分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
线状地貌分形研究综述作者：范勇徐刚来源：《科技传播》2012年第19期摘要本文从线状地貌分维计算方法、线状地貌分维的地貌意义等方面综述分形理论在线状地貌研究中的现状和进展。
分形理论和方法研究线状地貌是可行的，线状地貌具有明显的分形特征，可以用分维值反映线状地貌的复杂程度和地貌演变。
线状地貌分形研究还处于起步阶段，还有许多问题需要深入研究。
关键词线状地貌；分形；分维中图分类号P208 文献标识码A 文章编号 1674—6708（2012）76—0063—02分形理论的形成和发展，为地貌的定量描述与地貌演变的非线性研究开辟了新天地。
海岸线、水系和山脉等线状地物具有明显的分形特征，已经成为分形地貌（fractal geomorphology）研究的热点之一。
许多学者利用分形理论对海岸线、河谷、水系、山脊线和洞穴等线状地貌进行了分形研究，都取得了一定的进展。
本文从线状地貌分维计算方法、线状地貌分维的地貌意义等方面总结了分形理论在线状地理事物研究中的一些研究成果，还总结出需要在线状地貌分形研究中深入和完善的一些问题，抛砖引玉，以求同行批评指正。
1 分形理论的产生及定义分形理论为美国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot）所创，其主要用于研究具有自相似性，不规则的分形几何图形问题。
其所创立的“分维几何学”（fractal geometry）开辟了一个崭新的研究领域[1]。
现代分形的概念源于曼德尔布罗特（1967）在自然杂志上发表的论文“英国的海岸线有多长”[2]，其从中得到了分形具有自相似性的重要特性。
经众多学者研究，给分形下了如下定义：1）具有精细结构；2）不能用传统几何语言表述其不规则性；3）具有统计上的自相似性；4）一般来说豪斯道夫维数大于拓扑维数；5）能由迭代产生；6）其大小不能用通常的测度（面积、长度等）来度量[3]。
2 线状地貌分形分维的计算方法2.1 线状地物分维的计算方法2.1.1 量规法量规法就是使用各种长度的尺子去测度同一线状地物，其长度L（r）是由尺子长度和用该尺子测量的次数N（r）决定的，如①式所示：L=N*r ①当应用的尺子长度r不同时，被测地物的长度即会出现相应变化，如果有：L（r）=A*r1—D ②成立，则被测线体具有分形性质。
芒德勃罗：沿着博物学传统走来1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内，一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形的报告。
此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将军肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦。
他拖着浓重的法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开创的。
他不时打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多非线性科学专家，当然还有数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。
主讲人时而觉得太冷，急忙穿上外套，时而觉得太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三四次之多。
这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起来，而负责报告厅空调设备的工作人员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。
此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗教授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位近些年来不断得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。
他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。
1996年8月他再次来访中国参加李政道主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。
对于中国文化和文字他还有几分向往，他称中国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。
据说，经他从中斡旋，他的名著《大自然的分形几何学》中译本在中国首次印行可以免收版税。
但遗憾的是，时过多年，译本还未面世。
大约9年前就听说译本不久行将出版。
家庭背景与成长经历波努瓦。
芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。
据一位语言学家讲，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。
波努瓦的父亲是成衣商，母亲是牙科医生.出于对地缘政治现实的警觉，1936年在他11周岁时举家迁往巴黎。
这也部分是受其叔父佐列姆。
芒德勃罗伊的吸引，当时佐列姆是法国的一位数学家。
分形几何在自然界中的应用自然界是一个充满了神秘和美妙的世界，我们可以在大自然中发现许多神奇的现象和形态。
其中，分形几何是一种独特的数学工具，可以帮助我们解释和理解这些复杂的自然现象。
本文将探讨分形几何在自然界中的应用。
一、植物的分形结构植物是自然界中最常见的分形结构之一。
无论是树木的枝干，还是花朵的形态，都展现出分形的特征。
以树木为例，我们可以观察到树干不仅会分成更小的树枝，而且每个树枝上的小树枝也会再次分叉，形成一个层层递进的分形结构。
这种分形结构不仅使得树木更加坚固和稳定，还能够最大化地吸收阳光和水分，提高植物的生存能力。
二、海岸线的分形特征海岸线是另一个常见的分形现象。
我们可以观察到，无论是大海岸线，还是小河流的岸线，都呈现出错综复杂的形态。
如果我们仔细测量海岸线的长度，会发现无论我们用多大的尺寸来测量，得到的结果都是不同的。
这是因为海岸线的形态是分形的，具有自相似的特性。
分形几何可以帮助我们理解海岸线的形成原理，以及预测海岸线的演化趋势。
三、云朵的分形形态云朵是自然界中另一个充满分形特征的现象。
我们可以观察到云朵的形态非常复杂，有着层层叠加的云团和细小的云朵。
这种分形形态使得云朵看起来更加柔软和丰满。
通过分形几何的分析，我们可以揭示云朵形成的物理过程，以及预测天气变化。
四、山脉的分形结构山脉是地球上最壮丽的景观之一，而且也展现出分形的特征。
从远处观察山脉，我们可以看到山峰之间错综复杂的纹理和形态。
如果我们放大观察山脉的一小部分，会发现同样的形态在更小的尺度上重复出现，形成分形结构。
这种分形结构使得山脉更加具有美感和层次感。
五、自然界中的分形模式除了以上几个具体的例子，我们还可以发现自然界中存在着许多其他的分形模式。
例如，叶子的纹理、蚂蚁的行走路径、河流的分支网络等等，都展现出分形的特征。
这些分形模式不仅令人惊叹，而且对我们理解自然界的规律和设计人工系统也有着重要的启示。
总结起来，分形几何在自然界中有着广泛的应用。
