![Lingo求解多目标规划[新]](https://img.doczj.com/imge6/1qyxilln5iywudv0w2y988qbypcs5wd2-61.webp)
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例：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：
（1） 力求使利润不低于1500元；
（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：
2；
（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；
（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，
又尽可能不加班。在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。
Ⅰ
Ⅱ
设备的生产能
力/h
A （h/件） 2 2 12
B （h/件） 4 0 16
C （h/件） 0 5 15 利润 元/件
200
300
解：此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。
该计划问题可用数学模型表示为： 目
标
函
数
min
)33()(433322211++-+--+++++=d d d p d d p d p z
满足约束条件 2122x x + 12≤
15003002001121=-+++-d d x x
022221=-+-+-d d x x 14x 1633=-++-d d
155442=-++
-d d x
3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i LINGO 程序为：
求第一级目标。LINGO 程序如下： model: sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus; S_con(S_Con_Num,Variable):c; endsets data:
g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; enddata min=dminus(1); 2*x(1)+2*x(2)<12;
@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i)); end
求得dminus(1)=0，即目标函数的最优值为0，第一级偏差为0。
model:
sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;
S_con(S_Con_Num,Variable):c;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=dplus(2)+dminus(2); !二级目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;
@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i));
dminus(1)=0;!一级目标约束;
@for(variable:@gin(x));
end
求得目标函数的最优值为0，即第二级的偏差仍为0。
model:
sets:
variable/1..2/:x;
S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;
S_con(S_Con_Num,Variable):c;
endsets
data:
g=1500 0 16 15;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
enddata
min=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4); !三级目标函数;
2*x(1)+2*x(2)<12;
@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i )=g(i));
dminus(1)=0;!一级目标约束;
dplus(2)+dminus(2)=0;!二级目标约束;
end
目标函数的最优值为29，即第三级偏差为29。
分析计算结果，x1 = 2，4 2 x = ，100 1 d + = ，因此，目标规划的最优解为x* = (2,4)，
最优利润为1600。
上述过程虽然给出了目标规划问题的最优解，但需要连续编几个程序，这样在使
用时不方便，下面用LINGO 软件，编写一个通用的程序，在程序中用到数据段未知数
据的编程方法。
model:
sets:
level/1..3/:p,z,goal;
variable/1..2/:x;
h_con_num/1..1/:b;
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;
h_cons(h_con_num,variable):A;
s_cons(s_con_num,variable):c;
obj(level,s_con_num):wplus,wminus; endsets
data:
p=? ? ?;
goal=? ? 0;
b=12;
g=1500 0 16 15;
a=2 2;
c=200 300 2 -1 4 0 0 5;
wplus=0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 1;
wminus=1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0;
enddata
min=@sum(level:p*z);
@for(level(i):
z(i)=@sum(s_con_num(j):wplus(i,j)*dplus(j))
+@sum(s_con_num(j):wminus(i,j)*dminus(j))); @for(h_con_num(i):
@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));
@for(s_con_num(i):
@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)= g(i); );
@for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z(i),goal( i));
End
3、下面开始用LINGO中的图标或者Solve命令编译模型，当程序运行时，会出现一个对话框，如图2.1。在作第一级目标计算时，p（1），p（2），p（3）分别输入1，0，0，goal（1）和goal（2）输入两个较大的值（例如100000），表明这两项约束不起作用。运行状态窗口如图2.2，相应信息含义见实验一表1.1。
图2.1 LINGO的实时参数窗口
图2.2:LINGO运行状态窗口
计算结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value:
0.000000
Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
P( 1) 1.000000 0.000000
P( 2) 0.000000 0.000000
P( 3) 0.000000 0.000000
Z( 1) 0.000000 0.000000
Z( 2) 5.000000 0.000000
Z( 3) 58.00000 0.000000
GOAL( 1) 100000.0 0.000000
GOAL( 2) 1000000.
