一致收敛于)(x

则)(xS=1)(nnxu在[a，b] 可导，且11)()(nnnnxudxdxudxd

第二章 数列极限

总练习题

1、求下列数列的极限：

(1)lim

n→∞ 𝑛3+3𝑛n；(2)lim

n→∞𝑛5

𝑒𝑛；(3)lim

n→∞( 𝑛+2−2 𝑛+1+ 𝑛).

解：(1)当n>3时，𝑛3<3𝑛，∴3= 3𝑛n< 𝑛3+3𝑛n< 2·3𝑛n=3 2n→3(n→∞).

由迫敛性定理可知：lim

n→∞ 𝑛3+3𝑛n=3.

(2)设a

n=𝑛5

𝑒𝑛，则lim

n→∞a𝑛

a𝑛

+1=lim

n→∞e nn+1 5

=e>1，∴lim

n→∞𝑛5

𝑒𝑛=0.

(3)lim

n→∞ 𝑛+2−2 𝑛+1+ 𝑛 =lim

n→∞ 𝑛+2− 𝑛+1 − 𝑛+1− 𝑛

=lim

n→∞ 1

𝑛+2+ 𝑛+1−1

𝑛+1+ 𝑛 =0.

2、证明：(1)lim

n→∞𝑛2𝑞n=0(|q|<1)；(2)lim

n→∞𝑙𝑔𝑛

𝑛𝑎=0(a≥1)；(3)lim

n→∞1

𝑛!n=0.

证明：(1)当q=0 时，n2qn=0，lim

n→∞𝑛2𝑞n=0；

当0<|q|<1时，令|q|=1

p，则p>1. 设p=1+h，h>0. 由(1+h)n>1

3!n(n-1)(n-2)h3,(n>2) 得0<|n2qn|

(1+h)n<6

h3·n2n(n−1)(n−2)=6

h3·1

n(1−1

n)(1−1

2)→0(n→∞).

由迫敛性定理可知：lim

n→∞𝑛2𝑞n=0 (|q|<1).

(2)任给ε>0，则10ε>1， 𝑛n→1(n→∞)，故存在N，当n>N时，有1< 𝑛n<10ε，

取对数后得：0<𝑙𝑔𝑛

𝑛

n→∞𝑙𝑔𝑛

n=0. 从而当a≥1时，0<𝑙𝑔𝑛

𝑛𝑎≤lgn

n→0(n→∞).

由迫敛性定理可知：lim

n→∞𝑙𝑔𝑛

𝑛𝑎=0(a≥1).

(3)任给ε>0，令M=1

ε，则lim

n→∞Mn

n!=0.

又对ε0=1，存在自然数N，使得当n>N时，Mn

未知驱动探索，专注成就专业

1

数学分析第三版答案

简介

《数学分析第三版》是一本经典的数学教材，对于数学分析的基本概念、定理和方法进行了系统而全面的介绍。本文档整理了《数学分析第三版》中的一部分习题答案，希望能够对读者巩固和检验所学知识提供帮助。

目录

1. 函数、极限与连续

2. 导数与微分

3. 一元函数的积分

4. 多元函数的积分

5. 级数与广义积分 未知驱动探索，专注成就专业

2

函数、极限与连续

习题1.1-1

证明下列函数的极限不存在：

1. $f(x) = \\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$

2. $f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$

解答

1. 当𝑥趋于0时，$\\frac{1}{x}$趋于无穷大。由于正弦函数的周期是$2\\pi$，所以当𝑥趋于无穷大时，$\\frac{1}{x}$趋于0。因此，当𝑥趋于0时，$f(x) =

\\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$不收敛。

2. 当𝑥趋于无穷大时，$\\sin{x}$在$[-\\pi, \\pi]$上做无限多次振荡。而𝑥也趋于无穷大，所以$\\frac{\\sin{x}}{x}$在无限多个点上振荡。因此，当𝑥趋于无穷大时，$f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$不收敛。

习题1.1-2

计算下列极限： 未知驱动探索，专注成就专业

3

1. $\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\sin{x}}{x}}$

2. $\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{x^2 - 3x +

2}{2x^2 + 5}}$

3. $\\lim\\limits_{x \\to 1}{\\frac{x^2 - 1}{x - 1}}$

解答

1. 根据拉’Hospital法则，$\\lim\\limits_{x \\to