五年级典型行程问题第4-6

第四节 典型行程类型（上）

火车过桥与多人行程

一、火车过树 (植树问题)

二、火车过人 1. 相遇 2. 追及

三、火车过桥 (典型)

四、火车过火车 (错车问题)

1. 相遇 2. 追及

【学习目标】

1. 掌握四大火车行程的基本问题与公式，注意确定路程和速度的方法与技巧.

2. 掌握综合类的火车行程问题，注意使用比较加减法，并注意其中与植树问题的综合考察。

【重点难点】

1. 火车行程中的相遇与追及路程的判断.

2. 分析火车行程问题中的速度和与速度差的使用.

3. 分析火车行程与其他行程问题的综合与判断。

【例 1】 一列火车长 280 米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔 2 米，这列火车从车头到 第 1

棵树到车尾离开第 61 棵树用了 15 秒钟，这列火车每分钟行多少米 ？

【巩固】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是 1.5 米/秒，这时迎面开来 一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 20 秒，已知火车全长 390 米，求火车的速度。

【例 2】小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走， 这时有一列长 460 米的火车从他背后开来， 他在行进中测出火车从他身边通过的时间是 20 秒，而在这段时间内，他行走了 40 米. 求这列 火车的速度是多少？

【例 3】 一个车队以 6 米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用 152 秒，已知每辆车 长

6 米，两车间隔 10 米， 问：这个车队共有多少辆车？ 【例 4】 列车通过 250 米的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，又知列车的前方有一

辆与它同向行驶的货车，货车车身长 320 米，速度为每秒 17 米，列车与货车从相遇到相离需 要多少秒？

【例 5 】(2007 年第十二届“华杯赛”初赛)李云靠窗坐在一列时速 60 千米的火车里，看到一 辆有

30 节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过 窗口时，所计的时间是 18 秒。已知货车每节车厢长 15.8 米，车厢间距 1.2 米，货车车头长 10 米。问货车行驶的速度是多少？

【例 6】 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行 30 米，慢车每秒行 22 米。如果从两车头对齐 开始算，则行 24 秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行 28 秒后快车超过慢车， 那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时 间？

【例 7】铁路旁一条小路，一列长为 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向南驶去，8 点时追 上向南行走的一名军人，15 秒后离他而去，8 点 6 分迎面遇到一个向北行走的农民，12 秒后离 开这个农民，问：军人与农民何时相遇？

流水行船

一、基本流水行程问题

二、流水相遇与追及问题

【学习目标】

1. 掌握流水行程问题的基本公式与基本题型.

2. 掌握流水相遇和追及行程问题中的相遇追及路程， 速度和与速度差， 及其之间的关系与转换. 【重点难点】

1. 流水行程问题中静水速度，水流速度，顺水速度，逆水速度之间的关系。

2．分析与判断流水行程中的路程速度与时间关系.

3. 流水相遇与追及问题中速度和与速度差与水速无关的运用. 流水问题是研究船在顺水和逆水中船只速度关系问题，流水问题的典型之处在于船在河流中航 行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推动或阻滞，所以顺流而下的速度和逆流而上的 速度不同，行船速度除了跟船只本身的速度有关外，还受到河流中的流水速度的影响. 逆水船速=静水船速-水流速度； 顺水船速=静水船速+水流速度； 由以上两条关系式结合和差原理，能得到以下两公式： 静水速度=（顺水船速+逆水船速）÷2 水流速度=（顺水船速－逆水船速）÷2 除此以外，在流水行船问题中还经常运用到一条性质：河流漂流物体速度=水流速度. 在相同的一条河流中，甲乙两船的速度有如下数量关系. 甲船顺 (逆)水速度 + 乙船逆 (顺)水速度=（甲船速

± 水速)+ (乙船速 m 水速) =甲船静水船速 + 乙船静水船速。 同样的在追及问题也有类似的数量关系：

甲船顺 (逆)水速度－乙船顺 (逆)水速度= (甲船速 ± 水速)- (乙船速 ± 水遮) = 甲船静水船速－乙船静水船速。 由此我们能总结出一个一般性的结论：水速对相向行驶的两船速度和或同向行驶的两船速度差 没有影响，所以水速对于相遇或追及的时间不产生影响。 【例 1】甲、乙两船在静水中的速度分别为 33

千米/小时和 25 千米/小时，两船从相距 232 千 米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲 船可以追上乙船？

【例 2】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返回上行 需要

7 小时，求：这两个港口之间的距离。

【例 3】一艘小船在河中航行，第一次顺流航行 33 千米，逆流航行 11 千米，共用 11 小时； 第二次用同样的时间，顺流航行了 24 千米，逆流航行了 14 千米，这艘小船的静水速度和水流 速度是多少？

