2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二上学期11月联考数学试题(文)

2024学年浙江强基联盟高二数学上学期11月联考试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则A B ⋂=（）A.{}3,4 B.{}2,4,6 C.{}1,3,5 D.{}2,42.如果椭圆的方程是22142x y +=，那么它的焦点坐标是（）A.()2,0± B.()0,2± C.()D.(0,3.已知点()(),1,2,3P a Q --，若5PQ =，则a =（）A.1B.5- C.1或5- D.1-或54.已知圆221:4C x y +=和圆222:86160C x y x y +--+=，则1C 与2C 的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体1111ABCD A B C D -中，以下说法正确的是（）A.若E 为1DD 的中点，则1BD ∥平面AECB.若E 为1DD 的中点，则1BD ⊥平面11A ECC.若E 为11C D 的中点，则1AE BD ⊥D.若E 为11C D 的中点，则CE ∥1BD 6.已知3x，则函数()11f x x x =+-的最小值是（）A.92B.72C.3D.27.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若直线AC 与BD 的交点为M .设11111,,A B a A D b A A c === ，则下列向量中与1B M共线的向量是（）A.22a b c-+-B.2a b c+-C.22a b c --D.2a b c-- 8.如果函数()()()4,2024,9,2024,x x f x f f x x -⎧⎪=⎨+<⎪⎩那么()10f =（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数34i z =-，以下说法正确的是（）A.z 的实部是3B.5z =C.34iz =+D.z 在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件i A =“点数为i ”，其中1,2,3,4i =，则以下说法正确的是（）A.若随机事件1B =“点数不大于3”，则1A 与1B 互斥B.若随机事件2B =“点数为偶数”，则22A B ⊆C.若随机事件3B =“点数不大于2”，则3A 与3B 对立D.若随机事件4B =“点数为奇数”，则34A A ⋃与4B 相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD 的内切球球心为O ，点P 是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO 与直线AB 的夹角是α，则cos 3α=B.记直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则22sin 3β=C.记(),BP xBC yBD x y --∈R 的最小值为n，则0,6n ⎡∈⎢⎣⎦D.记AP 在BC 上的投影向量为BC m BC，则,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点()2,1A 到直线:230l x y --=的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设O 是坐标原点，1F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆上的点P 关于O 的对称点是Q ，若1120,PF Q PQ ∠==，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆22:(4)25C x y -+=，点()1,4P ，且直线l 经过点P .（1）若l 与C 相切，求l 的方程；（2）若l 的倾斜角为3π4，求l 被圆C 截得的弦长.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，记ABC 的面积为S ，已知2A B C +=.（1）若2c =，求ABC 外接圆的半径；（2）求()()Sa b c a b c +++-的值.17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，且有222,,AD BC AB CD PB PC E F =====分别是,AD BC 的中点，动点Q 在PF 上.（1）证明：平面PEF ⊥平面PBC ；（2）当EQ PF ⊥时，求平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，点()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是14-.记点M 的轨迹是曲线C ，点()()000,0D x y y >是曲线C 上的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若01x =，直线l 过点D 与曲线C 的另一个交点为E ，求ODE 面积的最大值；（3）过点)F 作直线交曲线C 于,P Q 两点，且OD PQ ⊥，证明：211||PQ OD +为定值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们可以采用公式,x ax by c y mx ny p =++⎧⎨=++⎩''（其中,,,,,a b c m n p 为常数），将点(),P x y 变换成点(),P x y '''，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点(),P x y 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点(),P x y '''，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4后，得到点(),P x y '''，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆22143x y +=绕原点逆时针旋转π4后，所得新椭圆的方程；（3）若点(),P x y 满足22220x xy y x y ++++-=，证明：点(),P x y 的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D {}2,4A B ⋂=，故选D.2.C 由2222c a b =-=，则它的焦点坐标是()，故选C.3.C 由两点间的距离公式可得222||(2)(13)25PQ a =+++=，解得1a =或5-，选C.4.A 由222:(4)(3)9C x y -+-=，可得1C 与2C 的圆心距是5，又125r r +=，所以1C 与2C 外切，故选A.5.A 如图所示，EF ∥1BD ，则有1BD ∥平面AEC ，故选A.6.B令()12x t t -= ，则()()11,f t t f t t=++在[)2,∞+单调递增，所以()f t 的最小值是()722f =，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得()()1111111111111122222B M B B BM A A B D c A D A B c b a a b c =+=+=+-=+-=-++.选项D 中，112222a b c a b c ⎛⎫--=--++ ⎪⎝⎭，与1B M 共线，故选D.8.B记()()()()()11,n n fx f f x f x f x +==，根据()f x 定义可得()()()()()2322422510192820172026f f f f f ===== ，考虑()()()()()20262022,2022203120272023f f f f f ====，()()()()()()()()2023203220282024,20242020,20202029f f f f f f f f =====()()()()()20252021,2021203020262022f f f f f =====，所以5f （2022）=()()()()43220232024202020212022ff f f ====，所以()2022n f 周期为5，取值分别是22522442023,2024,2020,2021,2022(2026)(2022)(2022)2021f f f ⋅===，故选B.9.ABC34i z =-，则z 的实部是3，故A正确；5z ==，B 正确；34i,C z =+正确，z 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-，在第四象限，故D 错误.故选ABC.10.BD1B =“点数为1,2,3”，1A =“点数为1”，则11A B ⊆，则1A 与1B 不互斥，A 错误；2B =“点数为2,4,6，2A =”点数为2“，则22A B ⊆，B 正确；3B =”点数为31,2",A =“点数为3”，A B ⋃=“点数为1,2,3”，不是全集，故C 错误；4B =“点数为1,3,5”，34A A ⋃=“点数为3，4”，则()()3443416P A A B P A A ⎡⎤⋃==⋃⎣⎦.()41132P B =⨯，故D 正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为r，易得4,cos ,A 33AH AH r BAO AB α∠α=====正确；直线AO 与平面ABC 的夹角是β，则1sin 3OH AO β==，B 错误；令xBC yBD BQ += ，则Q 是平面BCD 内一动点，BP xBC yBD BP BQ PQ --=-=，即球面上的点到平面BCD 上点之间的距离，最小值n 表示球面上的点到平面BCD 的距离，[]0,2n r ∈，即60,6n ⎡∈⎢⎣⎦，C 正确；点A 在线段BC 上的投影为线段BC 的中心E ，点P 在线段BC 上的投影点0P 位于点E 的左侧或右侧，且0EP 的最大值等于612r =，则66,1212m ⎡∈-⎢⎣⎦，D 选项正确.