2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.1.4、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案20

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质洛阳市东升第二中学肖红芹教学目标【知识与技能】1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度】经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标一、情境导入，初步认识1.问题（1）请说出抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系。

（2）.抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴，顶点坐标。

（3）抛物线y=2(x+3)2+5，y = -3x(x-1)2 -2的开口方向，对称轴，顶点坐标。

2. 问题你知道二次函数y=12x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？二、思考探究，获取新知1.问题你能把二次函数y=12x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它的图象的对称轴和顶点坐标.2.问题请用描点法画出二次函数y=12x2-6x+21的图象.3.问题请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？三、问题引导，归纳结论问题抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何得到的？【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:四综合训练，能力提升1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x 为何值时y 的值最小（大）？x x y 232+=x x y 22--= 8822-+-=x x y 34212+-=x x y2.课堂练习（1）.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a ≠0)的顶点都在（ ）A.直线y = x 上B.直线y = - x 上C.x 轴上D.y 轴上（3）若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （ ）A 4 B. -1 C. 3 D.4或-13.达标测试（1）用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标。

初中数学试卷22.1.4二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质预习要点：1．一般地，二次函数y=ax 2+bx+c 可以通过化成y=a (x-h )2+k 的形式，即y=a(x+b 2a )2+4ac-b 24a ．因此，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是，顶点是．2．从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可以看出： （1）如果a ＞0，当x ＜- b2a 时，y 随x 的增大而，当x ＞- b2a时，y 随x的增大而；（2）如果a ＜0，当x ＜- b2a 时，y 随x 的增大而，当x ＞- b2a时，y 随x的增大而．3．求二次函数的解析式y=ax 2+bx+c,需求出 的值．由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于 的方程组，求出的值，就可以写出二次函数的解析式.4．（2016•益阳）关于抛物线y=x 2−2x+1，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x=1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．（2016•怀化）二次函数y=x 2+2x −3的开口方向、顶点坐标分别是（ ） A ．开口向上，顶点坐标为（−1，−4） B ．开口向下，顶点坐标为（1，4） C ．开口向上，顶点坐标为（1，4） D ．开口向下，顶点坐标为（−1，−4）6．（2016•广州）对于二次函数y=−14 x 2+x −4，下列说法正确的是（ ） A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x=2时，y 有最大值−3 C ．图象的顶点坐标为（−2，−7）D ．图象与x 轴有两个交点7．（2016•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=−1，x 2=3；③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是−1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ） A ．y=2x 2+x+2B ．y=x 2+3x+2C ．y=x 2−2x+3D ．y=x 2−3x+29．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．y=x 2−2x+3B ．y=x 2−2x −3C ．y=x 2+2x −3D ．y=x 2+2x+310．（2016•枣庄模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （−3，0），对称轴为x=−1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③a −b+c=0；④5a ＜b ．其中正确结论是．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，则c的值为．12．抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点坐标为．13．若函数y=2x2−4x+m有最小值是3，则m= ．14．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当时，y＞0．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=x2的形状相同，最高点坐标为（2，−3），则抛物线的解析式是．同步小题12道一．选择题1．二次函数y=−x2−2x+5的顶点坐标、对称轴分别是（）A．（1，6），x=1 B．（−1，6），x=1C．（−1，6），x=−1 D．（1，6），x=−12．一次函数y=ax+b（ab≠0）的图象不经过第二象限，则抛物线y=ax2+bx的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y=x2−8x+m的顶点在x轴上，则m等于（）A．−16 B．−4 C．8 D．164．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＞0C ．a ＞0，c ＜0D ．a ＜0，c ＜05．已知函数y=x 2+3x+a −2的图象过原点，则a 的值为（ ） A ．2B ．−2C ．−3D ．06．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A ．y=2（x+1）2+8 B ．y=18（x+1）2−8 C ．y=29 （x −1）2+8 D ．y=2（x −1）2−8二．填空题7．抛物线y=2x 2−6x −1的对称轴为．8．（2016春•重庆校级月考）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ＞b ；③a −b+c ＞0；④4ac −8a ＞b 2，其中正确的是 （填序号）9．抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，对称轴是直线x=1，A （−2，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）在该抛物线上，则y 1，y 2，y 3大小的关系是 ．10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （−1，−1）、B （0，2）、C （1，3）；则二次函数的解析式 ．三．解答题11．已知抛物线的解析式为y=x 2−2x −3，请确定该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出开口方向，顶点坐标和对称轴．12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论，正确的有哪些？并说明理由．（1）3a+b ＞0；（2）0＜b ＜a+1；（3）b+2a ＞0；（4）−14 ＜a ＜−18 ． 答案： 预习要点：1．配方 x=- b 2a (- b 2a ，4ac-b 24a )2．（1）减小 增大 （2）增大 减小 3．a ，b ，c a ，b ，c a ，b ，c4．【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．【解答】解：画出抛物线y=x 2−2x+1的图象，如图所示．