0.000000
GOAL( 3) 0.000000 0.000000
X( 1) 0.000000
X( 2) 5.000000 0.000000
B( 1) 12.00000 0.000000
G( 1) 1500.000 0.000000
G( 2) 0.000000 0.000000
G( 3) 16.00000 0.000000
G( 4) 15.00000 0.000000
DPLUS( 1) 0.000000 0.000000
DPLUS( 2) 0.000000 0.000000
DPLUS( 3) 0.000000 0.000000
DPLUS( 4) 10.00000 0.000000
DMINUS( 1) 0.000000
DMINUS( 2) 5.000000 0.000000
DMINUS( 3) 16.00000 0.000000
DMINUS( 4) 0.000000 0.000000
A( 1, 1) 2.000000 0.000000
A( 1, 2) 2.000000 0.000000
C( 1, 1) 200.0000 0.000000
C( 1, 2) 300.0000 0.000000
C( 2, 1) 2.000000 0.000000
C( 2, 2) -1.000000 0.000000
C( 3, 1) 4.000000 0.000000
C( 3, 2) 0.000000
C( 4, 1) 0.000000 0.000000
C( 4, 2) 5.000000 0.000000
WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 2) 1.000000 0.000000
WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000
WPLUS( 3, 1) 0.000000
WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000
WPLUS( 3, 3) 3.000000 0.000000
WPLUS( 3, 4) 1.000000 0.000000
WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000
WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000
WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000
WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 2) 1.000000 0.000000
WMINUS( 2, 3) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 4) 0.000000
WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000
WMINUS( 3, 2) 0.000000 0.000000
WMINUS( 3, 3) 3.000000 0.000000
WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000
-1.000000
2 0.000000
-1.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 2.000000 0.000000
0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
第一级的最优偏差为0，进行第二级计算。在第二级目标计算时，p（1），p（2），p（3）分别输入0，1，0。由于第一级的偏差为0，因此goal（1）的输入值为0，goal（2）输入一个较大的值（例如100000）。计算结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value:
0.000000
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
0.000000
P( 2) 1.000000 0.000000
P( 3) 0.000000 0.000000
Z( 1) 0.000000 0.000000
Z( 2) 0.000000 1.000000
Z( 3) 29.25000 0.000000
GOAL( 1) 0.000000 0.000000
GOAL( 2) 100000.0 0.000000
GOAL( 3) 0.000000 0.000000
X( 1) 1.875000 0.000000
X( 2) 3.750000 0.000000
0.000000
G( 1) 1500.000 0.000000
G( 2) 0.000000 0.000000
G( 3) 16.00000 0.000000
G( 4) 15.00000 0.000000
DPLUS( 1) 0.000000 0.000000
DPLUS( 2) 0.000000 0.000000
DPLUS( 3) 0.000000 0.000000
DPLUS( 4) 3.750000 0.000000
DMINUS( 1) 0.000000 0.000000
DMINUS( 2) 0.000000 0.000000
0.000000
DMINUS( 4) 0.000000 0.000000
A( 1, 1) 2.000000 0.000000
A( 1, 2) 2.000000 0.000000
C( 1, 1) 200.0000 0.000000
C( 1, 2) 300.0000 0.000000
C( 2, 1) 2.000000 0.000000
C( 2, 2) -1.000000 0.000000
C( 3, 1) 4.000000 0.000000
C( 3, 2) 0.000000 0.000000
C( 4, 1) 0.000000 0.000000
0.000000
WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000
WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 2) 1.000000 0.000000
WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000
WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000
WPLUS( 3, 1) 0.000000 0.000000
WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000
0.000000
WPLUS( 3, 4) 1.000000 0.000000
WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000
WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000
WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000
WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 2) 1.000000 0.000000
WMINUS( 2, 3) 0.000000 0.000000
WMINUS( 2, 4) 0.000000 0.000000
WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000
0.000000
WMINUS( 3, 3) 3.000000 0.000000
WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000
-1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.7500000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000
lingo 大规模规划求解 首先，让我们先看看一个非常简单的规划例子在LINGO软件中实现过程： 目标函数： 约束条件： 求解上面目标函数的最小值，我们在lingo中可编写如下代码：model: MIN=2*X1+X2-3*X3+5; X1+X2-3*X3<=10; X1-2*X2>=5 @GIN(X1);!整数约束； @GIN(X2); @GIN(X3); END 可以看出，LINGO语言和数学专业语言很接近，很容易表示约束条件和目标函数。可是对于规模很大的约束条件，难道我们也必须这样一条一条的输入吗，显然这样做是一件非常困难和繁琐的事，lingo语言又是如何表示约束条件规模巨大的规划问题呢，带着这样的疑问，让我们一步一步得看下面的内容： 一、集合域 在数学中集合的定义如下： 集合：具有某种相同属性的对象放在一起，就形成了一个集合， 集合中的每一个对象称作该集合的元素。 在大规模的优化问题中，集合是必然存在的，比如在平板车建模中，各种规格集装箱就可以看成一个集合，在货物配送问题中154个城市可以看成一个集合。在lingo语言中，将某些对象看成一个集合便可以很方便地对集合中的每一个元素进行统一处理。 集合域必须在模型的约束引用集合之前定义。
集合域用关键字“sets”开始，“endsets”结束。 集合分类： 基本集合定义统一语法格式： setname[/member-list/][:attribute-list]; 集合名/对象名1 对象名2 …对象名n/：对象属性； 集合定义的几种方法: sets row/1..20/：d1，d2,…dn; !集合名/对象名/：对象属性； end sets 派生集合定义方法： sets row/1..20/; col/1..100/; page/1..50/; link(row.col):k1,k2…kn; trd/(,t2,…tn; end sets K1可以表示某个省的某个城市的人口。 t1可以表示某个省的某个城市某个人的收入。 二、数据域： 数据域是优化问题中已知得对象的属性值，例如：人的身高，体重；车辆的载重，行驶速度。 数据域以关键字“data”开头，“enddata”结束。 数据域可以出现在模型中的任何地方。 data: d1=…; k1=…; t1=…; enddata 数据域的未知数值 有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格。 例3.8 sets:
AK是一家空调制造商，其面临的需求增长很快。预计2001年，其全国的需求在南部将为180,000单位，在中部为120,000单位，在东部为110,000单位，在西部为100,000单位。DryIce在设计物流网络时，有四个备选的地点：New York, Atlanta, Chicago和San Diego。在这四个地点建厂，工厂的生产能力将要么为200,000单位，要么为400,000单位。工厂的年固定运营成本及从工厂所在地生产出产品并运往四个销售区域的生产和运输的单位成本如表所示。请为该设施网络的设计建立模型，并请对模型作简要说明。 设定变量如下表所示：其中M11 M12等一系列值为0.1变量，即可得到如下式子： m12+9200000*m22+232*x12+212*x22+230*x32+280*x42+5600000*m13+9300000*m 23+238*x13+230*x23+215*x33+270*x43+6100000*m14+10200000*m24+299*x14+2 80*x24+270*x34+225*x44; m11*200000+m21*400000>=x11+x21+x31+x41; m12*200000+m22*400000>=x12+x22+x32+x42; m13*200000+m23*400000>=x13+x23+x33+x43; m14*200000+m24*400000>=x14+x24+x34+x44; x11+x12+x13+x14>=110000; x21+x22+x23+x24>=180000; x31+x32+x33+x34>=120000; x41+x42+x43+x44>=100000; @bin(m11);@bin(m21);@bin(m12);@bin(m22);@bin(m13);@bin(m23);@bin(m14) ;@bin(m24); 通过运行LINGO得到如下结果：
Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 Min z c 1 x 1 c n x n a 11 x 1 a 1n x n b 1 s..t a m1 x 1 a mn x n (1) b m x i 0, i 1,2, , n 其中 z c 1 x 1 c n x n 称为目标函数， 自变量 x i 称为决策变量 ,不等式组 (1)称为约 束条件 . 满足不等式组 (1)的所有 ( x 1, , x n ) 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的 ( x 1* , , x n * ) 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有 Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中 Lingo 是一款专 业求解优化模型的软件， 有其他软件不可替代的方便功能。 本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min= 函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用： >、<、>=、<=等符号。但是 >与 >=没有区别。 Lingo 软件默认所以自变量都大于等于 0. 3、运算 加 (+), 减(-), 乘(*), 除(/), 乘方 (x^a) ，要注意乘号 (*) 不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过 32 个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“ ; ”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ， end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入 MODEL ：表示开始输入模型，以“ END ”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名 ) ； @bnd(a, 变量名 ,b ) ； @free( 变量名 ) ； @gin(变量名 ) ； 例 1 求目标函数 z 2x 1 限制该变量为 0 或 1. 限制该变量介于 a,b 之间 . 允许该变量为负数 . 限制该变量为整数 . 3x 2 的最小值，约束条件为
