人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结
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二次函数
✧ 相关概念及定义
➢ 二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,
,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项
系数0a ≠,而b c ,
可以为零.二次函数的定义域是全体实数. ➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2
⑵ a b c ,
,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. ✧ 二次函数各种形式之间的变换
➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2
的形式,其
中a
b a
c k a b h 4422
-=-=,.
➢ 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;
②k ax y +=2;③()2
h x a y -=;④()k h x a y +-=2
;⑤c bx ax y ++=2.
✧ 二次函数2ax y =的性质
y ax c =+
y a x h =-的性质:
y a x h k =-+的性质
a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 越大开口反而越小。
➢ 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.
.
总结起来 ➢ 常数项c
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
总之,只要a b c ,,
✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法
➢ 公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是
),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a
b x 2-=.
➢ 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形
式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.
➢ 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以
对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式
➢ 一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择
一般式.
➢ 顶点式:()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ✧ 直线与抛物线的交点
➢ y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
➢ 与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点
(h ,c bh ah ++2).
➢ 抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点
的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.
➢ 平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标
相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
➢ 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的
图像G 的交点,由方程组 2
y kx n
y ax bx c =+⎧⎨=++⎩
的解的数目来确定:(同上)
✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或
顶点式表达
➢ 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =---; ➢ 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =++; ➢ 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-;
()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =-+-;
➢ 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
✧ 二次函数图象的平移
➢ 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:
➢
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
二次函数专项训练
一、与二次函数有关的填空题
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