2011-2012学年云南省玉溪二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 若A ={a, b, 1}，则（ ） A.1∈A B.1∉AC.a =1D.b =12. 函数f(x)=√1−x的定义域为（ ） A.{x|x >1} B.{x|x <1}C.{x|−1<x <1}D.⌀3. sin (−5π3)的值为（ ）A.√32 B.−√32C.−12 D.124. 已知a →=(2, 3)，b →=(4, y)，且a → // b →，则y 的值为（ ） A.6 B.−6C.83D.−835. 三个数：20.2，(12)2，log 212的大小是（ ）A.log 212>20.2>(12)2 B.log 212>(12)2>20.2C.20.2>log 212>(12)2 D.20.2>(12)2>log 2126. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A.π4B.5π4C.πD.3π27. 已知A(2, 3)，B(3, 0)，且AC →=−2CB →，则点C 的坐标为（ ） A.(−3, 4) B.(4, −3)C.(83，1)D.(1,−83)8. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60∘角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④9. sin 14∘cos 16∘+sin 76∘cos 74∘的值是( ) A.√32 B.12C.−√32D.−1210. 已知函数f(x)=sinx+π2，g(x)=tan (π−x)，则（ ）A.f(x)与g(x)都是奇函数B.f(x)与g(x)都是偶函数C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数11. 有下列四种变换方式：①向左平移π4，再将横坐标变为原来的12；②横坐标变为原来的12，再向左平移π8； ③横坐标变为原来的12，再向左平移π4； ④向左平移π8，再将横坐标变为原来的12；其中能将正弦曲线y =sin x 的图象变为y =sin (2x +π4)的图象的是( )A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④12. 实数x，y满足x2+y2−2x−2y+1=0，则y−4x−2的取值范围为（）A.[43，+∞) B.[0,43] C.(−∞,−43] D.[−43，0)二、填空题：本大题共4小题，共计20分．函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称，则f(x)=________．已知sin(x+π6)=14，则sin(5π6−x)+cos2(π3−x)=________．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________．光线从点(−1, 3)射向x轴，经过x轴反射后过点(4, 6)，则反射光线所在的直线方程一般式是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知cosα=−45，α∈(π, 3π2)，求tan(α+π4)的值．已知直线l经过两点(2, 1)，(6, 3)．(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2, 0)点，求圆C的方程．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为a（1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系是P={t+20,(0<t<25,t∈N+)−t+100,(25≤T≤30,t∈N+)该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=−t+40(0<t≤30, t∈N+)．（1）求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；（2）求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的第几天？已知向量a→=(sin x,−1)，b→=(cos x,32)．（1）当a→ // b→时，求cos2x−3sin2x的值．（2）求f(x)=(a→+b→)⋅b→的最小正周期和单调递增区间．已知：以点C(t,2t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y＝−2x+4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．参考答案与试题解析2011-2012学年云南省玉溪二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据集合与元素的关系直接判断即可．【解答】解：因为A={a, b, 1}，∴1∈A故选A2.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．分母不为0．直接求出函数的定义域．【解答】解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1−x>0求得函数的定义域M={x|x<1}，故选B．3.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式sin(−5π3)=sin(−2π+π3)=sinπ3，利用特殊角的三角函数值求出值．【解答】解：sin(−5π3)=sin(−2π+π3)=sinπ3=√32故选：A．4.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由平面向量共线的充要条件可得方程，解出即得答案．【解答】解：因为a→ // b→，所以2y−3×4=0，解得y=6，故选A．5.【答案】D【考点】指数函数单调性的应用【解析】本题前两个数都是指数式，且可以化为以2为底的指数式，两者之间大小比较可以用函数y=2x的单调性比较，第三个数是一个对数式的形式，化简后知其值为−1，由此三数大小可以比较．