2010线性代数串讲
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第一章 行列式
主要知识点
一、行列式的定义和性质
1.余子式和代数余子式的定义 2.行列式按一行或一列展开的公式
1）
2）
3.行列式的性质
1） 2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
二、行列式的计算
1.二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算. 3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式
真题解析
例1 行列式第二行第一列元素的代数余子式A21（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 B
测试点 余子式和代数余子式的概念
解析 ,
例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值为 . 测试点 行列式按行（列）展开的定理
解
例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,-3,2，第二列元素的余子式为2,3,4,x 问x= . 测试点 行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因为第二列元素的余子式为2,3,4,x,故第二列元素的代数余子式为-2,3,-4,x 因第一列的元素为1,4,-3,2，故1×（-2）+4×3+（-3） ×（-4）+2x=0
所以x=-11
例4 设多项式则f（x）的常数项为 【 】
A.4 B.1 C.-1 D. -4 答案 A
测试点 行列式按一行展开的定理 解 行列式按第一行展开得
f（x）=（-1）A12+xA13
故其常数项为
例5 已知，那么（ ）
A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案 B
测试点 行列式的性质
解析
例6 设行列式=1，=2，则=（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3 故应选 D
测试点 行列式的性质
解
例7 已知3阶行列式则 . 答案：36d.
测试点 行列式的性质
解
例8 若aibi≠0，i=1,2,3,则行列式=_____________. 测试点 行列式的性质
解
例9 设A为3阶方阵，且已知则（ ）
A.-1 B. C. D.1 答案 B
测试点 方阵行列式的性质
解 所以.
例10 计算行列式D=的值.
测试点 行列式的计算
解 D=
例14 计算行列式：
测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
解
例15 计算行列式 测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
解
例16 计算行列式
『正确答案』
扩展
例17 设
问（1）D（x）中，x3项的系数＝？
（2）方程D（x）=0有几个根？试写出所有的根。
测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式； 2.行列式按行（列）展开的定理.
解（1）x3项的系数
（2）因为 所以方程D（x）=0有三个根: x1=2， x2=3，x3=4 第一章的重点是行列式的性质和计算。
第二章 矩阵
主要知识点
一、矩阵的概念
1.要分清矩阵与行列式的区别 2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）
二、矩阵的运算
1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件 2.矩阵运算的性质
比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）
重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.
3.转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若A T=A （AT= - A），则称A为对称（反对称）阵
4.逆矩阵
1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，
.
2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A -1的关系 （当方阵A可逆时，）
3）重要结论：若 n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.
4）逆矩阵的性质：
; ; .
5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。（若不知A可逆，
仅知A≠0结论不一定成立。）
5.方阵的行列式
6.分快矩阵 矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置
三、矩阵的初等变换和初等矩阵
1.初等变换的定义和性质
方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.
2.初等矩阵的定义和性质
1）初等矩阵的定义 2） 初等变换和矩阵乘法之间的关系 3）对任意m×n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得
四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法
五、矩阵方程的标准形及解的公式
真题解析
例1设矩阵A=（1,2），， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ） A.ACB B.ABC C.BAC
D.CAB
『正确答案』B
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
例2若，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（ ） A.ABC B.AC TBT C.CBA D.C TBTAT
例3设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
A.A+AT B.A-AT C.AAT D.ATA
『正确答案』B
测试点 1.对称阵和反对称阵的定义A T=A（AT=-A），则称A为对称阵（反对称阵） 2.转置的性质：
例4设A为 n阶方阵，为实数，则=（ ）
『正确答案』C
测试点 矩阵数乘的定义和行列式的性质
例5设A为 n阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有（ ）
A.BT=B B.B=2A C.BT=-B D.B=0
『正确答案』A
例6设矩阵A,B,C为同阶方阵，则（ABC）T=（ ）
A.ATBTCT B.CTBTAT C.CTATBT D.ATCTBT
『正确答案』B
测试点:转置的反序性
例7设矩阵，，则A+2B =_____________.
『正确答案』
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例8设矩阵，，则ATB=____________.
『正确答案』
测试点: 矩阵运算的定义
解
例9设3阶矩阵A的行列式,则【 】
A.4 B.1 C.-1 D.-4
『正确答案』D
测试点 矩阵的数乘的定义和行列式的性质
例10设A,B为任意n阶矩阵,E为单位矩阵,O为n阶零矩阵,则下列
各式中正确的是 【 】
A.（A+B）（A-B）=A 2-B2 B.（AB）2=A2B2
C.（A+E）（A-E）=A 2-E D.由AB=O必可推出A=O或B=O 『正确答案』C
测试点 矩阵乘法的性质,特别是没有交换律.
例11设2阶矩阵，则＝（ ）
『正确答案』A
测试点 伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵
例12设3阶矩阵，则= _____________.
『正确答案』
测试点 重要公式.
13.设，则____________.
『正确答案』
测试点 伴随矩阵的概念；若A是n阶方阵，则.
解
例14矩阵的逆矩阵是（ ）
『正确答案』C
测试点 1.二阶可逆阵的逆矩阵的公式;
2.验证B是A的逆矩阵的方法.
例15设A为2阶可逆矩阵，且已知=，则A =（ ）
『正确答案』D
测试点 逆矩阵的性质
解 由=,所以故
例17设A是3阶方阵，且则（ ）
A.-2 B.
C. D. 2
『正确答案』A
测试点 方阵行列式的性质.
例18已知A2-2A-8E=O则（A+E）-1_____________。
『正确答案』
测试点 关于逆矩阵的重要推论 若A,B都是n阶矩阵，且满足AB=E n则A,B都可逆，且A-1=B，B-1=A
解 由A2-2A-8E=O得A2+A-3A-3E-5E=0，即（A+E）（A-3E）=5E，
即，故
例19设n阶方阵A满足A m =O，其中m为正整数，证明E-A可逆，且
『正确答案』
例20下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
『正确答案』C
例22设矩阵则必有 （ ）
A.P1P2A=B B.P2P1A=B
C.AP1P2=B D.AP2P1=B
答案 A
测试点 矩阵的初等变换和矩阵乘法之间的关系；初等方阵以及初等方阵的功能。
解 方阵是由经过两次初等行变换得到的，