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- + 。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +-- =+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。 在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ - d d x x 14x 1633=-++ -d d
数学建模：运用Lindolingo软件求解线性规划 1、实验内容: 对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo对模型进行求解。 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.名今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 数学建模论文 运用lindo/lingo软件求解线性规划 运用lindo/lingo软件求解线性规划 一、摘要 本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。 首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。 然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。 最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。 【关键词】最优解 lindo/lingo软件 第二、问题的重述 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原
料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。 第三、模型的基本假设 1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。 2、每个人的能力相等。 3、生产设备对生产没有影响。 第四、符号说明 1、x.....甲饮料 2、y.....乙饮料 3、z.....增加的原材料 第五、问题分析 根据题目要求:如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。我们可以先建立数学模型，然后用lindo/lingo软件包求解模型的最大值。 第六、模型的建立及求解根据题目建立如下3个模型: 模型1: max=0.1*x+0.09*y; 0.06*x+0.05*y<=60; 0.1*x+0.2*y<=150; x+y<=800; 结果:x=800;y=0;max=80 模型2:
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- +。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +--=+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ -d d x x 14x 1633=-++ -d d 155442=-++ -d d x 3,2,1,0,,,21=≥+ -i d d x x i i
Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤??? ? +≤??≥=?L M L L (1) 其中11n n z c x c x =++L 称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件. 满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x L 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的** 1(,,)n x x L 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：>、<、>=、<=等符号。但是>与>=没有区别。Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0. 3、运算 加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号 每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。
6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名)； 限制该变量为0或1. @bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. @free(变量名)； 允许该变量为负数. @gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1223z x x =+的最小值，约束条件为 输入Lingo 程序： min = 2*x1 + 3*x2; x1 + x2 >= 350; x1 >= 100; 2*x1 + x2 <= 600; 有两种运行方式： 1、点击工具条上的按钮 即可。 2、点击菜单：LINGO →Solve 运行结果如下： 下面对其各个部分进行说明： Global optimal solution found ：表示已找到全局最优解。 Objective value ：表示最优值的大小。可见本题函数最小值min z =800。 Infeasibilities ：矛盾约束的数目。 Total solver iterations:迭代次数。 Variable ：变量。本题有两个变量。
LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用 在许多实际问题中，决策者所期望的目标往往不止一个，如电力网络管理部门在制定发电计划时即希望安全系数要大，也希望发电成本要小，这一类问题称为多目标最优化问题或多目标规划问题。 一、多目标规划的常用解法 多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有： 1．主要目标法 确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。 2．线性加权求和法 对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑i i ω，然后把) (x f i i i ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。 3．指数加权乘积法 设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令 ∏==p i a i i x f Z 1)]([ 其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。 4．理想点法 先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令 ∑-=2*))(()(i i f x f x h 然后把它作为新的目标函数。 5．分层序列法 将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。 这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不