【解答】解：由于(12)2=22考察函数y=2x的单调性，其为一增函数由于0.2>−2故有20.2>(12)2>0又log212=log22−1=−1可得20.2>(12)2>log212故选D．6.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，且底面圆的半径以及圆柱的高已知，故可以求出底面圆的周长与圆柱的高，计算出其侧面积．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是2π×12=π故侧面积为1×π=π故选C7.【答案】B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由题意A(2, 3)，B(3, 0)，且AC →=−2CB →，设出点C(x, y)的坐标，将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x ，y 的方程求出x ，y 的值，即得点C 的坐标，选出正确选项 【解答】解：设点C(x, y)，由于A(2, 3)，B(3, 0)，得AC →=(x −2,y −3)，2CB →=(3−x,−y)， 又AC →=−2CB →∴ −(6−2x, −2y)=(x −2, y −3)∴ {2x −6=x −22y =y −3解得{x =4y =−3，即C(4, −3)故选B 8. 【答案】 C【考点】 表面展开图 【解析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题． 【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN 与BM 成60∘角，即∠ANC =60∘，正确； ④DM ⊥平面BCN ，所以④正确. 故选C ． 9. 【答案】 B【考点】两角和与差的正弦公式 诱导公式【解析】利用诱导公式和两角和的正弦公式即可得出． 【解答】解：sin 14∘cos 16∘+sin 76∘cos 74∘=sin 14∘cos 16∘+cos 14∘sin 16∘ =sin (14∘+16∘) =sin 30∘=12． 故选B ． 10. 【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 运用诱导公式化简求值【解析】从问题来看，要判断奇偶性，先对函数用诱导公式作适当变形，再用定义判断． 【解答】 解：∵ f(x)=sinx+π2=cos x2，g(x)=tan (π−x)=−tan x ，∴ f(−x)=cos (−x2)=cos x 2=f(x)，是偶函数g(−x)=−tan (−x)=tan x =−g(x)，是奇函数． 故选D ． 11.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y =sin x 的图象变为y =sin (2x +π4)的图象，即可得到选项． 【解答】解：正弦曲线y =sin x 的图象向左平移π4，得到函数y =sin (x +π4)的图象， 再将横坐标变为原来的12，变为y =sin (2x +π4)的图象；将正弦曲线y =sin x 的图象横坐标变为原来的12，得到函数y =sin 2x 的图象，再向左平移π8，变为y =sin (2x +π4)的图象； 故①②正确，③④错误. 故选A ． 12. 【答案】 A【考点】 曲线与方程【解析】将问题转化为由(x, y)，(2, 4)两点确定直线的斜率，再由直线与已知圆有公共点求解． 【解答】解：令：t =y−4x−2可转化为：tx −y −2t +4=0, 则圆心到直线的距离为：d =√1+t 2=1,解得t =43,由直线与圆有公共点时，y−4x−2的取值范围为[43，+∞). 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，共计20分．【答案】 3x (x ∈R) 【考点】 反函数 【解析】由题意推出f(x)与函数y =log 3x(x >0)互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y =f(x)的图象与函数y =log 3x(x >0)的图象关于直线y =x 对称， 则f(x)与函数y =log 3x(x >0)互为反函数，f(x)=3x (x ∈R) 故答案为：3x (x ∈R) 【答案】516【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】利用诱导公式，我们易将sin (5π6−x)+cos 2(π3−x)化为sin (x +π6)+sin 2(x +π6)，由已知中sin (x +π6)=14，代入计算可得结果． 【解答】∵ sin (x +π6)=14， ∴ sin (5π6−x)+cos 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+cos 2[π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+sin 2(x +π6)=14+116=516【答案】56【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】利用正方体的体积减去8个三棱锥的体积，求解即可． 【解答】在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8个三棱锥的体积为：8×13×12×12×12×12=16． 剩下的凸多面体的体积是1−16=56．【答案】9x −5y −6=0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】首先，根据光线从点(−1, 3)射向x 轴，得到(−1, 3)关于x 轴的对称点；然后根据反射后过点(4, 6)，列两点式，化简即为直线方程． 【解答】解：根据题意：(−1, 3)关于x 轴的对称点为(−1, −3) 而直线又过(4, 6) ∴ 其直线为：y +39=x +15即：9x −5y −6=0故答案为：9x −5y −6=0三、解答题：本大题共6小题，共70分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】解：∵ cos α=−45，α∈(π, 3π2)， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−34tan α=sin αcos α=34∴ tan (α+π4)=tan α+tanπ41−tan αtanπ4=34+11−34=7【考点】两角和与差的正切公式 【解析】根据同角三角函数关系sin 2α+cos 2α=1求出sin α，进而得出tan α，再根据两角和与差公式求出结果． 