广东省深圳市高级中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文

南山区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．2． 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）A ．B ．C ．2D ．44． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π5． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或 D ．或6． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量，，若，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．﹣6D ．68． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）A ．20B ．25C ．22.5D ．22.759． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．725B ．725- C. 725± D ．242511．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：212．已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣2二、填空题13．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．15．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．17．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则=．三、解答题19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．20．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．21．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．22．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x．（1）求当x＞0时f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）在R上的图象；（3）写出它的单调区间．24．设集合{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．（1）若15a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．南山区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c，c）B（﹣c，﹣c）∵AB为直径的圆恰过点F2∴F1是这个圆的圆心∴AF1=F1F2=2c∴c=2c，解得b=2a∴离心率为==故选D．【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．2．【答案】B【解析】【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由题知：所以故答案为：B3．【答案】A【解析】解：分两类讨论，过程如下：①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是增函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递增，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=，舍去；②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是减函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递减，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=，符合题意；故选A．4．【答案】A【解析】考点：三角函数的图象性质．5．【答案】C【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，离心率e=．焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，离心率e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．6．【答案】B【解析】解：若，则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，化为a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=，故选：B．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．7．【答案】B【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．8． 【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x ，则 0.3+（x ﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C ．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．9． 【答案】C【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．10．【答案】A 【解析】考点：正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理R CcB b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 11．【答案】D【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：： =3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．12．【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆心C 1和圆心C 2，设直线l 方程为y=kx+b ，由对称性可得k 和b 的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y=kx+b ，∴•k=﹣1且=k •+b ，解得k=1，b=2，故直线方程为x ﹣y=﹣2， 故选：D ．二、填空题13．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三三角形的三角和是角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（）中以选择题的压轴题出现.14．【答案】【解析】约束条件表示的区域如图，当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.答案：115．【答案】3x﹣y﹣11=0．【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有k AB====3，则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．16．【答案】．【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，∴，解得b=1，a=2．∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．17．【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.18．【答案】．【解析】解：∵O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ， 过F 斜率为的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，∴直线AB 的方程为y=（x ﹣），l 的方程为x=﹣，联立，解得A （﹣，P ），B （，﹣）∴直线OA 的方程为：y=，联立，解得D （﹣，﹣）∴|BD|==，∵|OF|=，∴ ==．故答案为：．【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．三、解答题19．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．21．【答案】【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x﹣+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）若x＞0，则﹣x＜0…（1分）∵当x＜0时，f（x）=（）x．∴f（﹣x）=（）﹣x．∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（）﹣x=﹣2x．…（4分）（2）∵（x）是定义在R上的奇函数，∴当x=0时，f（x）=0，∴f（x）=．…（7分）函数图象如下图所示：（3）由（2）中图象可得：f （x ）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R 表示扣1分） 无增区间…（12分）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．24．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】考点：1、集合的表示；2、子集的性质.。