故选ACD.12.5由点到直线的距离公式5d ==.13.32πl R α==，则圆锥的母线长是3R =，由2π2πl r ==，得圆锥底面半径1r =，则h ==，由圆锥的体积公式可得211ππ333V Sh r h ===.14.12由1120,PF Q PQ ∠==，可得1260,2F PF PO ∠==.【法一】则由椭圆的定义不妨设12,2PF x PF a x ==-，由余弦定理和中线长公式得()()2222222212(2)2||,(2)22cos60x a x OF OP F F x a x x a x ⎧+-=+⎪⎨⎪=+---⎩｡即2222222222515242,688,223644,x ax c a c a c a x ax c a ⎧-=-∴-=-⎪⎨⎪-=-⎩得22122c a =，则211,42e e ==，【法二】设()12221200Δ0,,tan23F PF F PF P x y S b b cy ∠===，220022222001,3,4x y a b x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即22220242202,33,34b x a a c b x a c ⎧+⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得4222222223343343b a b b a a a c c -+=+=，即2234b a =，得222111,42b e e a =-==.15.解：（1）因为点()1,4P 在圆上，则直线CP 的斜率为43-，则直线l 的斜率是34，可得直线l 的方程是()3414y x -=-，即34130x y -+=.（2）由于直线l 的倾斜角是3π4，则直线l 的斜率是1-，可得:50l x y +-=，则圆心C 到直线l的距离是2d =，则直线l 被圆C截得的弦长是16.解：（1）由2A B C +=，得π3C =，由2c =，可得2sin c R C ==R ABC ∴=∴.（2）()()221sin 2()ab CS a b c a b c a b c =+++-+-2221sin 22ab C a b ab c =⋅++-1sin 22cos 2ab C ab C ab =⋅+1sin 22cos 212C C =⋅=+.17.解：（1）因为四边形ABCD 等腰梯形，,E F 分别为,AD BC 的中点，所以BC EF ⊥，又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为,,EF PF F EF PF PEF ⋂=⊂，所以BC ⊥平面PEF ，而BC ⊂平面PBC ，所以平面PEF ⊥平面PBC .（2）当EQ PF ⊥时.假设2BC =，所以EF PF PE ===得到222EF PE PF +=，所以PE EF ⊥.如图建立空间直角坐标系，得()()()2,0,0,,1,A B C -，()2,0,0,0,55D Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QAB 的一个法向量(),,n x y z =，(),2,55AB AQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.则0,0,0,20,55x AB n AQ n x y z ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取1y =得)n =.设平面QCD 的一个法向量()()4323,,,1,,2,,55m a b c DC DQ ⎛=== ⎝⎭0,0,0,20,55a DC m DQ m a ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩取1b =-得)1,3m =--.设平面QAB 与平面PCD 所成角为θ，则7cos cos ,13m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为713.18.解：（1）设点(),M x y ，所以直线AM 的斜率为()22AM yk x x =≠-+，同理直线BM 的斜率为()22BMy k x x =≠-，由已知可得()12224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得点M 的轨迹C 的方程是()22124x y x +=≠±.（2）计算得1,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则直线:2OD y x =，当直线l '∥OD 且与C 相切，切点为E ，此时ODE 的面积取最大值，设直线:2l y x m =+'，联立方程组22,244,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2210x m ++-=，()222Δ34140m m m =--=-=，解得2m =±，直线l '与OD之间的距离477d ==，所以1112227ODE S OD d ==⨯= .（2）由题知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线):0PQ x ty t =+≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2244,x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22410t y ++-=，则122122,41,4y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()2122414t PQ y t +=-=+，因为OD PQ ⊥，则直线:OD y tx =-，联立方程组22,44,y tx x y =-⎧⎨+=⎩得()22144t x +=，所以D OD ==，得()22241||14t OD t +=+，所以()()22222114145||44141t t PQ OD t t +++=+=++，为定值.19.解：（1）由平移可得()1,2PP '=- ，所以1,2.x x y y =-⎧⎨=+⎩''此即为坐标变换公式.设22143x y +=上任一点(),P x y ，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点(),P x y '''，则1,2,x x y y =-⎧⎨=+⎩''所以1,2,x x y y =+⎧⎨=-''⎩所以()()2212143x y '+-+='.所以新椭圆的方程为22(1)(2)143x y +-+=.（2）设将x 轴逆时针转到OP 的角为θ点，点(),P x y 绕原点逆时针旋转α得到点(),P x y '''由三角函数可得()()cos ,cos ,sin ,sin ,x OP x OP y OP y OP θθαθθα⎧⎧==+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩'⎩'当π4α=时，,22,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''此即为坐标变换式.设将22143x y +=上任一点(),P x y ，绕原点逆时针旋转π4后，得到的新的椭圆上一点(),P x y '''.则,2222,22x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩''得()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()22186x y y x '-'+'+='，即22727240x x y y -+'-='''.所以新的椭圆方程为22727240x xy y -+-=.（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到π4α=.先把点(),P x y 绕原点逆时针旋转π4，得到点(),P x y '''，此时()(),22,2x x y y y x ⎪'''⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎩'所以()()())()2222111202222x y y x y x x y y x '''''-'++-+++-''+-=''化简得2213202222x y x y +++-=''''.利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.把点(),P x y '''向右平移2，向上平移2，得到点(),P x y ''''''，则,2,2x x y y '⎪'⎧=-⎪⎪⎨''''⎪=-⎩所以22132022222222x y x y ⎛⎫⎛-+-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''''⎝⎭⎭'⎝'.化简得22162x y +=''''，是焦点在x 轴上的椭圆.所以点(),P x y 的轨迹是椭。