足之处。例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。 二、最大最小化模型 在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。 最大最小化模型的目标函数可写成 )}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X 或 )}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X 式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。模型的约束条件可以包含线性、非线性的等式和不等式约束。这一模型的求解可视具体情况采用适当的方法。 三、用LINGO 求解多目标规划和最大最小化模型 1．解多目标规划 用LINGO 求解多目标规划的基本方法是先确定一个目标函数，求出它的最优解，然后把此最优值作为约束条件，求其他目标函数的最优解。如果将所有目标函数都改成约束条件，则此时的优化问题退化为一个含等式和不等式的方程组。LINGO 能够求解像这样没有目标函数只有约束条件的混合组的可行解。有些组合优化问题和网络优化问题，因为变量多，需要很长运算时间才能算出结果，如果设定一个期望的目标值，把目标函数改成约束条件，则几分钟就能得到一个可行解，多试几个目标值，很快就能找到最优解。对于多目标规划，同样可以把多个目标中的一部分乃至全部改成约束条件，取适当的限制值，然后用LINGO 求解，从中找出理想的最优解，这样处理的最大优势是求解速度快，节省时间。 2．解最大最小化问题
Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。 例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata
例2 运输问题 解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。 于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序
生产规划问题及LINGO求解 摘要：本文根据生产规划问题的特点，建立了满足生产规划的线性规划模型，并且利用lingo软件进行求解，提出了一种可以合理解决此类问题的数学方法，效果比较令人满意。 关键词：线性规划模型 lingo软件 中图分类号：tb114 文献标识码：a 文章编号： 1007-9416(2012)01-0073-01 1、问题的提出 某工厂是生产某种电子仪器的专业厂家，该厂是以销量来确定产量的1～6月份各个月生产能力、合同销量和单台仪器平均生产费用如表1所示。 又知上年末积压库存103台该仪器没售出.如果生产出的仪器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台仪器需增加运输成本0.1万元，每台仪器每月的平均仓储费、维护留出库存80台.加班生产仪器每台增加成本1万元。试问应该如何安排1～6月份的生产，使总的生产成本（包括运输、仓储和维护）费用最少？ 2、模型分析与假设 本模型的目标是使总的生产成本最小，其中总的生产成本包括正常生产仪器的费用、加班生产仪器的费用、当月不交货的运输费用及库存的仓储费、维护费.为此，我们作如下假设： (1)设第个月正常生产台。(2)设第个月加班生产台。(3)设第个
月不交货台。(4)设第个月售出上月库存台。(5)设第个月库存台。 (6)记第个月销量。(7)设第个月单台生产的费用。(8)记第个月正常生产能力。(9)记第个月加班生产能力。 3、模型的建立与求解 根据以上假设可知，第个月正常生产的成本为，第个月加班生产的成本为，第个月对不交货仪器的运输费为，第个月库存的仓储费及维护费为。 模型的目标函数为. 下面考虑本模型的限定条件 第个月销量的约束为 第个月正常生产能力的约束为: 第个月加班生产能力的约束为: 1～6月库存的约束为 于是问题的数学模型为 运行lingo软件求解模型，程序如下： model: sets: num_i/1..6/:b,c,d,e,x,y,z,w,h; endsets data: b=104,75,115,160,103,70;c=15,14,13.5,13,13,13.5;
加工奶制品的生产计划 问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶 牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。 基本模型 决策变量：设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。 目标函数：设每天获利Z 元。1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ?，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ?，故Z=216472x x +. 约束条件 原料供应：生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间：生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时； 设备能力：1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负：1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。 综上可得 Max Z=216472x x + (1) s.t. 1x +2x ≤50 (2)
Lingｏ与线性规划 线性规划得标准形式就是 (1) 其中称为目标函数，自变量称为决策变量,不等式组(1）称为约束条件、 满足不等式组(1)得所有得集合称为可行域,在可行域里面使得z取最小值得称为最优解，最优解对应得函数值称为最优值。 求解优化模型得主要软件有Lｉngｏ、Maｔlａb、Eｘｃel等。其中Linｇo 就是一款专业求解优化模型得软件,有其她软件不可替代得方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域得应用。 一、基本规定 １、目标函数输入格式 mａｘ=函数解析式; 或者min=函数解析式; ２、约束条件输入格式 利用：>、＜、>＝、<=等符号。但就是>与＞=没有区别。Ｌｉngo软件默认所以自变量都大于等于0、 3、运算 加(+),减(-),乘（*）,除(／),乘方(x＾a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符,必须以字母开头。 ５、标点符号 每个语句以分号“；”结束,感叹号“！”开始得就是说明语句(说明语句也需要以分号“;”结束)。但就是,moｄel，sｅｔs,data以“:”结尾。endsets,e ｎddata,eｎd尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 ７、MＯDEL语句 一般程序必须先输入MOＤEL：表示开始输入模型,以“EＮD”结束。对简单
