集合间的基本运算完整版

集合间的基本运算 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 3集合的基本运算 一、学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的

并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题． 二、知识梳理 1．并集和交集的概念及其表示

类别 概念 自然语言 符号语言 图形语言

并集 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)

2.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪＝A A∩＝

ABA∪B＝B ABA∩B＝A 3．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 4．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的

所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA 符号语言 UA＝{x|x∈U，且xA}

图形语言 5.补集的性质 UU＝，U＝U，U(UA)＝A.

三、典型例题 知识点一 集合并集的简单运算

例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( ) A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8} (2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( ) A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1} 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}． (2)在数轴上表示两个集合，如图． 规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( ) A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3} C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3} (2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M ∪N＝________. 答案 (1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3} 解析 (1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}， ∴A∪B＝{1，－2,3}． (2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来． 则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}． 知识点二 集合交集的简单运算 例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( ) A．{2}B．{4} C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4} (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( ) A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4} 答案 (1)D (2)A 解析 (1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}． (2)在数轴上表示出集合A与B，如下图． 则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}． 规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似． 跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B. 解 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥} ＝{x|－1＜x≤0，或≤x≤3}； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥}＝R.

知识点三 已知集合交集、并集求参数 例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝，求实数a的取值范围．

解 由A∩B＝， (1)若A＝，有2a＞a＋3，∴a＞3. (2)若A≠，如下图： ∴解得－≤a≤2. 综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}． 规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结． 2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证． 跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

解 如下图所示， 由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3. 知识点四 简单的补集运算 例4 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则UA等于 ( ) A．{1,2}B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5}D．

(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则UA＝________. 答案 (1)B (2){x|x＜1} 解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}， ∴UA＝{3,4,5}． (2)由补集的定义，结合数轴可得UA＝{x|x＜1}． 规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． 2．解题时要注意使用补集的几个性质：UU＝，U＝U，A∪(UA)＝U. 跟踪演练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则UA＝________. 答案 {x|x＝－3，或x＞4} 解析 借助数轴得UA＝{x|x＝－3，或x＞4}． 知识点五 交集、并集、补集的综合运算 例5 (1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩UB等于( ) A．{3}B．{4} C．{3,4}D．

(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(RS)∪T等于 ( ) A．{x|－2＜x≤1}B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1}D．{x|x≥1} 答案 (1)A (2)C 解析 (1)∵U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}， ∴{3}A{1,2,3}． 又UB＝{3,4}， ∴A∩UB＝{3}． (2)因为S＝{x|x＞－2}，所以RS＝{x|x≤－2}． 而T＝{x|－4≤x≤1}， 所以(RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1} ＝{x|x≤1}． 规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算． 2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解． 跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求R(A∪B)及(RA)∩B. 解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下： 由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∴R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}． ∵RA＝{x|x＜3，或x≥7}， ∴(RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}． 要点六 补集的综合应用 例6 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且BRA，求a的取值范围． 解 由题意得RA＝{x|x≥－1}． (1)若B＝，则a＋3≤2a，即a≥3，满足BRA. (2)若B≠，则由BRA，得2a≥－1且2a＜a＋3， 即－≤a＜3. 综上可得a≥－. 规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； 2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 跟踪演练3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(RB)＝，求实数a的取值范围． 解 ∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}， ∴RB＝{x|－1≤x≤0}， 因而要使A∩(RB)＝，结合数轴分析(如图)， 可得a≤－1. 四、课堂练习 1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4} C．{1,2}D．{0}