2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I 卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（ ）A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.（0，1）3.过点，的直线的倾斜角为（ ）A. B. C.D.4.圆心为（-2，-1），且与轴相切的圆的方程是（ ）A. B.C. D.5.从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）A.B.C.D.6.已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）A. B. C.2D.7.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.（-6，1）D.i 1i =+11i 22+11i 22-+11i 22--11i 22-{11}M xx =-<<∣{02}N x x =≤≤∣M N = [0,1)(1,2]-(1,2]()1,2P ()3,4Q π4-π3-π4π3x ()()22211x y -+-=()()22211x y +++=()()22214x y -+-=()()22214x y +++=13231234()2,1,1A -y B AB()()12,1,52lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩R a [6,1)-(),1-∞(),6-∞-8.已知过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.10二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则下列选项中正确的有（ ）A.直线在轴上的截距为2B.直线的斜率为C.直线的一个方向向量为D.直线不经过第一象限10.关于，的方程表示的曲线可以是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线11.在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则（ ）A.双曲线B.焦点到渐近线的距离为C.四边形OMAN 可能为正方形D.四边形的面积为定值第II 卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若圆与圆交于，两点，则直线的方程为______.13.已知正四棱台的体积为14，若，，则正四棱台的高为______.14.已知/都是锐角，，，则的值为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知直线和直线.（I ）当时，求实数的值；（II ）当时，求两直线，间的距离.16.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.22:194y x C +=C A B F C ABF △:2l y =-y ()v =x y 22142x y m m +=--xOy 22:1C x y -=1F 2F C A M N C 12OMAN 122240x y y ++=224240x y x y ++--=A B AB ABCD A B C D ''''-2AB =4A B ''=ABCD A B C D ''''-αβ4sin 5α=()5cos 13αβ+=cos β1:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥m 12l l ∥1l 2l 111ABC A B C -D E 11B C AB AB a = AC b = 1AA c =（第16题图）（I ）用，，表示向量；（II）若，，，求.17.（本小题满分15分）已知椭圆，且过点.（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.18.（本小题满分17分）已知圆过三点，，.（I ）求圆的标准方程；（II ）斜率为1的直线与圆交于，两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.（I ）求点的轨迹的方程；（II ）设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长.a b cDE 11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=DE BC ⋅()2222:10x y E a b a b +=>>)E :l y x m =+E m C ()1,3()2,2-()4,2C C M N CMN △P 3,02⎛⎫⎪⎝⎭P 32x =-P C M N C MN 50x y +-=MN2024~2025学年度第一学期期中校际联考试题高二数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.A8.D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）9.BCD10.ABC11.ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.13.14.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（I ）直线和直线.当时，，得.（II ）当时，，得，此时直线和直线的距离.16.解：（I ）.（II），，，则.17.解：（I ）椭圆过点，解得椭圆的方程为：.2320x y --=3263651:10l x y ++=2:260l x my ++=12l l ⊥20m +=2m =-12l l ∥20m -=2m =1:10l x y ++=2:30l x y ++=d ==()1111111111222DE DA A A AE A B A C AA AB b c =++=-+-+=--11AB AC AA ===160A AB BAC ︒∠=∠=190A AC ︒∠=()2111111110111122222224DE BC b c b a b b c a b a c ⎛⎫⋅=--⋅-=--⋅+⋅+⋅=--+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()2222:10x y E a b a b+=>>)222261,c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎪⎩2226,2,4,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴E 22162x y +=（II ）由（I ）知椭圆的方程为：，联立得，由，得18.解：（I ）设圆的方程是，其中，圆过三点，，，解得圆的一般方程为，故圆的标准方程为.（II ）由（I ）知圆的圆心为（1，-2），半径为5，设直线的方程为：，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，即，得或-8，直线的方程为：或.19.解：（I ）设点，根据题意有上式两边同时平方得：，化简得，点的轨迹的方程为.（注：学生若用其它方法解答，只要解答正确，可参照给分.）（II ）设，，线段的中点，线段的中垂线方程为，E 22162x y +=221,62,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2246360x mx m ++-=()223644360m m ∆=-⨯-=m =±C 220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +-> C ()1,3()2,2-()4,21030,8220,20420,D E F D E F D E F +++=⎧⎪∴-++=⎨⎪+++=⎩2,4,20,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴C 2224200x y x y +-+-=C ()()221225x y -++=C 0x y c -+=CMN △∴C 5d =35c +=2c =∴20x y -+=80x y --=(),P x y 32x +=2223322x x y ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26y x =∴P C 26y x =()11,M x y ()22,N x y MN ()00,A x y MN 50x y +-=直线的斜率，由点，在抛物线上，可知，即，，故，直线的方程为，即，联立方程消去整理得，易知，，即线段的长为.∴MN 21211y y k x x -==-()11,M x y ()22,N x y 2:6C y x =2112226,6,y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212126y y y y x x ∴+-=-126y y +=03y ∴=02x =∴MN 32y x -=-10x y -+=26,10,y x x y ⎧=⎨-+=⎩y 2410x x -+=0∆>12124,1x x x x +==MN ∴===MN。

全国百强名校2020－2021学年高二上学期“领军考试”英语2020.11 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。