【巩固】一艘轮船顺流航行 80 千米，逆流航行 48 千米共用 9 时；顺流航行 64 千米，逆流航 行

96 千米共用 12 时，求轮船的速度。 【铺垫】 一只船在河里航行， 顺流而下每小时行 18 千米， 已知这只船下行 2 小时恰好与上行 3

小时所行的路程相等。求船速和水速。

【例 4】 一只帆船的速度是每分 60 米，船在水流速度为每分 20 米的河中，从上游的一个港口 到下游某一地，再返回到原地，共用了 3 小时 30 分，这条船从上游港口到下游某地共走了多 少米？

【例 5】 甲、乙两船的船速分别为每小时 22 千米和每小时 18 千米。两船先后从同一港口顺水 开出，乙船比甲船早出发 2 小时，如果水速是每小时 4 千米，问：甲船开出后几小时能追上乙 船？

【例 6】 一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时。回来时顺水，比去时的速度每小时多行 8 千米，因此第 2 小时比第 1 小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地距离是多少千米？

【例 7】 某人畅游长江，逆流而上，在 A 处丢失一只水壶，他向前又游了 20 分钟后，才发现 丢失了水壶立即返回追寻，在离 A 处 2 千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？

【例 8】 甲、乙两船分别在一条河的 A、B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。相 遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 B 地，乙到达 A 地后，都立即 按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了 1 千米。如果从第一次相遇到第二次 相遇时间相隔 1 小时 20 分，则，河水的流速为多少？

【例 9】 一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处，客船和货船分别从甲、乙两 码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变，客船出发时有一物品从船上落入 水中. 10 分钟后此物品距客船 5 千米，客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好 和货船相遇，求水流的速度是多少？

环形行程

一、二人追及 (追及公式)

二、二人相遇 (相遇公式)

三、三人追及与相遇 (与数论相关)

四、变速追及与相遇 (分类与分段考虑)

五、环行走走停停问题 (假设与判断)

【学习目标】

1. 掌握环行行程问题的基本公式与基本题型。

2. 掌握利用路程，速度和时间之间的比例关系解决环行行程问题。

3. 掌握环行问题的拓展综合题型，包括变速，多人行程，走走停停行程。

4. 掌握行程问题的基本分析思路，包括读题，审题，画图，分析已知数量关系，未知数量关系 与隐含数量关系，并进行推理与解题。

钟表行程

钟表行程问题

1. 追及问题 2. 相遏问题

钟表误差问题

1. 标准时间一致型

2. 错误时间一致型

【学习目标】

1. 掌握钟表行程问题的基本公式与基本题型。

2．掌握利用比例关系解决钟表误差问题。

【重点难点】

1. 钟表问题中的时针与分针的速度表示.

2. 分析与判断钟表行程问题中的追及和相遇问题。

3. 分析和判断钟表误差问题中的标准时间和错误时间，并列出比例式。

【例 1 】(北京市第十届“迎春杯”数学竞赛决赛第二题第 4 题)有一座时钟现在显示 10 时 整，那么， 经过多少分钟， 分针与时针第一次重合： 再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

猎狗追兔

【例 1】兔跑 5 步的时间狗跑 3 步，狗跑 4 步的距离兔跑 7 步，现在兔已跑出 30 米，狗开 始追它。间：兔再跑多远。狗可以追上它？

【例 2】一只猎狗正在追赶前方 20 米的兔子，已知狗一跳前进 3 米，兔子一跳前进 2.1 米， 狗跳

3 次的时间兔子可以跳 4 次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？

【例 3】一只野兔逃出 80 步后猎狗才追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需要跑 3 步，猎狗跑 4 步的时间兔子能跑 9 步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？

发车间隔 【例 1】A、B 是公共汽车的两个车站，从 A 站到 B 站是上坡路。每天上午 8 点到 11 点从 A、B 两站每隔 30 分同时相向发出一辆公共汽车。已知从 A 站到 B 站单程需 105 分，从 B 站到 A 站单程需 80 分。问：(1)8：30、9：00 从 A 站发车的司机分别能看到几辆从 B 站开 来的汽车？(2)从 A 站发车的司机最少能看到几辆从 B 站开来的汽车？

【例 2】某人以匀速行走在一条公路上，公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车。 他发现每隔 15 分钟有一辆公共汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而 过。问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？

【例 3】 小峰骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超 越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，于是只好坐出租车去小宝家，这时小峰又发现出租车也 是每隔 9 分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍，那么如果这三 种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车？

接送问题

【例 1】 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆可乘坐一个班学生的汽车接 送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班 学生下车步行， 车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫， 学生步行速度为每小时 4 公里，满载时车速每小时 40 公里，空载时车速为每小时 50 公里。问：要使两班学生同时到 达少年宫，第一班学生要步行全程的几分之几？

【铺垫】 有两个班的小学生要到少年宫参加活动， 但只有一辆可乘坐一个班学生的汽车接送， 第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生 下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时 4 公 里，车速每小时 40 公里. 问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生要步行全程的几 分之几？