1 3.1.1
倾斜角与斜率
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 33 1 3 －3 －1 －33
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．0° D．无法计算
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A．0° B．45° C．60° D．90°
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )A．5 B．8 C．132 D．7
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )A．33 B．3 C．1 D．22
直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，
课题 3.1.1直线的倾斜角与斜率 课型 新授课
教学
目标 1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能进行简单应用。
2、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
3、通过斜率概念的建立和斜率公式的推导及其应用，帮助学生进一步体会数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，让学生在合作探究的环境下积极思考，体验到问题解决的喜悦，培养求真求实的科学精神和严谨的科学态度。
重点
难点 教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念; 直线斜率的计算公式
教学难点：直线的倾斜角与斜率的关系；直线斜率公式的推导
教具
准备 多媒体和WPS办公软件(运行课件和教案） 课时
安排 1
教 学 过 程
教学设计 师生活动 设计意图
创
设
情境
，
提出问题 1、用翻板引出在直角坐标系中，过一个定点P的直线位置确定吗？
2、日常生活中，我们还有没有表示倾斜程度的量呢？
3、倾斜角是怎样变化的？范围怎样的，直线的的倾斜程度与倾斜角有什么样的关系？坡度比引出斜率定义。
1、学生总结概括：引入倾斜角的概念来刻画直线的倾斜程度。
2、学生自主回答，教师根据学生的回答利用多媒体演示坡度，说明“坡度”实际就是“倾斜角的正切”，从而得出斜率的概念，同时强调倾斜角是090的直线没有斜率。
3、学生思考，探究，借助多媒体教师演示或让学生亲自操作动画过程。 1、学生可以在对比、观察、
思维的基础上提升自己的思维，使新旧知识之间尽可能产生自然的联系。
2、以日常生活中的斜面为例引入斜率的概念，然后通过多媒体师生互动探讨，加深对斜率的理解，也有助于培养学生的观察分析，抽象概括能力，充分引导学生主动参与的意识。
3、充分利用现代化教学手段，呈现直观、形象的数学，让问题的设计更具有开放性，更能激发学生的学习兴趣。
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对应学生用书P57
知识点一 直线的倾斜角
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
1．给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．
2．已知直线l过点(m，1)，(m＋1，1－tanα)，则( )
A．α一定是直线l的倾斜角
B．α一定不是直线l的倾斜角
C．180°－α不一定是直线l的倾斜角
D．180°－α一定是直线l的倾斜角
答案 C
解析 设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m＋1－m＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C．
知识点二 直线的斜率
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3．下列叙述不正确的是( )
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应
C．与y轴垂直的直线的斜率为0
D．与x轴垂直的直线的斜率不存在
答案 B
解析 每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．
4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )
A．k3>k1>k2
3.1.1倾斜角与斜率
【教学目标】：
1. 理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围。
2. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。
3. 掌握直线斜率和倾斜角之间的关系。
教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线的斜率，过两点的直线斜率的计算公式。
教学难点：直线的斜率和倾斜角的关系，
【复习回顾】：
问题1.在平面直角坐标系中， 一次函数y=kx+b的图象是什么？其中 k, 如何？
问题2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 的位置是否能够确定？这些直线有什么联系？
【数学建构】
1. 直线的倾斜角：当直线 I与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线 间所成的角a叫做直线I的倾斜角.
问题3.下列各图中标出的角 a是直线的倾斜角吗？
特别：当直线I与x轴平行或重合时，规定 a =0. 问题4.直线倾斜角a的取值范围是什么？
问题5.在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭，有时也说坡度，这里的陡峭和坡度 说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢 ？
问题6.如何度量直线的倾斜程度?
2. 直线的斜率：倾斜角不是 90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用
表示，即 k=tan a.
问题7.我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾 斜角和斜率呢？如：已知 A(2 , 3)、B( — 1 , 4)，则直线AB的斜率是多少？
说明：(1)当X1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 a = 90°,直线与x
轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和X1、X2在公式中的前后次序可以同时交换， 但分子与分母不能交换；
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4) 当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角 a = 0 °，直线与x轴平行或重合.
(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 .