1. Where will the speakers probably go?A. A garage.B. A petrol station.C. A parking lot.2. How much should the woman pay for two hats?A. ￥20.B. ￥96.C. ￥60.3. Which pet can be kept in the apartment?A. A turtle.B. A dog.C. A cat.4. What's the probable relationship between the speakers?A. Friends.B. Brother and sister.C. Classmates.5. When did the conversation take place?A. On Wednesday.B. On Friday.C. On Sunday.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期11月质量检测数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.命题“00x ∃>，)0lg 11x +>”的否定是（ ） A.00x ∃≤，()0lg 11x +≤ B.00x ∃>，()0lg 11x +> C.0x ∀>，()lg 11x +≤D.0x ∀>，()lg 11x +>2.设P 为双曲线22146x y -=上一点，1F ，2F 分别为左、右焦点，若1||5PF =，则2||PF =（ ） A.1B.9C.3或7D.1或93.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a c =，cos C =，则sin A =（ ） A.27B.47C.57D.674.现有下面三个命题1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列；20:p x R ∃∈， 200x ≤；3:p 椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.下列命题中为假命题的是（ ） A. 12p p ∨ B. ()()13p p ⌝∨⌝ C. ()13p p ⌝∧ D. ()()23p p ⌝∨⌝5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =， 12n n a S +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B. 1971443-⨯ C. 1831223-⨯ D. 1871443-⨯ 6.过点()2,0P -的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 的横坐标为（ ）A.13 B. 23C. 3D. 37.椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点为F(c,0)，定点M(14a 29c,0)，若椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值可以是 A. 13 B. 12 C. √22 D. √33第II 卷（非选择题）二、解答题8.已知抛物线C ： 22y px =（0p >）上一点7,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离是点M 到直线x p =的距离的3倍，过F 且倾斜角我45︒的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设p N ∈，直线l 是抛物线C 的切线， A 为切点，且//l PQ ，求APQ ∆的面积．参考答案1.C【解析】1.根据特称命题的否定的性质进行判断即可. 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“00x ∃>，()0lg 11x +>”的否定是0x ∀>，()lg 11x +≤. 故选：C 2.B【解析】2.由双曲线的定义计算，注意焦半径的范围即可． ∵12||||||24PF PF a -==，且1||5PF =，∴2||1PF =或9，但2|1021PF c a -=>∣，故2||9PF =. 故选：B ． 3.D【解析】3.根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 因为角C 是三角形的内角，所以(0,)C π∈，由cos 7C =，可得：3sin 7C ===，由正弦定理可知：sin sin a cA C =，因为2a c =，3sin 7C =，所以6sin 2sin 7A C ==. 故选：D4.C【解析】4.1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列为假命题（常数为零时），1p ⌝为真命题， 20:p x R ∃∈， 200x ≤为真命题， 2p ⌝为假命题；因为椭圆的离心率小于1 ，双曲线的离心率对于1 ，所以3p 为假命题， 3p ⌝为真命题，故选C. 5.D【解析】5.12n n a S +=， ∴ 12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,1{23,2n n n a n -==≥ ，1na =21,1{ 11,223n n n -=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D6.B【解析】6.设()()1122,,,A x y B x y ，分别过,A B 作直线2x =-的垂线，垂足分别为,D E ，()12123221,{ 23x x PA AB y y +=+=∴=，又2112224{ 4y x y x ==，解得123x =，故选B.7.C【解析】7.由题意，椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，只可能|FM|=|FN|，且∠MFN >π2，而|FM|=14a 29c−c ，|FN|∈[a −c,a +c]，通径为2b 2a ，所以b2a<14a 29c−c <a +c ，通过这一不等式可得到离心率的范围，进而得到选项.由题意，椭圆C 上存在点N ，使得ΔFMN 为等腰钝角三角形，只可能|FM|=|FN|，且∠MFN >π2，而|FM|=14a 29c−c ，|FN|∈[a −c,a +c]，通径为2b 2a ，所以b2a<14a 29c−c <a +c ，得{18e 2+9e −14>09e 3−9e 2−9e +14>00<e <1，所以23<e <1. 故答案为：C. 8.（Ⅰ）2p =或285p =;（Ⅱ）【解析】8.试题分析：（1）由抛物线定义得722pMF =+，所以773222p p +=-，解出p 的值；（2）设直线l 的方程为y x b =+，联立直线方程与抛物线方程，由判别式为零可得1b =， 利用韦达定理可求出PQ ，再根据点到直线距离公式可得高，最后代入面积公式求APQ ∆的面积．试题解析：（Ⅰ）由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则773222p MF p =+=-，解得2p =或285p =．（Ⅱ）∵p N ∈，∴2p =，设直线l 的方程为y x b =+，代入24y x =， 得()22240x b x b +-+=，∵l 为抛物线C 的切线，∴()222440b b ∆=--=，解得1b =， 易知直线PQ 的方程为1y x =-，代入24y x =，得2610x x -+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，∴126x x +=，121x x =，∴8PQ ==，∵l 到直线PQ 的距离d ==∴APQ ∆的面积182S =⨯=。

2020-2021学年高二数学上学期11月段考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ）A ．56110x y +-=B ．5610x y -+=C ．65110x y --=D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ）A ．-3B ．13- C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ） A ．1 B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]-11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C. 217 D ．215 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为5，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.22.（本小题满分12分）(3)方程f （|2x ﹣1|）+k （ ﹣3）有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCAAB 11、12：AD二、填空题 13. 3π 14. 322+ 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分 （2）由（1）得，()2sin()4f x x π=+. 因为2()43f πθ+=，所以()2sin()444f πππθθ+=++………………5分22sin()2cos 23πθθ=+==.……6分所以1cos 3θ=.……7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分所以()2sin()2sin 444f πππθθθ-=-+=………………9分 224233=⨯=.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分 （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分 在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分 设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，， {,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为22|002|211d +-==+，……1分所以222228()(2)4182r d =+=+=. 