得模型,这两个语句也可以省略。 8、改变变量得取值范围 ｂin(变量名); 限制该变量为0或1、 ｂnd(a，变量名,b);限制该变量介于a,ｂ之间、free(变量名)；允许该变量为负数、 gin（变量名)；限制该变量为整数、 例1 求目标函数得最小值，约束条件为 输入Lingｏ程序： miｎ=2＊x1 ＋3*x2； x１+ x2 >=350;?x1 >=1０0;?2*x1 ＋ｘ2 ＜=600; 有两种运行方式: １、点击工具条上得按钮即可。 2、点击菜单:LINGＯ→Solve 运行结果如下： 下面对其各个部分进行说明: Glｏbal oｐtimaｌsolution ｆounｄ：表示已找到全局最优解。 Obｊｅctive ｖalｕe：表示最优值得大小。可见本题函数最小值８00。 Infeaｓｉｂｉlｉties:矛盾约束得数目。
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现 一、问题的提出： 某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg，才能满足动物生长需要。 问题： 1．求使得总成本最低的饲料配方？ 2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位，但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所值不值得接受？ 3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克，问是否要改变饲料配方？ 二、建立线性规划数学模型 解答： （1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线性规划数学模型如下： 目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5 约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60 0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3 005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
X1+X2+X3+X4+X5<=52 X1, X2, X3, X4, X5>=0 三、在LINGO软件中的求解 在LINGO中输入下面的命令： Model： Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5; 0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60; 0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3; 0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8; x1+x2+x3+x4+x5<52; end 操作：选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果. 输出结果如下: Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 22.40000 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.7000000 X2 12.00000 0.000000 X3 0.000000 0.6166667 X4 30.00000 0.000000 X5 10.00000 0.000000
实验二：目标规划 一、实验目得 目标规划就是由线性规划发展演变而来得，线性规划考虑得就是只有一个目标函数得问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有得还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型得建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划得一般模型 设)...2,1(n j x j =就是目标规划得决策变量，共有m 个约束就是国内刚性约束，可能就是等式约束，也可能就是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束得偏差就是),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有不同得权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。因此目标规划模型得一般数学表达式为： min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k k d w d w p z 11);( s 、t 、 ,,...2,1,),(1 m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验内容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单与向导在E 盘创建一个项目。目录与项目名推荐使用学生自己得学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序得可读性。 例2、1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业得经营目标不仅仅就是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品得产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。 在重要性上，设备C 就是设备B 得3倍。 此题中只有设备A 就是刚性约束，其余都就是柔性约束。首先，最重要得指标就是企业得利润，将它得优先级列为第一级；其次就是Ⅰ、Ⅱ两种产品得产量保持1：2得比例，列为第二级；再次，设备B 、C 得工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 得重要性就是设备C 得3倍，因此它们得权重不一样，设备B 得系数就是设备C 得3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211++-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ -d d x x 14x 1633=-++-d d 155442=-++-d d x 3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i LINGO 程序为：
