高中物理碰撞类问题—弹簧与圆弧轨道问题

相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。

【问题】如图所示，物块B左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A物体以速度0v向B运动，假设A与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后A、B与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？

【分析】A、B的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹簧最长）时二者的速度相等。

⑴ 弹簧刚开始被压缩的过程中，B受到弹簧的弹力向右做加速运动，A受到弹力做减速运动，开始时A的速度大于B的速度，弹簧一直被压缩；⑵ 当AB、的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大；⑶ 此后由于A继续减速，B继续加速，B的速度开始大于A的速度，弹簧压缩量逐渐减小；⑷ 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，A的速度减至最小，B的速度增至最大；⑸ 此后弹簧开始伸长，A做加速运动，B做减速运动；⑹ 当弹簧伸长至最长时，AB、的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大；⑺ 此后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；⑻ 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，A的速度增至最大，B的速度减至最小。此后将重复上述过程。

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。设任意时刻A、B的速度分别为Av、Bv，弹簧的弹性势能为pE。

由动量守恒可得：0AAABBmvmvmv；

由能量守恒可得：2220p111222AAABBmvmvmvE；

由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。

上面我们通过具体的情景，说明了物块弹簧模型的分析方法，对于不同初始状态（如两个物块都运动）、多物体多过程等其它复杂情况，请同学们结合具体问题自己进行分析。

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教师版说明：⑴ 物块弹簧模型比较复杂，讲义中重点分析了运动情景并给出了利用动量能量守恒解决问题的思路，并没有给出速度和弹性势能的极值等结论，老师可以在分析的过程中推导结果。⑵ 老师可以重点说明一下物块弹簧模型与碰撞问题的相似性，直接用碰撞的结论可以简化很多问题。⑶ 由于学生可能没有学过简谐振动的内容，因此讲义中没有给运动过程中的vt图象；如果学生可以接受，老师也可以根据情况自己补充这个内容，加深对运动情景的理解。

**************************************************************************************** 13.1弹簧问题 类碰撞问题（一）

——弹簧与圆弧轨道问题

知识点睛

对比碰撞模型，我们会发现：从初始到弹簧压缩到最短的过程，实际上是一个完全非弹性碰撞的过程；从初始到弹簧第一次恢复原长过程，实际上是一个弹性碰撞的过程；两个模型所列出的动量、能量守恒方程类似（只是非弹性碰撞过程中损失的能量表现为弹性势能），因此我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的结果。

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例题说明：例1、例2侧重对运动过程的分析，可以利用碰撞模型的结论对结果进行分析；例3结合图象分析运动过程并进行简单计算，此题只要求会读取有用信息即可，不要求学生明白为什么图象是这样的，因此不涉及简谐振动内容；例4、例5计算速度及弹性势能的极值；例6是简单变式，但本质仍是动量能量双守恒；例7与直通高考部分的例8涉及三个物体多过程的问题。

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教师版说明：由于弹簧模型运动情景比较复杂，如果学生掌握的不是很好，在讲例题之前，老师还可以先通过这道补充题，重复一下知识点中分析的运动情景。

【补充1】如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则

⑴ A、B组成的系统动能损失最大的时刻是

A．A开始运动时

B．A的动量等于B动量时

C．B离开弹簧时

D．A和B的速度相等时

⑵ A速度最大的时刻发生在

A．A开始运动时

B．A的动量等于B动量时

C．B离开弹簧时

D．A和B的速度相等时

【答案】 ⑴ D ⑵ C

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【例1】 如图所示，a、b两物体质量相等，b上连有一轻质弹簧，且静止在光滑的水平面上，当a以速度v通过弹簧与b正碰，则

A．当弹簧压缩量最大时，a的动能恰好为零

B．当弹簧压缩量最大时，弹簧具有的弹性势能等于物体a碰前动能的一半

C．碰后a离开弹簧，a被弹回向左运动，b向右运动

D．碰后a离开弹簧，a、b都以2v的速度向右运动

【答案】 B

【例2】 在足够大的光滑水平面上放有两物块A和B，已知ABmm，A物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，B物体以初速度0v向着A物块运动，在B物块与弹簧作用过程中（B与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是

A．弹簧恢复原长时，B物块的速度为零

B．弹簧恢复原长时，B物块的速度不为零，且方向向右

C．在弹簧压缩过程中，B物块动能先减小后增大 D．在与弹簧相互作用的整个过程中，B物块的动能先减小后增大

【答案】 D

例题精讲

【例3】 如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为1m和2m的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得

A．在1t、3t时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都是处于压缩状态

B．从3t到4t时刻弹簧由压缩状态恢复到原长

C．两物体的质量之比为12:1:2mm

D．在2t时刻A与B的动能之比为k1k2:1:8EE

【答案】 CD

【例4】 如图所示，在光滑的水平面上，物体B原来静止，在物体B上固定一个轻弹簧，物体A以某一速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B发生作用，若两物体的质量相等，在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为pE；现将B的质量加倍，再使物体A以同样的速度通过弹簧与物体B发生作用（作用前物体B仍静止），在作用过程中弹簧获得的最大弹性势能为pE，那么

A．pp:2:1EE B．pp:3:4EE

C．pp:4:3EE D．pp:1:2EE

【答案】 B

【例5】 如图所示，A车质量为m，沿光滑水平面以速度1v向质量为3m的静止的B车运动，A车撞上B车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧连接在一起，求在此后的运动过程中：

⑴ 弹簧的最大弹性势能；

⑵ B车的最大速度。

【答案】 ⑴2p138Emv ⑵ 112v

【例6】 如图所示，A、B两滑块的质量均为m，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为d。用自然长度也为d的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块B一个向右的瞬时冲量I，求以后滑块A的最大速度。

【答案】 mIvm

【例7】 如图所示，物块ABC、、静止在光滑的水平面上，三者的质量均为2kgm。轻弹簧的左端与A连接，右端与B连接。弹簧处于原长，B和C紧靠在一起（不粘连）。现给物块A方向水平向右、大小为06m/sv的初速度，在以后的运动过程中物块AB、没有相碰，求弹簧被拉伸最长时的弹性势能（设弹簧处于原长时的弹性势能为零）。

【答案】 18J

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教师版说明：下面补充一道物块弹簧模型的问题，这道题是竖直方向的情况，运动情景比较复杂，且与碰撞和竖直上抛相结合，作为补充老师可以选讲。

【补充2】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为0x，如图所示。一物块从钢板正上方距离为03x的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。

【答案】 012x

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【例8】 如图，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上。B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触但不相接，将弹簧压紧到不能再压缩时，用细线把B、C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现A以速度0v沿BC的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为0v，求弹簧释放的势能。

【答案】 2013mv

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教师版说明：下面再补充一道高考题，此题与前面讲义上的类型不太一样，知识的综合性较强，有一定难度，作为综合题的补充老师可以选用。

【补充3】光滑水平面上放着质量，1kgAm的物块A与质量2kgBm的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能P49JE。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径05mR.,B恰能到达最高点C。210m/sg，求

⑴ 绳拉断后瞬间B的速度Bv的大小；

⑵ 绳拉断过程绳对B的冲量I的大小；

⑶ 绳拉断过程绳对A所做的功W。