【解答】解：∵ cos α=−45，α∈(π, 3π2)，∴sinα=−√1−cos2α=−34tanα=sinαcosα=34∴tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=34+11−34=7【答案】解：(1)∵直线l经过两点(2, 1)，(6, 3)，∴直线l的斜率k=3−16−2=12，∴所求直线的方程为y−1=12(x−2)，即直线l的方程为x−2y=0．(2)由(1)知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为(2a, a)，∵圆C与x轴相切于(2, 0)点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，∴圆心坐标为(2, 1)，半径r=1，(x−2)2+(y−1)2=1，∴圆C的方程为x2+y2−4x−2y+4=0．【考点】圆的切线方程圆的一般方程直线的点斜式方程【解析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：(1)∵直线l经过两点(2, 1)，(6, 3)，∴直线l的斜率k=3−16−2=12，∴所求直线的方程为y−1=12(x−2)，即直线l的方程为x−2y=0．(2)由(1)知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为(2a, a)，∵圆C与x轴相切于(2, 0)点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，∴圆心坐标为(2, 1)，半径r=1，(x−2)2+(y−1)2=1，∴圆C的方程为x2+y2−4x−2y+4=0．【答案】（1）解：连接AD1，D1C，则∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形∴AD1 // BC1，∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，∵△AD1C是等边三角形，∴直线BC1与AC所成的角为60∘；（2）解：∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中，tan∠D1DB=√2=√22∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为√22；（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴DD1⊥AC∵BD⊥AC，BD∩DD1=D∴AC⊥平面BD1D∵AC⊂平面ACA1，∴平面ACA1⊥平面BD1D−−−−−−【考点】平面与平面垂直的判定异面直线及其所成的角直线与平面所成的角【解析】（1）连接AD1，D1C，证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，即可求得结论；（2）利用DD1⊥平面ABCD，可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，利用正切函数可得结论；（3）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D．【解答】（1）解：连接AD1，D1C，则∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形∴AD1 // BC1，∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，∵△AD1C是等边三角形，∴直线BC1与AC所成的角为60∘；（2）解：∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B 与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中，tan∠D1DB=2=√22∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为√22；（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD ∴DD1⊥AC∵BD⊥AC，BD∩DD1=D∴AC⊥平面BD1D∵AC⊂平面ACA1，∴平面ACA1⊥平面BD1D−−−−−−【答案】解：（1）由题意可知：y={(t+20)(−t+40),(0<t<25,t∈N+)(−t+100)(−t+40),(25≤t≤30,t∈N+)．即y={−t2+20t+800amp;(0<t<25,t∈N+)t2−140t+4000amp;(25≤t≤30,t∈N+)（2）当0<t<25，t∈N+时，y=(t+20)(−t+40)=−t2+20t+800=−(t−10)2+900．∴t=10（天）时，y max=900（元），当25≤t≤30，t∈N+时，y=(−t+100)(−t+40)=t2−140t+4000=(t−70)2−900，而y=(t−70)2−900，在t∈[25, 30]时，函数递减．∴t=25（天）时，y max=1125（元）．∵1125>900，∴y max=1125（元）．故所求日销售金额的最大值为1125元，且在最近30天中的第25天日销售额最大．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质函数的最值及其几何意义【解析】（1）在解答时，应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论即可获得日销售金额y 关于时间t的函数关系式；（2）根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．【解答】解：（1）由题意可知：y={(t+20)(−t+40),(0<t<25,t∈N+)(−t+100)(−t+40),(25≤t≤30,t∈N+)．