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.…4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00x y -.……5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤. 当且仅当003x y ==时，等号成立.…10分因为00x >，00y >,所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分22. 1）解：g （x ）=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， 当a ＞0时，g （x ）在[2，3]上为增函数， 故 ，可得 ，⇔ ．当a ＜0时，g （x ）在[2，3]上为减函数．故 可得 可得 ，∵b＜1∴a=1，b=0 即g （x ）=x 2﹣2x+1．f （x ）=x+ ﹣2．（2）解：方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x + ﹣2≥k •2x ， k≤1+ ﹣ 令 =t ，k≤t 2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t ，记φ（t ）=t 2﹣2t+1， ∴φ（t ）min =0， ∴k≤0．（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0 得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如下图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

2021－2021学年上学期全国百强名校“领军考试〞高二数学(文科)2021.11考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.答复选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.数列：2，－5，8，－11，…，(－1)n －1(3n －1)，(－1)n (3n ＋2)，…的第2n 项为A.6n －1B.－6n ＋1C.6n ＋2D.－6n －22.命题“对∀x ∈(1，＋∞)，lnx>x －1，的否认为A.对∀x ∈(1，＋∞)，lnx ≤1x x- B.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0>001x x - C.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0≤001x x - D.∃x 0∈(0，1]，lnx 0≤001x x - 3.实数a ，b ，c 满足a ＋b<b<0<a ＋c ，那么A.a<b<cB.ac ＋bc<0C.c －b>c －aD.11a c> 4.?算法统宗?是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

〞大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.252y≤x＋15.实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，那么3x－2y＋1的最大值是A.5B.4C.2D.－16.给出以下命题：①2021≤2021；②a>b⇔a2>b2；③a＋1a≥2。

八重点高中联盟2021-2021学年高二数学上学期领HY 考试试题〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名，准考证号填写上在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.答复选择题时，选出每一小题答案后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.在在考试完毕之后以后，将本试题和答题卡一起交回。

一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222c a b ab =++，那么角C 的大小为〔 〕 A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】D 【解析】分析：根据余弦定理的推论求得cos A ，然后可求得23A π=． 详解：∵222a b c bc =++， ∴222b c a bc +-=-．由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0A π<<，∴23A π=． 应选D ．点睛：此题考察余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后无视了角的范围，从而得到错误的结果．{}n a 的前4项为：12-，34，58-，716，那么数列{}n a 的通项公式是〔 〕A. 212n nn a -= B. ()()1212nnnn a-⋅-=C. 212n nn a +=D. ()()1212nnnn a-⋅+=【答案】B 【解析】 【分析】根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.【详解】观察数列{}n a 的前4项，可知分母为2n ，分子是奇数，为21n -， 同时符号是正负相间，为()1n-，所以()()1212nnnn a-⋅-=. 应选B.【点睛】此题主要考察数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决此题的关键．3.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，假设28a =-，6378S S =，那么357a a a =〔 〕A. -1B.12- C.12D. 1【答案】D【解析】【分析】先判断公比能否为1，结合条件求出公比，进而利用等比数列下标和性质及通项公式得到结果.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，显然1q≠，那么()()61363311711811a qS qqS a qq--==+=--，解得12q=-.又()33333357521812a a a a a q⎡⎤⎛⎫===-⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.应选：D.【点睛】此题考察等比数列通项公式及前n项和公式，考察计算才能，属于常考题型.ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3b==，60B =，那么ABC∆的面积为〔〕D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得30A =，从而可得90C =，利用面积公式得到答案.【详解】由可得a =sin 1sin 322a B Ab ===. 又a b <，所以A B <.所以30A =，所以90C =，所以113222ABC S ab ∆===. 应选：C.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察推理才能与计算才能，属于根底题.5.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设15915a a a ++=，728S =，那么20202021S =〔 〕 A. 1009 B. 1010C. 2021D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】由15915a a a ++=可得55a =，布列方程组解得根本量，从而得到结果. 【详解】由可得1595315a a a a ++==，所以55a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，那么51714572128a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==， 所以n a n =，所以()20202020202011010202122021S ⨯+==⨯.应选：B.【点睛】此题考察等差数列通项公式与前n 项和公式，考察等差数列下标和性质，考察学生的运算才能，属于中档题.6.ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，且sin sin c Ba A=，那么该三角形的形状是〔 〕 A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=，由sin sin c B a A=可知b c =，从而作出判断. 【详解】由角A ，B ，C 成等差数列，得3B π=；由sin sin c B a A =，根据正弦定理得c b a a=，所以b c =，该三角形是等边三角形， 应选：C.【点睛】此题考察三角形形状的判断，考察利用正弦定理进展边角的转化，考察合理恒等变形，属于常考题型.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin b c B C a A C -+=，那么B =〔 〕A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理结合条件可得222a c b +-=，进而利用余弦定理可得所求角.【详解】因为()()()sin sin sin b c B C a A C -+=+，那么由正弦定理可得()()()b c b c a a -+=+，即222a c b +-=.那么由余弦定理，可得222cos 2a c b B ac +-==.又0B π<<， 所以56B π=. 应选：D.【点睛】此题考察正余弦定理的应用，考察学生合理边角转化的才能，属于中档题.8.