高中物理竞赛—静电场(2020年10月整理).pdf

2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高 斯面使场强 E 能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如 下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对 称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称 性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯 定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强 E 能提到积分号外面。如电场 具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对 称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面 取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； ③求出高斯面所包围的净电荷 q，代入高斯定理的表示式求 出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布 U 后，由 E = −U 求场强 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场 强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的 函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。
环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个 电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。
五、电势能、电势和电势差
保守力做功和势能增量的关系 Aa→b = (Wb Wa) q0 在电场中 a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点 过程中电场力所做的功。
场强；3. 已知或求出电势分布 U 后，再由 E = −gradU 求场强。
熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。
1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带
电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连
续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介
r<R 时， E =0
r>R
时，
E
=
Q 40r 2
r0
4、带电 Q、体密度为 ρ 的均匀带电球体场强分布
r<R
时，
E
=
Q 40 R3
r
r>R
时，
E
=
Q 40r 2
r0
三、电通量 高斯定理
电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点 场强方向一致；2. 通过垂直于 E 的单位面积的电场线的条数等于 该点 E 的大小。
电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电 荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾， 不是闭合曲线。
电场强度通量 Φe = E dS
s
电场强度通量也可形象地说成是通过该面积 S 的电场线的条
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数。
高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度
通量等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/ 0 倍。
U a
−Ub
= Wa − Wb q0
=
b
E dl
a
电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标
准点”过程中电场力做的功。
U a
= Wa q0
=
标
E dl
a
点电荷电势公式 U = q 4 0 r
电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产
生的电势的叠加（代数和）。
六、场强和电势的关系 电势梯度
场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。
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几种常见带电体的场强
1、电荷线密度为 λ 的无限长均匀带电直线外一点的场强
λ E=
2 0 a 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强
E= σ 2 0
方向垂直于带电平面。
3、带电 Q、半径为 R 的均匀带电导体球面或导体球的场强 分布
真空中的静电场
基本要求
一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定
理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。
内容提要
一、真空中的库仑定律
F = 1 q1q2 ( r ) 40 r 2 r
库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。
二、电场和电场强度
电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力； 2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电 场具有能量。
电场强度的定义式 E= F q0
点电荷场强公式 E = 1 q (r) 40 r 2 r
等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电 场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系
E = −gradU 或 E = −U
解题方法与例题分析
一、求场强的方法
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在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下
三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定 理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的
b
b
Wa −Wb =
a F dl = q0
E dl
a
电势能 选标准点（势能零点），且取 W 标=0，q0 在电场中某 点 a 的电势能为
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标
Wa
= q0
E dl
a
即 q0 自 a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属 于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
电势差 a、b 两点的电势差即把单位正电荷自 a→b 过程中 电场力做的功。
绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。
用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作
电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点
的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主
要步骤如下：
①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，
任一电荷元在空间某点场强为
dE
=
1 4 0

dq r2
r0
②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强
E =
dE =
1 4 0
dr q2 r0
选择适当的坐标系，把矢量积分 E = dE 化为分量积分式，如取
直角坐标系，则 Ex= d Ex ，Ey= d Ey ，Ez= d Ez。
③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定 的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电 体。
q
E dS = S内
S
0
高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场
与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。
四、静电场的保守性 环路定理
静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起 点和终点的位置，与移动的路径无关。
静电场的环路定理 E dl = 0
上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保 守力场。
④进行积分求得 Ex 、E y 、Ez，再求出 E 。
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在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小 宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳） 所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成， 这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线 上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积 分化为单重积分来做，使运算简化。