A 、∵a=1，∴抛物线开口向上，A正确；B 、∵令x 2−2x+1=0，△=（−2）2−4×1×1=0，∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确；C 、∵−b 2a =−−22×1=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；D 、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，D 不正确． 故选D5．【分析】根据a ＞0确定出二次函数开口向上，再将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=x 2+2x −3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x 2+2x −3=（x+1）2−4，∴顶点坐标为（−1，−4）．故选A ．6．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y=−14 x 2+x −4可化为y=−14 （x −2）2−3，又∵a=−14 ＜0∴当x=2时，二次函数y=−14 x 2+x −4的最大值为−3． 故选B7．【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a ，然后根据x=−1时函数值为负数可得到3a+c ＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2−4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（−1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=−1，x 2=3，所以②正确；∵x=−b2a =1，即b=−2a ，而x=−1时，y ＜0，即a −b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（−1，0），（3，0），∴当−1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选B8．【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax 2+bx+c ，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：⎩⎪⎨⎪⎧ a +b +c ＝0 4a +2b +c ＝0 c ＝2 ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝−3c ＝2 ；所以该函数的解析式是y=x 2−3x+2．故选D9．【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【解答】解：根据题意，图象与y 轴交于负半轴，故c 为负数，又四个选项中，B 、C 的c 为−3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，抛物线过（−1，0），（0，−3），（3，0），所以⎩⎪⎨⎪⎧a −b +c ＝0 c ＝−3 9a +3b +c ＝0 ，解得a=1，b=−2，c=−3，这个二次函数的表达式为y=x2−2x −3． 故选B半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x 轴有两个交点，∴b 2−4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c最大值，由图象可知y ≠0，故③错误；④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a −3b+c=0，两边相加整理得5a −b=−c ＜0，即5a ＜b ，故④正确． 答案：①④11．【解答】解：把（0，0）代入得c=0． 答案：0．12．【分析】把x=0代入抛物线y=−x 2+3x −3，即得抛物线y=−x 2+3x −3与y 轴的交点． 【解答】解：∵当x=0时，抛物线y=−x 2+3x −3与y 轴相交，∴把x=0代入y=−x 2+3x −3，求得y=−3，∴抛物线y=−x 2+3x −3与y 轴的交点坐标为（0，−3）． 答案：（0，−3）．13．【分析】首先用配方法将一般式化为顶点式，顶点纵坐标即为最小值，列方程求解． 【解答】解：∵y=2x 2−4x+m=2（x −1）2+m −2，∴m −2=3，解得m=5，答案：5．14．【分析】（1）已知顶点坐标和函数图象经过原点，故设抛物线解析式为y=a （x −1）2−1（a ≠0），然后把原点坐标代入来求a 的值；（2）把y=3代入（1）中函数关系进行解答相应的x 的值；（3）根据图示直接填空．【解答】解：（1）如图，抛物线的顶点坐标是（1，−1）．故设抛物线解析式为y=a （x −1）2−1（a ≠0），又∵抛物线经过点（0，0），∴0=a （0−1）2−1，解得，a=1．故抛物线的解析式为：y=（x−1）2−1．故填：y=（x−1）2−1；（2）由（1）知，y=（x−1）2−1，当y=3时，3=（x−1）2−1，解得，x=3或x=−1．故填：3或−1；（3）根据图示知，当x＜0或x ＞2时，y＞0．故填：x＜0或x＞2．15．【分析】根据y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同，且有最高点，可确定函数图象开口向下，且a=−1，由顶点坐标写出其顶点式，再整理成一般式即可．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同，且有最高点（2，−3），∴抛物线的解析式是y=−（x−2）2−3=−x2+4x−7，答案：y=−x2+4x−7．同步小题12道1．【分析】将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y=−x2−2x+5=−（x+1）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（−1，6），对称轴为x=−1．故选C2．【解答】解：∵一次函数y=ax+b（ab≠0）的图象不经过第二象限，∴a＞0，b＜0，∴故选D3．【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．根据顶点公式即可求得m的值．故选D4．【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题．【解答】解：∵图象开口方向向上，∴a＞0；∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；∴a＞0，c＜0．故选：C5．【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式得到关于a的方程，然后解方程即可．【解答】解：把（0，0）代入y=x2+3x+a−2得a−2=0，解得a=2．故选A．6．【分析】顶点式：y=a（x−h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，−8）故二次函数的解析式为y=2（x−1）2−8．故选D可．8．【解答】解：∵抛物线的开口朝下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交点在y 的正半轴，∴c立；∵c ＞0，0＞b ＞a ，∴abc ＞0，即①成立；∵当x=−1时，抛物线上的点在x 轴上方，答案：①③．9．【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x 取−2、0、2时，x 取−2时所对应的点离对称轴最远，x 取0与2时所对应的点离对称轴一样近，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，对称轴是直线x=1，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x 取−2时所对应的点离对称轴最远，x 取0与2时所对应的点离对称轴一样近，∴y 1＞y 2=y 3．故答案是：y 1＞y 2=y 3．10．【分析】根据点A ，B ，C 在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A （−1，−1）、B （0，2）、C （1，3）代入y=ax 2+bx+c 得a=−1，b=2，c=2．从而得出二次函数的解析式为y=−x 2+2x+2．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵点A ，B ，C 在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，∴将A （−1，−1）、B （0，2）、C （1，3）代入二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a −b +c ＝−1 c ＝2 a +b +c ＝3，解得，a=−1，b=2，c=2．∴二次函数的解析式为y=−x 2+2x+2． 答案：y=−x 2+2x+2．11．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出开口方向，顶点坐标和对称轴．解：∵y=x 2−2x −3，∴y=（x −1）2−4，∵a=1＞0，∴该抛物线的开口方向上，∴对称轴和顶点坐标分别为：x=1，（1，−4）12．【分析】根据图象与坐标轴交点即可确定对称轴的位置以及解析式，进而分别得出答案．a−b+c＞0，∵图象经过（0，1），∴c=1，∴a−b+1＞0，∴a+1＞b，∵对称轴在x轴正半轴，∴a，b异号，∵图象开口向下，∴a＜0，∴b＞0，∴0＜b＜a+1，此选项正确；（3）。