2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）A．∀x∈R，2x+x2＞1B．∀x∈R，2x+x2≥1C．∃x∈R，2x+x2＞1D．∃x∈R，2x+x2≥12．复数z＝1+（是虚数单位）在复平面内对应的点落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）在区间[a，b]上的极值点的个数为（）A．2B．3C．4D．54．函数f（x）＝e﹣x sin x的单调递增区间（）（k∈Z）A．B．C．D．5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝+，则||2的值为（）A．B．2C．D．6．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，则a的值为（）A．﹣8B．﹣16C．﹣4D．47．命题“∀x∈（1，+∞），都有x2﹣lnx＞成立”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）8．已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3||•||＝4b2，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．10．已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥ACC．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC11．已知函数f（x）＝x3+ax2+x在区间（﹣1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij＝2015，则i与j的和为（）A．104B．102C．80D．81二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13．计算定积分＝．14．曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程是．15．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A B为左、右顶点，点P 为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，记m＝k1k2k3，则m的取值范围为．16．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知a是实数，函数f（x）＝x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）＝3，求a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．19．如图1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝6，DC＝BC＝3．过B作BE⊥AD于E，P是线段DE上的一个动点．将△ABE沿BE向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE．连结PA，PC，AC（如图2）．（Ⅰ）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ∥平面AEB？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当EP＝ED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值．20．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y＝f（x）在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．21．已知A，B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C 的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x＝4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．22．已知函数，g（x）＝x+lnx，其中a＞0．（1）若x＝1是函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）A．∀x∈R，2x+x2＞1B．∀x∈R，2x+x2≥1C．∃x∈R，2x+x2＞1D．∃x∈R，2x+x2≥1【解答】解：命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是“∀x∈R，2x+x2＞1”，故选：A．2．复数z＝1+（是虚数单位）在复平面内对应的点落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝1+＝，∴z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），落在第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）在区间[a，b]上的极值点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为减→增→减→增，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：B．4．函数f（x）＝e﹣x sin x的单调递增区间（）（k∈Z）A．B．C．D．【解答】解：y′＝﹣e﹣x sin x+e﹣x cos x＝e﹣x（cos x﹣sin x）＞0∴cos x﹣sin x＞0，cos x＞sin x解得x∈[2kπ﹣，2kπ]，故选：B．5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝+，则||2的值为（）A．B．2C．D．【解答】解：如图，取BD的中点E，连接AE，CE，根据题意知，CE⊥BD，AE⊥BD，则∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，∴∠AEC＝90°，且AE＝CE＝，∴AC＝1，且BD＝，BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC，又，∴＝＝＝．故选：D．6．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，则a的值为（）A．﹣8B．﹣16C．﹣4D．4【解答】解：椭圆＝1的左焦点是F（﹣2，0）．∵抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＝1的左焦点重合，∴抛物线y2＝ax的焦点是F（﹣2，0），∴a＝﹣8．故选：A．7．命题“∀x∈（1，+∞），都有x2﹣lnx＞成立”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：命题“∀x∈（1，+∞），都有x2﹣lnx＞成立”为真命题⇔“∀x∈（1，+∞），都有a＜x3﹣xlnx恒成立“，令f（x）＝x3﹣xlnx，（x＞1），f′（x）＝3x2﹣lnx﹣1，），f″（x）＝6x﹣＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上递增，且f′（1）＝2＞0，∴f′（x）＞0在∈（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上递增，f（x）＞f（1）＝1，∴a≤1．故选：A．8．已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3||•||＝4b2，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由3||•||＝4b2，可得，∴，∴，故选：D．9．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，∵正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，∴PO＝，AB＝，AC＝，PA＝，OB＝因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，则∠OEB即为PA与BE所成的角所以OE＝，在Rt△OEB中，tan∠OEB＝＝，所以∠OEB＝故选：B．10．已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥ACC．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC【解答】解：如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE＝E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF＝，又DE＝1，得EF＝，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D 错误．故选：A．11．已知函数f（x）＝x3+ax2+x在区间（﹣1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+x，∴f′（x）＝3x2+2ax+1，∵f（x）在区间（﹣1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，∴函数在（﹣1，1）内先减后增，∴，，解可得，a＞2．故选：A．12．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij＝2015，则i与j的和为（）A．104B．102C．80D．81【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2015＝2×1008﹣1，得2015为第1008个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61＝961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2015在第32个奇数行内，所以i＝63，且奇数从大到小排列，因为第63行的第一个数为2×1024﹣1＝2047，2015＝2047﹣2（m﹣1），所以m＝17，即j＝17，所以i+j＝80．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13．计算定积分＝．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．14．曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程是y＝﹣2x+2．【解答】解：∵y＝e﹣2x+1，∴f′（x）＝﹣2e﹣2x，则f′（0）＝﹣2，即曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线斜率k＝﹣2，则对应的切线方程为y﹣2＝﹣2x，即y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+215．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A B为左、右顶点，点P 为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，记m＝k1k2k3，则m的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝＝，∴b＝a，设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴﹣＝1，∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，∴k1k2＝＝2，又∵双曲线渐近线为y＝x，∴0＜k3＜，∴0＜m＝k1k2k3＜2，故答案为：（0，2）．16．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．【解答】解：由图知方程f（x）＝0有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，∴f（x）＝x2（x+a），有，∴a＝±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a＝﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题：本大题共6小题，共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．由解得2＜x≤3．即q：2＜x≤3．（1）若a＝1，则p：1＜x＜3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，∴实数x的取值范围（2，3）．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，∴，即，解得1＜a≤2．18．已知a是实数，函数f（x）＝x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）＝3，求a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．