Lingo 与线性规划 线性规划的标准形式是 11n n Min z c x c x =++L 1111111..0,1,2,,n n m mn n m i a x a x b s t a x a x b x i n +≤??? ? +≤??≥=?L M L L (1) 其中11n n z c x c x =++L 称为目标函数，自变量i x 称为决策变量,不等式组(1)称为约束条件. 满足不等式组(1)的所有1(,,)n x x L 的集合称为可行域，在可行域里面使得z 取最小值的** 1(,,)n x x L 称为最优解，最优解对应的函数值称为最优值。 求解优化模型的主要软件有Lingo 、Matlab 、Excel 等。其中Lingo 是一款专业求解优化模型的软件，有其他软件不可替代的方便功能。本文将简要介绍其在线性规划领域的应用。 一、基本规定 1、目标函数输入格式 max=函数解析式； 或者 min=函数解析式； 2、约束条件输入格式 利用：>、<、>=、<=等符号。但是>与>=没有区别。Lingo 软件默认所以自变量都大于等于0. 3、运算 加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(x^a)，要注意乘号(*)不能省略。 4、变量名 不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。 5、标点符号
每个语句以分号“；”结束，感叹号“！”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。但是，model ，sets ，data 以“：”结尾。endsets ，enddata ，end 尾部不加任何符号。 6、命令不考虑先后次序 7、MODEL 语句 一般程序必须先输入MODEL ：表示开始输入模型，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 8、改变变量的取值范围 @bin(变量名)； 限制该变量为0或1. @bnd(a,变量名,b )； 限制该变量介于a,b 之间. @free(变量名)； 允许该变量为负数. @gin(变量名)； 限制该变量为整数. 例1 求目标函数1223z x x =+的最小值，约束条件为 1211212..35010022600,0 s t x x x x x x x +≥??≥?? +≤??≥? 输入Lingo 程序： min = 2*x1 + 3*x2; x1 + x2 >= 350; x1 >= 100; 2*x1 + x2 <= 600; 有两种运行方式： 1、点击工具条上的按钮 即可。 2、点击菜单：LINGO →Solve 运行结果如下：
l i n g o求解多目标规 划--例题
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国内刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一 个优先级k p 中，有不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。因此目标规划模 型的一般数学表达式为： min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k k d w d w p z 11);( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑
三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。 四、实验内容及步骤 1、打开LINGO，并利用系统菜单和向导在E盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A，B，C三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：（1）力求使利润不低于1500元； （2）考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3）设备A为贵重设备，严格禁止超时使用； （4）设备C可以适当加班，但要控制；设备B即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C是设备B的3倍。 此题中只有设备A是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B、C的工作时间要有所控制，列为第
Lingo、lindo简介 一、软件概述 (1) 二、快速入门 (4) 三、Mathematica函数大全--运算符及特殊符号 (11) 参见网址： https://www.doczj.com/doc/ea8230595.html,/ 一、软件概述 （一）简介 LINGO软件是由美国LINDO系统公司研发的主要产品。LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即交互式的线性和通用优化求解器。LINGO可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于 内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。能方便与EXCEL，数据库等其他软件交换数据。 LINGO实际上还是最优化问题的一种建模语言,包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用,并提供与其他数据文件（如文本文件、Excel 电子表格文件、数据库文件等）的接口,易于方便地输入、求解和分析大规模最优化问题。 （二）LINGO的主要特点： Lingo 是使建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更 有效率的综合工具。Lingo 提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求 解最佳化模型。
1 简单的模型表示 LINGO 可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。LINGO的建模语言允许您使用汇总和下标变量以一种易懂的直观的方式来表达模型，非常类似您在使用纸和笔。模型更加容易构建，更容易理解，因此也更容易维护。 2 方便的数据输入和输出选择 LINGO 建立的模型可以直接从数据库或工作表获 取资料。同样地，LINGO 可以将求解结果直接输出到数据库或工作表。使得您能够在您选择的应用程序中生成报告。 3 强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求解器用来求解线性的，非线性的(球面&非球面的)，二次的，二次约束的，和整数优化问题。您甚至不需要指定或启动特定的求解器，因为LINGO会读取您的方程式并自动选择合适的求解器。 4交互式模型或创建Turn-key应用程序 您能够在LINGO内创建和求解模型，或您能够从您自己编写的应用程序中直接调用LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提供了一整套建模环境来构建，求解和分析您的模型。对于构建turn-key解决方案，LINGO提供的可调用的DLL 和OLE界面能够从用户自己写的程序中被调用。LINGO也能够从Excel宏或数据库应用程序中被直接调用。 5 广泛的文件和HELP功能