高考数学考前押题 直接证明与间接证明

2014高考数学考前押题：直接证明与间接证明

直接证明

1.如图,已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.

(1)证明:B,D,H,E四点共圆;

(2)证明:CE平分∠DEF.

证明:(1)在△ABC中,∵∠B=60°,

∴∠BAC+∠BCA=120°.

∵AD,CE是角平分线,

∴∠HAC+∠HCA=60°,∴∠AHC=120°.

∴∠EHD=∠AHC=120°.

∵∠EBD+∠EHD=180°,

∴B,D,H,E四点共圆.

(2)如图所示,连结BH,

则BH为∠ABC的平分线,

得∠HBD=30°.

由(1)知B,D,H,E四点共圆,

∴∠CED=∠HBD=30°.

又∠AEH=∠EBD=60°,AE=AF,AH平分∠EAF,

∴EF⊥AD.可得∠CEF=30°.

∴CE平分∠DEF.

2.(2010年浙江卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a

(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.

(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),

f′(x)= (x-1)(3x-5),

故f′(2)=1.

又f(2)=0,

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.

(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-23ab), 由于a

所以f(x)的两个极值点为x=a,x=23ab.

不妨设x1=a,x2=23ab,

因为x3≠x1,x3≠x2,

且x3是f(x)的零点,

故x3=b.

又因为23ab-a=2(b-23ab),

x4=12(a+23ab)=23ab,

此时a, 23ab,23ab,b依次成等差数列,

所以存在实数x4满足题意,且x4=23ab.

考点二 间接证明

1.(2010年江西卷,文22)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{2na}成等差数列.

(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;

(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<200的所有整数项的和.

(1)证明:由已知有:2na=1+24(n-1),

从而an=1241n.

取n-1=242k-1,则an=2124k(k∈N*).

用反证法证明这些an都是无理数.

假设an=2124k为有理数,则an必为正整数,

且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,

所以an=2124k(k∈N*)都是无理数,

即数列{an}中有无穷多项为无理数.

(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数, 所以有an-1=6m或an+1=6m.

当an=6m+1时,有2na=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).

又m(3m+1)必为偶数,

所以an=6m+1(m∈N)满足2na=1+24(n-1),

即n=312mm+1(m∈N)时,an为整数;

同理an=6m-1(m∈N*)时,有2na=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N*)也满足2na=1+24(n-1),

即n=312mm+1(m∈N*)时,an为整数;

显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项,

所以当n=312mm+1(m∈N)和n=312mm+1(m∈N*)时,an为整数.

由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,

由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33.

设an中满足an<200的所有整数项的和为S,

则S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)=11992×34+51972×33=6733.

2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的

中点.

(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;

(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.

(1)解:取CD的中点G,

连结MG,NG.

因为四边形ABCD,DCEF为正方形,

且边长为2,

所以MG⊥CD,MG=2,NG=2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF,

所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

所以MN=22MGNG=6.

(2)证明:假设直线ME与BN共面,

则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.

由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.

又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,

这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.

所以ME与BN不共面,它们是异面直线.

直接证明

1.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是( )

(A)f(2.5)

(B)f(2.5)>f(1)>f(3.5)

(C)f(3.5)>f(2.5)>f(1)

(D)f(1)>f(3.5)>f(2.5)

解析:因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,则f(2.5)>f(1)>f(3.5).故选B.

答案:B

2.若P=a+7a,Q=3a+4a(a≥0),则P、Q的大小关系是( )

(A)P>Q (B)P=Q

(C)P

解析:要证P

只需证P2

即证2a+7+27aa<2a+7+234aa,

只需证a2+7a

只需证0<12成立,

∵0<12成立,

∴P

故选C.

答案:C

3.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )

(A)b-a>0 (B)a3+b3<0

(C)a2-b2<0 (D)b+a>0

解析:∵a-|b|>0,∴|b|0,

∴-a0. 答案:D

间接证明

1.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么( )

(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形

(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,

由211211211πsincossin,2πsincossin,2πsincossin2AAABBBCCC

得212121π2π,2π,2AABBCC则A2+B2+C2=π2,

这与三角形内角和为180°相矛盾,所以假设不成立,

所以△A2B2C2是钝角三角形或直角三角形.

假设△A2B2C2是直角三角形,则直角的正弦值为1,则△A1B1C1某角余弦值为1,这与三角形余弦值不可能为1矛盾,所以△A2B2C2不可能是直角三角形,

即△A2B2C2是钝角三角形.故选D.

答案:D

2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是( )

(A)假设三个内角都不大于60度

(B)假设三个内角都大于60度

(C)假设三个内角至多有一个大于60度

(D)假设三个内角有两个大于60度

解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,对“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定,即“三个内角都大于60度”.

答案:B

综合检测

1.设a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,则有( )

(A)ad=bc (B)ad

(C)ad>bc (D)ad≤bc

解析:∵|a-d|<|b-c|,

∴(a-d)2<(b-c)2, 即a2+d2-2ad

又∵a+d=b+c,a,b,c,d>0,

∴(a+d)2=(b+c)2,

即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,

∴-4ad<-4bc,∴ad>bc.

答案:C

2.设x>0,y>0,a=x+y,b=2cosx·2siny,则a与b的大小关系是 .

解析:当sin θ=0时,cos2θ=1,

∴b=x

当cos θ=0时,sin2θ=1,b=y

当sin θ≠0且cos θ≠0时,

∵x>0,y>0,∴x

∴2cosx<2cosxy,2siny<2sinxy,

∴b=2cosx·2siny<2cosxy·2sinxy=22sincosxy=x+y=a.

综上b

答案:b

3.命题:“若空间两条直线a,b分别垂直平面α,则a∥b”,学生小夏这样证明:

设a,b与平面α分别相交于A,B,连接AB,

∵a⊥α,b⊥α,AB⊂α,①

∴a⊥AB,b⊥AB,②

∴a∥b.③

这里的证明有两个推理,即:

①⇒②和②⇒③,老师认为小夏的推理证明不正确,这两个推理中不正确的是 .

解析:在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,故②⇒③错误.

答案:②⇒③

4.凸函数的性质定理:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有12nfxfxfxn≤f12nxxxn,已知函数y=sin x在区间

(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为 .

解析:∵f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),

∴3fAfBfC≤f3ABC=fπ3,

即sin A+sin B+sin C≤3sinπ3=332,

∴sin A+sin B+sin C的最大值为332.