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设117a =，且21a +，51a -，81a +成等比数列，那么n S 的最大值为〔 〕 A. 77 B. 79 C. 81 D. 83【答案】C 【解析】 【分析】利用21a +，51a -，81a +成等比数列，可得34d 9=或者2d =-.分类讨论即可得到等差数列的前n 项和的最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21a +，51a -，81a +成等比数列. 所以()()()2528111a a a -=++，即()()()216418187d d d +=++， 整理得2916680d d --=，解得34d 9=或者2d =-. 当34d 9=时，显然数列{}n a 单调递增，n S 不存在最大值. 所以2d =-，所以()1721219n a n n =--=-+， 所以910a =>，1010a =-<，所以n S 的最大值为981S =.应选：C .【点睛】此题考察等差数列根本量的计算，考察等差数列前n 项和的最值，考察运算才能，属于中档题.{}n a 是正项等比数列，假设数列{}n b 满足：21n n b a -=，2212n n b a +=，且1290a b +=，那么n b =〔 〕A. 23nB. 213n -C. 3nD. 13n -【答案】A 【解析】 【分析】对n 赋值可得232b a =，35b a =，从而得到225a a =，解得1n n a q +=，再结合1290a b +=，可得3q =，得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，所以11n n a a q -=.那么由，得当1n =时，由2212n n b a +=，可得232b a =；当3n =时，由21n n b a -=，可得35b a =，所以225a a =，即()2411a q a q =，解得21a q =，所以1n n a q +=，那么22412390a b q a q q +=+=+=，解得3q =， 所以13n n a +=，所以2213n n n b a -==.应选：A.【点睛】此题考察数列通项的求法，考察等比数列通项公式，考察赋值法，考察推理才能与计算才能，属于中档题.10.如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，假设某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=，那么大坝的坡角〔DAC ∠〕的余弦值为〔 〕31B.31221D.212【答案】A 【解析】 【分析】由15BAD ∠=，45BED ∠=，可得30ABE ∠=，在ABE ∆中，由正弦定理得2062BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+可得结果.【详解】因为15BAD ∠=，45BED ∠=，所以30ABE ∠=.在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=，解得2062BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠，所以220622sin 3120BDE ∠==.又90ACD ∠=，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+，所以cos 31DAC ∠=.应选：A.【点睛】此题考察正弦定理解三角形，考察诱导公式，考察学生合理进展边角转化的才能，属于中档题.11.梅赛德斯-奔驰〔Mercedes-Benz 〕创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星〞商标象征着陆上、水上和空中的机械化.该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成〔如图〕，点O 为圆心，15OAB ∠=，假设在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔 〕233- 233- 639- D.639- 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出圆与阴影局部的面积，作商即可得到结果. 【详解】由可得60AOB ∠=，那么105ABO ∠=.又()231sin15sin 4530222⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭624=，()21sin105sin 456022⎛=+=⨯ ⎝⎭=. 不妨设4OA =，那么由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅===-，那么(148sin 6083122AOB S ∆=⨯⨯-⨯=， 所以阴影局部的面积为'336AOB S S ∆==，圆O 的面积为16S π=， 那么在圆内任取一点，那么此点取自阴影局部的概率为'369164S P S ππ===. 应选：D.【点睛】此题考察几何概型的面积概型，合理求出阴影局部的面积是解题的关键，考察学生的计算才能，属于中档题.{}n a 中，11a =，()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，假设2nn a b n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，那么100S =〔 〕 A.100101B.200101C.300101D.400101【答案】B 【解析】【分析】由题意变形可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，即数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得到21nn a n =+， 又()221n n a b n n n ==+，利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为()2111111n na a n +⎡⎤=-⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，化简可得1211n n n n a a n n +++⋅=⋅+，所以数列1n n a n +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭11121a +⋅=， 所以12n n a n +⋅=，解得21n na n =+，那么()2211211n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭， 所以100200101S =. 应选：B.【点睛】此题考察数列的递推关系，数列通项的求法，裂项相消法求和，考察推理才能与计算才能，属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕{}n a 中，22a=，56a =，那么8a =______.【答案】18 【解析】 【分析】利用等比数列下标和性质即可得到结果。

2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学（文）2021.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()()312i i -=（ ） A ．88i -B ．88i --C ．22i +D ．22i --2．已知集合A y y⎧⎫==⎨⎩，{}ln B x y x ==，则（ ） A ．A B = B ．AB C ．B A D ．A B ⋂3．已知命题p ：“对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +<++”，则p ⌝为（ ） A ．(]0,0x ∃∈-∞，20221112x x x +<++ B ．对()0,x ∀∈+∞，2221112x x x +≥++ C ．()00,x ∃∈+∞，20221112x x x +≥++ D ．对(],0x ∀∈-∞，2221112x x x +≥++ 4．若函数()()2223af x x x a =+-+是偶函数，则124a -=（ ）A ．92B ．9C ．18D ．325．双曲线C ：22143x y m m-=（0m >）的渐近线与圆D ：(226x y +=相切，则m =（ ）A ．1BC ．2D 6．若π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且tan 3α=，则()sin πα+=（ ）A B C ． D7．已知向量AB ，AC 均为单位向量，且()21,1AB AC +=，则BC =（ ） ABCD8．统计某学校100名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这100名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（ ）A ．1.2B ．1.4C ．1.5D ．1.69．已知菱形ABCD 中2AB BD ==，把ABD △沿BD 折起，使点A 到达P 处，且3PC =，若点E 为线段PD 中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（ ） A．2B．4C ．12D ．51210．若函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象向左平移π6个单位后得到一个偶函数的图象；若()f x 向右平移π12个单位后得到一个奇函数的图象，则ω的值可以是（ ） A ．6 B ．8 C ．