【解答】解：（I）f'（x）＝3x2﹣2ax．因为f'（1）＝3﹣2a＝3，所以a＝0．又当a＝0时，f（1）＝1，f'（1）＝3，则切点坐标（1，1），斜率为3所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2＝0．（II）令f'（x）＝0，解得．当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f max＝f（2）＝8﹣4a．当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f max＝f（0）＝0．当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，f max＝．19．如图1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝6，DC＝BC＝3．过B作BE⊥AD于E，P是线段DE上的一个动点．将△ABE沿BE向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE．连结PA，PC，AC（如图2）．（Ⅰ）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ∥平面AEB？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当EP＝ED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）存在．当P为DE的中点时，满足PQ∥平面AEB．…（1分）取AB的中点M，连结EM，QM．由Q为AC的中点，得MQ∥BC，且，…又PE∥BC，且，所以PE∥MQ，PE＝MQ，所以四边形PEMQ为平行四边形，…故ME∥PQ．…又PQ⊄平面AEB，ME⊂平面AEB，所以PQ∥平面AEB．…从而存在点P，使得PQ∥平面AEB，此时．…（Ⅱ）由平面AEB⊥平面BCDE，交线为BE，且AE⊥BE，所以AE⊥平面BCDE，又BE⊥DE，…以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图2），则E（0，0，0），B（3，0，0），A（0，0，3），P（0，2，0），C（3，3，0）．…＝（3，1，0），＝（0，﹣2，3）．…平面AEB的一个法向量为n1＝（0，1，0），…设平面APC的法向量为n2＝（x，y，z），由得…取y＝3，得n2＝（﹣1，3，2），…所以，即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为．…20．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y＝f（x）在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．【解答】解：（1）函数f（x）＝x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．＝．当a≥1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＞1﹣a，此时函数f（x）在（1﹣a，+∞）上单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣a＜x＜1﹣a，此时函数f（x）在（﹣a，1﹣a）上单调递减．（2）∵函数y＝f（x）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，解得a＝0．关于x的方程f（x）+2x＝x2+b化为x2﹣3x+lnx+b＝0．令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b，（x∈[，2]）．＝＝，令g′（x）＝0，解得x＝或1．令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＜1，此时函数g（x）单调递减．∵关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，则，解得．∴实数b的取值范围是；（3）由（1）可知：a＝1，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x≥0时，x＞ln（1+x）．令x＝（n∈N*）．则．依次取n＝2，3，…，n．累加求和可得：++…+＜…+．当n≥2时，＝，依次取n＝2，3，…，n．则+…+＜+…+＝．∴++…+＜1﹣＜1．∴（1+）（1+）…（1+）＜e．21．已知A，B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C 的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x＝4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令P（4，y0），F（c，0），a＝2，A（﹣2，0），B（2，0）．∵2k PF＝k PA+k PB，∴，∴c＝1，b2＝3，∴，（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2＝6my﹣9＝0y2+6my﹣9＝0，，①，②①2/②得，令t＝，则|t|+||＝|t+|＝，∴，即．∵，∴．22．已知函数，g（x）＝x+lnx，其中a＞0．（1）若x＝1是函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，g（x）＝x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x＝1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）＝0，即3﹣a2＝0．∵a＞0，∴．经检验当时，x＝1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）＝x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max＝g（e）＝e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（a）＝2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

广东省深圳市北环中学2018-2019学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ．曲线f（x）=2a ln x+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．3参考答案：B【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++），运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=+b，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为2a+b，即有2a+b=2，则=（2a+b）（+）=（8+2++）≥（10+2）=×（10+8）=9．当且仅当b=4a=时，取得最小值9．故选：B．2. 随机变量X～B（6，），则P（X=3）=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】X～B（6，）表示6次独立重复试验，每次实验成功概率为，P（X=3）表示6次试验中成功三次的概率．【解答】解：P（X=3）==故选C3. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()图21－1A．7 B．15C．31 D．63参考答案：D4. 给出下面四个类比结论（）①实数若则或；类比向量若，则或②实数有类比向量有③向量，有；类比复数，有④实数有，则；类比复数，有，则其中类比结论正确的命题个数为（）A、0B、1C、2D、3参考答案：B5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果6，则（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：A略6. 设则“≥2且≥2”是“≥4”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.即不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：A．8. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{1，0} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={0，1}．故选：B．9. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A．27 B．30 C．33 D．36参考答案：B略10. 若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（）A. 12种B. 14种C. 5种D. 4种参考答案：A【分析】这是一个不相邻的问题，采用插空法，先排其余的2人，出现3个空，将甲、乙、丙三人插空，即可得到答案。

深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试高二文科数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．【详解】由A中不等式变形得：x（x-3）＜0，解得：0＜x＜3，即A={x|0＜x＜3}，∵B={x|-1＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x＜3}，故选：B．【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.3. “（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可以推出“x＞﹣1”成立，反之则不一定能推．由此即可得到“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件．解：∵当“（x+1）（x﹣3）＜0”成立时，可得﹣1＜x＜3∴此时必定有“x＞﹣1”成立，故充分性成立；反之，当“x＞﹣1”成立时，不一定有“﹣1＜x＜3”成立，因此也不能推出“（x+1）（x﹣3）＜0”成立，故必要性不成立．综上所述，“（x+1）（x﹣3）＜0”是“x＞﹣1”的充分不必要条件故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4.下列函数中,在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐一分析，即可确定答案.【详解】选项A，，底数，在上单调递增，故A正确;选项B，在上单调递增，则在上单调递减，故B错误；选项C，，底数，在上单调递减，故C错误；【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，考查常见基本初等函数的单调性，属于基础题.5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【详解】∵函数，∴为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．6.过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。