即b≤1，故选择D .
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1

〔解析〕 (1)已知抛物线上不同的三点坐标,利用(lìyòng)待定系数法可求 出该抛物线的解析式.(2)根据O,B点的坐标发现:抛物线上O,B两 点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需连接AB,直线AB和抛 物线对称轴的交点即为符合要求的M点,而AM+OM的最小值正 好是AB的长.
解:(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点 的坐标代入y=ax2+bx+c中,
移后抛物线的解析式.
解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
∴可设抛物线解析(jiě xī)式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得3a=-3,解得a=-1, 故抛物线解析(jiě xī)式为y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1).
解:(1)∵OA=2,OC=3， ∴A(-2,0),C(0,3)，
∴c=3,将A(-2,0)代入y= - 1x2+bx+3，
得- 1×(-2)2-2b+3=0,
2
2
解得b=
1 2
,可得函数(hánshù)解析式12 为y=12
-
x2+
x+3.
(2)如图6所示,连接AD,与对称轴相交于点P,由于点A和点B关于(guānyú)对称轴对
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6.(连云港中考)如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为 坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且 OF=2,EF=3. (1)求抛物线所对应的函数解析式; (2)求△ABD的面积;(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A的对应点为点G,则点G是否在该 抛物线上?请说明(shuōmíng)理由.