高考
高考 专题三 函数的概念、性质与基本初等函数
第三讲 二次函数与幂函数
（一）核心知识整合
考点1：二次函数的图像和性质
1. 二次函数的解析式
（1）一般式：2()(0)fxaxbxca.
（2）顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为(,)hk，则其解析式为2()()(0)fxaxhka.
（3）两根式：若相应的一元二次方程的两根为12,xx，则其解析式为12()(0)fxaxxxxa.
2. 二次函数的图像和性质
[典型例题]
1.如图是二次函数2yaxbxc图象的一部分，图象过点0()3,A，对称轴为1x.给出四个结论: 高考
高考 ①24bac；②20ab；③0abc；④5ab.其中正确结论是( )
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
[答案]：B
[解析] ①∵二次函数的图象是抛物线,∴与x轴有两个交点,240bac,即24bac,正确;②∵抛物线的开口向下,0a．∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,0c．∵对称轴为1,2,24,02bxababaaa,错误;③1x时y有最大值,由图象可知0y,错误;④把1,3xx代入解析式得0,930abcabc,两边相加整理得50abc,即5ab,正确．
故选B.
2.函数256yxx的递增区间为（ ）
A. 5,2 B.5,2 C.,2 D.3,
[答案]：D
[解析] ∵函数256yxx，∴2560xx，
解得2x或3x，256txx的减区间是(2]5,,增区间是[5,2)，
∴yt是增函数，∴函数256yxx递增区间是3,，故选D.
考点2：幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
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二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
1． 二次函数的定义与解析式
(1) 二次函数的定义
形如： f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．
(2) 二次函数解析式的三种形式
① 一般式： f(x)＝ ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．
② 顶点式： f(x)＝ a(x－m)2＋ n(a≠ 0)．
③ 零点式： f(x)＝a(x－x1)(x－ x2)_(a≠ 0)．
2． 二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c
(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
定义域 ( －∞，＋∞ ) (－∞，＋∞ )
4ac－b2 4ac－b2
值域 ，＋∞ －∞， 4a 4a
在 x ∈ －∞，－ 2ba 上单调递 b
2a 在 x∈ －∞，－ 2ba 上单调递 减；
单调性 增；
在 x∈ － 2ba，＋∞ 上单调递 b
2a 在 x∈ － 2a，＋∞ 上单调递减 增
奇偶性 当 b＝ 0 时为偶函数， b≠0 时为非奇非偶函数
顶点 －b， 4ac－b2
－2a， 4a
对称性 图象关于直线 x＝ －2ba成轴对称图形 2/ 8
3. 幂函数
形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α是常数． 4． 幂函数的图象及性质
(1) 幂函数的图象比较
(2) 幂函数的性质比较
y＝x 2 y＝x 3 y＝x 1
y＝x2 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞ ) {x|x∈ R 且
x≠0}
值域 R [0，＋∞ ) R [0，＋∞ ) { y|y∈R且
y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函
数 奇函数
单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；
x∈(－∞， 0]时，减 增 增 x∈ (0，＋
∞ ) 时，减； x∈(－∞，
1． 二次函数的三种形式
(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．
（全国版）2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数学案
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2 / 142 第4讲 幂函数与二次函数
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 幂函数的图象和性质
1．五种幂函数图象的比较
2．幂函数的性质比较 （全国版）2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数学案
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[必会结论]
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!
(2）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）恒成立的充要条件是错误!
2．二次函数表达式的三种形式
(1）一般式:y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
（2）顶点式：y＝a（x＋h)2＋k（其中a≠0,顶点坐标为(－h，k））．
（3）两根式：y＝a(x－x1)(x－x2）(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．
[考点自测］
1 / 23 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义
第10讲 幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 2 / 23 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点 －b2a，4ac－b24a
对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形
3 / 23 ➢ 考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