12D ．1411．我们把函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①()()D x D x =；②()()1D x D x +=；③()()()D D x D x =；④(){}{}0,1y y D x ===，其中正确的命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F ，一个顶点为()2,0A ，设(),0B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若PB AB ≥恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]2,2-D ．()2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足102030x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值________．14．函数()()22e cos xf x x x x =-+的图象在0x =处的切线方程为________．15．已知ABC △的三边a ，b ，c 满足2a c b +=，且ABC △，则c a 的值为________．16．已知球O 内有3个半径为3的小球，则球O 的表面积的最小值为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且3412a a +=，13a ，23a ，3a 成等差数列． （1）求n a ； （2）设,,n n n n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项的和2n S ．18．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD 是菱形，2AE =，BD =（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ； （2）求三棱锥A BCE -的体积．19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码x 分别为15，市场规模为y （单位：亿元）．（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模． 附注：参考数据：5117407ii y==∑；5158732i i i x y ==∑2062.7≈ 3.2≈参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii nii x x y y b x x ----=-∑∑，ˆˆay bx =-． 20．已知点A ，B 分别是直线22y x =+及抛物线C ：22y px =（0p>）上的点，且AB 的最小值为（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与抛物线C 交于点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，判断x 轴上是否存在点N ，使得2214MN PQ -为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由． 21．已知函数()()321e 31xf x x ax ax =+---． （1）若0a =，求()f x 在[],0m （0m <）上的最小值； （2）若()f x 在()3,2-上有3个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程； （2）若射线θα=（0π2α<<，0ρ>）与直线l 及双曲线C 分别交于点A ，B ，且2OA OB =，求tan α．23．[选修4—5：不等式选讲] 已知()241f x x x =+-．（1）求不等式()31f x x ≥+的解集； （2）若()22113116f x a b ≥+-对任意实数x 恒成立，求证：2a b ab +≤． 2020—2021学年下学期全国百强名校 “领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）1．【答案】B【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养． 【解析】因为()()()()31i 2i 1i 8i 88i -=--=--，故选B ． 2．【答案】A【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】集合{}0A y y y y ⎧⎫===>⎨⎩，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以A B =，故选A ． 3．【答案】C【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．【解析】根据“x M ∀∈，()p x ”的否定是“0x M ∃∈，()0p x ⌝”，可知选C ． 4．【答案】A【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．【解析】由()()2223af x x x a =+-+是偶函数，可的230a-=，23a =，所以()21229422a a -==，故选A ．5．【答案】C【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】双曲线C的渐近线与圆D相切，则圆心)到直线y x=的距离d==，解得2m=，故选C．6．【答案】A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素养．【解析】由π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及tan3α=可得sin0α<，由2222sin sin9cos1sinαααα==-，得29sin10α=，sinα=，所以()sinπsinαα+=-=A．7．【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】因为向量AB，AC均为单位向量，()21,1AB AC+=两边平方得542AB AC+⋅=，所以34AB AC⋅=-，所以2222BC AC AB AB AC=-=-⋅=+C．8．【答案】B【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．【解析】设中位数为x，由()0.10.40.50.250.5+⨯=<，()0.10.40.60.50.550.5++⨯=>，可得1 1.5x<<，由()()0.10.40.510.60.5x+⨯+-⨯=，解得 1.4x≈，故选B．9．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．【解析】取CD中点F，连接BE，EF，则BEF∠就是异面直线BE与PC所成角，如图所示，由题意可得BE BF=32EF=，所以12cosEFBEFBE∠==B．10．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心素养．【解析】由题意可得π662πππk ω+=+（k ∈Z ），6π12ππn ω-+=（n ∈Z ），整理得62k ω=+（k ∈Z ），122n ω=-+（n ∈Z ），取2k =，1n =-得14ω=，故选D ．11．【答案】C【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．【解析】当x 为有理数时x ，1x +均为有理数，()()0D x D x ==，()()11D x D x +==，当x 为无理数时x ，1x +均为无理数，()()0D x D x ==，()()10D x D x +==，所以①②正确，当x 为无理数时()0D x =，()()()01D D x D ==，③错误，④正确，故选C ．12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【解析】设()00,P x y ，则22220000131434x y x y ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为PB AB ≥，所以22PB AB ≥，所以()()222222200002231444x x t y t x tx t t t ⎛⎫-+≥-⇒-++-≥-+ ⎪⎝⎭．因为()()()200000222412244x x x tx t t x -+-+≥⇒-≥，因为022x -≤≤，所以020x -≥，所以0224x t +≥恒成立，所以0max212142x t t +⎛⎫≥=⇒≥ ⎪⎝⎭，即1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 13．【答案】1【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．【解析】如图所示，作出不等式组表示的可行域，是以点()3,2A -，()3,5B --，13,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，由2z x y =+得1222y x =-+，当122zy x =-+经过点A 时，其在y 轴上的截距最大，z 最大，所以max 3221z -+=⨯=．14．【答案】210x y +-=【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．【解析】由()()22e cos x x x f x x =-+可得()()22e sin xx f x x '=--，所以()01f =，()02f '=-，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=． 