2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1-4 生活中的优化问题举例 含解析 精品

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2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应 怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. V 2 由V=πr h,得 h 2 ,则 pr V 2V 2 S ( r ) 2pr 2 2pr 2pr 2 . pr r V V V 2V · 3 令S ( r ) 2 4pr 0 ,解得 r ,从而h 2 pr 2p V 2 r 3 p( )
4 3 解：∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r ) 0，得r = 2
2
r f '( r) f (r)
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2 3 6 x
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例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的 宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm
列表讨论如下：
x S '(x) S (x) (0，16) 16 0 (16，+∞)
减函数↘
+
增函数↗
极小值
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm， 宽为8dm时，S(x)最小 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。

(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数
关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率 p＝日产次品数/日产量，
每天生产 x 件，次品数为 xp，正品数为 x(1－p)． 3x 因为次品率 p＝ ，当每天 x 件时， 4x＋32
3x 3x 有 x· 件次品，有 x1－4x＋32 件正品． 4x＋32
a 时， y ′≤ 0 ； v ∈ b
a 时，y′≥0.所以 ， c b
ab 当 v＝ b 时，全程运输成本 y 最小．
ab ②若 >c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c] b 上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． ab ab ab 当 b ≤c 时，行驶速度 v＝ b ；当 b >c 时，行 驶速度 v＝c.
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内 只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，
本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投 入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出 厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知 年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售

自我小测1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A ．203 cm B ．10 cm C ．15 cm D ．2033cm4．设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )A ．1232V πB ．123V 2πC ．232V πD ．23V 2π5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．20B ．25C ．30D ．456．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是__________．9．已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？ 10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．参考答案1．解析：y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0解得t ＝8或t ＝－12(舍)，当0＜t ＜8时，y ′＞0；当t ＞8时，y ′＜0，∴t ＝8为函数的最大值点． ∴t ＝8时，通过该路段用时最多． 答案：C2．解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 答案：A3．解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)，V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．又当0＜x ＜2033时，V ′＞0；2033＜x ＜20时，V ′＜0，∴当x ＝2033 cm 时，V 取最大值．答案：D4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r ，高为h ，总造价为y ，单位面积铁的造价为a ，则V ＝πr 2h ，y ＝πr 2·3a ＋πr 2·a ＋2πrh ·a ＝a π⎝⎛⎭⎫4r 2＋2V πr ，则y ′＝a π⎝⎛⎭⎫8r －2V πr 2. 令y ′＝0，得r ＝1232V π，h ＝Vπr 2＝232V π.答案：C5．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比， 即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000， 所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x ＞0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′＞0，x ∈(25，＋∞)时，y ′＜0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：B6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x ＞0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．答案：32和167．解析：由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，当0≤x ≤390时，P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，解得x ＝300；当0≤x ≤300时，P ′(x )＞0； 当300＜x ＜390时，P ′(x )＜0.所以当x ＝300时，P (x )max ＝40 000，而当x ＞390时，P (x )＜40 000， 因此当x ＝300时利润最大． 答案：3008．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x .则S ＝(3－x )234－34x 2＝433·(3－x )21－x 2(0＜x ＜1)，S ′＝433·－6x 2＋20x －6(1－x 2)2＝－833·(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．∴x ＝13是S 的极小值点且是最小值点．∴S min＝433×⎝⎛⎭⎫3－1321－19＝3233.答案：323 39．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2＝d2，所以x2＝12(d2－h2)．所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝12(d2h－h3),0＜h＜d.令V′＝12(d2－3h2)＝0，所以h＝33d.在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)．当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．。

1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.了解命题的概念.(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论.(重点)3.能判断一些简单命题的真假.(难点)教材整理1 命题的概念阅读教材P2“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句.【答案】判断真假2.分类：(1)真命题：判断为________的语句；(2)假命题：判断为________的语句.【答案】(1)真(2)假判断下列语句是命题的是________.(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0(x∈R)；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数.【解析】判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假. 【答案】(2)(4)(5)教材整理2 命题的结构阅读教材P3，完成下列问题.命题的结构形式是“________”，其中______是命题的条件，______是命题的结论.【答案】若p，则q p q1.命题①若a>b，则a2>b2是________命题；命题②若x>－3，则x2＋x－6≤0是________命题(填“真”或“假”).【答案】假假2.指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若x<0，则x2<0；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数.【解】(1)条件p：x<0，结论q：x2<0.(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数.①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数；④若x>2，则x2－3x＋2>0；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【导学号：37792000】【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：(1)是否为陈述句.(2)能否判断真假.【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题，为真命题.【答案】①④判断语句是否为命题的策略命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.1.判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)函数f (x )＝3x(x ∈R )是指数函数； (2)x 2－3x ＋2＝0；(3)函数y ＝cos x 是周期函数吗？ (4)集合{a ，b ，c }有3个子集.【解】 (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题. (2)不是命题，不能判断真假.(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假.(4)是命题.因为{a ，b ，c }有23＝8个子集，所以集合{a ，b ，c }有3个子集为假命题.a ＞b ＞0，c＞d ＞0，则ac ＞bd ；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0.其中是真命题的是________.【精彩点拨】 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题――――――→恰当的反例假命题【自主解答】 ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题.【答案】 ①②④1.由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况.2.如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可.2.判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ； (2)若x ∈N ，则x 3＞x 2成立；【导学号：37792001】(3)若m ＞1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆.【解】(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立.(3)真命题.∵m＞1⇒Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.探究.(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a＞1时，函数y＝a x是增函数；(3)已知x，y是正整数，当y－x＝2时，有x＝2，y＝4.【提示】(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等.其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等.(2)若a＞1，则函数y＝a x是增函数.其中条件p：a＞1，结论q：函数y＝a x是增函数.(3)已知x，y是正整数，若y－x＝2，则x＝2，y＝4.其中条件p：y－x＝2，结论q：x＝2，y＝4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.(1)能被3整除的数一定能被6整除；(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.【精彩点拨】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p，则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被3整除，则这个数一定能被6整除.它是假命题，如9能被3整除，但不能被6整除.(2)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上.由平面几何知识知它是真命题.1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如探究(3).2.“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论.3.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假. (1)当1a >1b时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等. 【解】 (1)若1a >1b，则a <b ，假命题；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题.1.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形【解析】 把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确.故选C. 【答案】 C2.若M 、N 是两个集合，则下列命题中的真命题是( ) A.如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B.如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C.如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D.如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M【解析】 由集合的包含关系知道，若M ⊆N ，则M ∩N ＝M . 【答案】 A3.“常数列是等差数列”是________命题，“常数列是等比数列”是________命题.(填“真”、“假”)【解析】 “常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题. 【答案】 真 假4.将命题“a ＞0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大”写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假.【导学号：37792002】【解】 “若p ，则q ”的形式：若a ＞0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大.∵a＞0，∴函数y＝ax＋b为增函数，故该命题为真命题.。