河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试 数学(理)试题
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1 理科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x｜0≤x≤4}，N＝{x｜y＝3－x，y∈M}，则M∩N＝
A．[0，3] B．[0，4] C．[－1，4] D．[－1，3]
2．若复数z满足211iiz＋＝－，则z＝
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高2（体重单位为kg，身高单位为m）．其判定标准如下表：
某小学生的身高为1．5 m，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可
能是
A．47 kg B．51 kg C．66 kg D．70 kg
4．若x，y满足约束条件1133xyxyxy＋≥，－≥－，＋≤，则z＝4x＋3y的最小值为
A．9 B．6．5 C．4 D．3
5．已知数列{na}是等差数列，且9a＝3，则4a＋8a＋122a＝
A．12 B．9 C．6 D．3
6．某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用回归模型y＝2lg x进行拟合．在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该
A．使x增加1个单位 B．使x增加2个单位
C．使x增加到原来的2倍 D．使x增加到原来的10倍
7．已知O是△ABC的重心，且20OAOBBCuuuruuuruuur＋＋＝，则实数λ＝
A．3 B．2 C．1 D．12
8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K是线段DI上的点，则在原三棱柱中，AK＋CK的最小值为
2
A．65
B．73 C．45 D．89
9．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋1）是偶函数，f（x－1）是奇函数，则下列说法正确的个数为
①f（7）＝0；
②f（x）的一个周期为8；
③f（x）图像的一个对称中心为（3，0）；
④f（x）图像的一条对称轴为x＝2019．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．将函数sin3fxx＝＋图像上所有的点按照向量m＝（a，0）（a≠0）平移得到函数g（x）的图像，若3355fg＝，则｜a｜的最小值为
A．415 B．1330 C．1315 D．1715
11．如图所示，直线l与双曲线E：22221xyab－＝（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A，B两点，若OAuuur·OBuuur＝－4，且△AOB的面积为42，则E的离心率为
3 A．2 B．3 C．2 D．5
12．已知函数1212log18212xxxfxx＋，≤＜，＝，≤≤，若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为
A．14 B．12 C．22 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6122xy＋的展开式中x2y4项的系数为__________．
14．曲线y＝（x2＋2）ex在点（0，2）处的切线方程为__________．
15．已知圆C：（x－a）2＋（y－2）2＝4，直线l：x＋ay－1＝0与圆C交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a＝__________．
16．已知数列{na}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，且1a＝1，3S＝7．若关于n的不等式nS＜22lognka＋的解集中有6个正整数，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantanaAbB＝．
（Ⅰ）证明：△ABC是等腰三角形；
（Ⅱ）若a ：b ：c＝1 ：x ：y，且△ABC的面积为56ab，求y的值．
18．（12分）
某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利
润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子
的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的
频率代替相应的概率．
（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．
（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子?
（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求
Y的分布列和数学期望．
4
19．（12分）
如图，已知四棱锥S－ABCD，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，SA＝SD．
（Ⅰ）若∠BAD＝120°，证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）若3BD＝6AC＝8SA，求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）
设椭圆C：2221xya＋＝（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，已知｜AF｜＝23＋．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）抛物线y2＝2px（p＞0）与直线x＝2交于P，Q两点，直线AP与椭圆C交于点B（异于点A），若直线BQ与AP垂直，求p的值．
21．（12分）
已知函数f（x）＝ax2lnx（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在a∈（0，＋∞），对任意的x∈（0，＋∞），不等式422xfxbx≤＋恒成
立，求实数b的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
5 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3822xtty＝－＋，＝（t为参数），曲线C的参数方程为2323xsys＝，＝（s为参数）．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且abc＝1，证明：
（Ⅰ）（2a＋1）（2b＋1）（2c＋1）≥27；
（Ⅱ）22211134abcbaccab＋＋≤＋＋＋．