15．【答案】1或73【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】由ABC △得1sin 2ab C =，所以sin C =，π3C =或2π3， 若π3C =，则2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得a c =，若2π3C =，则 2222222a c a c c a b ab a a ++⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()370c a c a +-=，所以73c a =，故1c a=或73．16．【答案】(84π+【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．【解析】设3个半径为3的小球的球心分别为1O ，2O ，3O ，则球O 的表面积最小时，3个小球两两相切，每个小球都与球O 相切，此时123OO O △的中心为O ，1223316OO O O O O ===，所以1OO =以球O 的半径最小值为3，球O 的表面积的最小值为()(24π384π=+．17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），由3412a a +=得()21112a q q +=，由13a ，22a ，3a 成等比数列得1334a a +=，即211134a a q a q +=， 因为10a ≠，所以2430q q -+=，即()()130q q --=， 因为1q ≠，所以3q =，代入()21112a q q +=得113a =， 所以11211333n n n n a a q---==⨯=．（2）因为,,n nn n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2221321133n n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()21191219121988n n n n n ⨯-+-=⨯+=+--．18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．【解析】（1）取AE 中点O ，连接DO ，BO ， 因为ABE △为正三角形， 所以BO AE ⊥，面ADE ⋂面ABE AE =，且BO 在面ABE 内 所以BO ⊥平面ADE ， 因为DO ⊂平面ADE ， 所以BO DO ⊥，由题意知BD =BO =，所以DO =因为2AD =，1AO =， 所以222AO DO AD +=， 所以DO AE ⊥ 因为DO BO O ⋂=， 所以AE ⊥平面DOB ， 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面ACE ． （2）由（1）知，BO DO ⊥， 又2AD =，1AO =，DO ，222AD AO DO ∴=+DO AO ⊥（即DO AE ⊥），又因为AE BO O ⋂=又DO =//AB DC ， 所以三棱锥C ABE -因为ABE △是边长为2的正三角形， 所以ABE △的面积为224=，所以113A BCE C ABE V V --==．19．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学运算的核心素养． 【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得3x =，()25110ii x x =-=∑，()()555111587323174076511iii iii i i x x y y x y x y===--=-=-⨯=∑∑∑，()()565110.993.22062.7iix x y y r --=≈≈⨯∑因为y 与x 的相关系数0.75r >，说明y 与x 的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()515216511ˆ651.110iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑， 因为174073481.45y ==，ˆˆ3481.4651.131528.1a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归方程为ˆ651.11528.1yx =+ 将2021年对应的6x =代入回归方程得ˆ651.11528.15434.7yx =+=． 所以预测2021年中国在线教育市场规模为5434.7亿元．20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）设点2,2t B t p⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线C 上任意一点，则AB≥=，因为AB2p-=4p=，所以抛物线C的方程为28y x=．（2）设()11,P x y，()22,Q x y，(),0N t，把直线()1y k x=-与28y x=联立得()2222280k x k x k-++=，由题意可得0k≠，所以212222882kx xk k++==+，121x x=，所以()()22221144MN PQ NM PQ MN MP NM MQ-=-=+⋅+()()()()1122,1,1x tNP NQ k x x t k x--=-=⋅⋅-()()()()2121211x t x t k x x=--+--()()()222212121k x x t k x x t k=+-++++()22222812k t k t kk⎛⎫=+-++++⎪⎝⎭22827tt tk=---所以当0t=时22174MN PQ-=-．所以x轴上存在点()0,0N，使得2214MN PQ-为定值7-．21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当0a=时()()1e1xf x x=+-，()()2e xf x x'=+，若20m-≤<，[],0x m∈时()0f x'≥，()f x在[],0m是增函数，()f x的最小值为()()1e1mf m m=+-，若2m <-，[],2x m ∈-时()0f x '≤，()f x 是减函数，[]2,0x ∈-时()0f x '≥，()f x 是增函数，()f x 最小值为()2121e f =---， 综上可得20m -≤<时()f x 的最小值为()1e 1m m +-，2m <-时()f x 的最小值为211e -- （2）因为()()321e 31x x ax a f x x =+---， 所以()()()()()2e 322e 3x x x ax x x ax f x =+'-+=+-， ()f x 在()3,2-上有3个极值点，则()0f x '=在()3,2-有3个不同实根，则方程e 30xax -=在()3,2-上有2个不等于2-的实根， 显然0x =不是方程e 30xax -=的根， 所以问题转化为直线3y a =与函数()e xg x x=（32x -<<）的图象有2个横坐标不等于2-的交点， ()()21e x x g x x -'=，()g x 在()3,0-，(]0,1上是减函数，在[)1,2上是增函数，当()3,0x ∈-时，()31,3g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝--⎭∞，当(]0,1x ∈时()[)e,g x ∈+∞，当[)1,2x ∈时，()2,2g e e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以当232e e a <<，即236e e a <<时()f x 在()3,2-上有3个极值点， 所以a 的取值范围是2,36e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）直线l的参数方程1x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得40x -=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程为()cos 4ρθθ=， 即πcos 23ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）因为射线θα=（π02α<<，0ρ>）与直线l 及曲线C 分别交于点A ，B ，所以2πcos 3OA α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cos OB α=， 因为2OA OB =， 所以πcos 2cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2cos 2ααα+=，3cos 2αα=，tan α= 23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）(][)2220,0170,0,01,4120,4x x x x x x x x x x ⎧⎪-≥<⎪⎪-≥≤<⇒∈-∞⋃+∞⎨⎪⎪+-≥≥⎪⎩ 所以不等式()31f x x ≥+的解集为(][),01,-∞⋃+∞．（2）当14x ≥时()22111141444416x x f x ⎛⎫=+-≥+⨯-= ⎪⎝⎭， 当14x <时()2211141414416x x f x ⎛⎫=-+>+⨯-= ⎪⎝⎭， 所以()116f x ≥，当且仅当14x =时取等号． 所以22113111616a b +-≤，即22112a b +≤， 所以222111124a b a b ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， 所以112a b +≤，即2a b ab +≤．。