即y={−t2+20t+800amp;(0<t<25,t∈N+)t2−140t+4000amp;(25≤t≤30,t∈N+)（2）当0<t<25，t∈N+时，y=(t+20)(−t+40)=−t2+20t+800=−(t−10)2+900．∴t=10（天）时，y max=900（元），当25≤t≤30，t∈N+时，y=(−t+100)(−t+40)=t2−140t+4000=(t−70)2−900，而y=(t−70)2−900，在t∈[25, 30]时，函数递减．∴t=25（天）时，y max=1125（元）．∵1125>900，∴y max=1125（元）．故所求日销售金额的最大值为1125元，且在最近30天中的第25天日销售额最大．【答案】解：（1）∵a→ // b→，a→=(sin x,−1)，b→=(cos x,32)∴32sin x+cos x=0…∴tan x=−23…∴cos2x−3sin2x=cos2x−6sin x cos xsin2x+cos2x=1−6tan x1+tan2x=1−6×(−23)1+(−23)2=1+41+49=5139=4513（2）∵a→=(sin x,−1)，b→=(cos x,32)∴a→+b→=(sin x+cos x,12)…∴f(x)=(a→+b→)⋅b→=(sin x+cos x)cos x+34=12(sin2x+cos2x)+54=√22sin(2x+π4)+54…∴最小正周期为π…由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，得kπ−38π≤x≤kπ+π8故f(x)的单调递增区间为[kπ−38π，kπ+π8]k∈Z…【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量数量积的运算【解析】（1）利用向量共线的条件，可得tan x=−23，再将所求式化为tan x的函数，即可求得结论；（2）求出a→+b→=(sin x+cos x,12)，利用向量的数量积运算，并化简函数，即可求得函数的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（1）∵a→ // b→，a→=(sin x,−1)，b→=(cos x,32)∴32sin x+cos x=0…∴tan x=−23…∴cos2x−3sin2x=cos2x−6sin x cos xsin2x+cos2x=1−6tan x1+tan2x=1−6×(−23)1+(−23)2=1+41+49=5139=4513（2）∵ a →=(sin x,−1)，b →=(cos x,32) ∴ a →+b →=(sin x +cos x,12)…∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=(sin x +cos x)cos x +34=12(sin 2x +cos 2x)+54=√22sin (2x +π4)+54…∴ 最小正周期为π…由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2，得kπ−38π≤x ≤kπ+π8 故f(x)的单调递增区间为[kπ−38π，kπ+π8]k ∈Z … 【答案】∵ 圆C 过原点O ， ∴ OC 2=t 2+4t 2，设圆C 的方程是(x −t)2+(y −2t )2=t 2+4t 2， 令x ＝0，得y 1=0,y 2=4t ，令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴ S △OAB =12OA ×OB =12×|4t|×|2t|=4，即：△OAB 的面积为定值； ∵ OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴ OC 垂直平分线段MN ， ∵ k MN ＝−2，∴ k oc =12， ∴ 直线OC 的方程是y =12x ，∴ 2t =12t ，解得：t ＝2或t ＝−2，当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2, 1)，OC =√5， 此时C 到直线y ＝−2x +4的距离d =√5<√5， 圆C 与直线y ＝−2x +4相交于两点，当t ＝−2时，圆心C 的坐标为(−2, −1)，OC =√5， 此时C 到直线y ＝−2x +4的距离d =√5>√5，圆C 与直线y ＝−2x +4不相交， ∴ t ＝−2不符合题意舍去，∴ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2＝5． 【考点】直线与圆的位置关系 直线的截距式方程圆的标准方程【解析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A 、B 的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC 的方程，解出t 的值，直线y ＝−2x +4与圆C 交于点M ，N ，判断t 是否符合要求，可得圆的方程． 【解答】∵ 圆C 过原点O ， ∴ OC 2=t 2+4t 2，设圆C 的方程是(x −t)2+(y −2t )2=t 2+4t 2， 令x ＝0，得y 1=0,y 2=4t ， 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴ S △OAB =12OA ×OB =12×|4t |×|2t|=4， 即：△OAB 的面积为定值；∵ OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴ OC 垂直平分线段MN ， ∵ k MN ＝−2，∴ k oc =12， ∴ 直线OC 的方程是y =12x ，∴ 2t=12t ，解得：t ＝2或t ＝−2，当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2, 1)，OC =√5， 此时C 到直线y ＝−2x +4的距离d =√5<√5，圆C 与直线y ＝−2x +4相交于两点，当t ＝−2时，圆心C 的坐标为(−2, −1)，OC =√5， 此时C 到直线y ＝−2x +4的距离d =√5>√5，圆C 与直线y ＝−2x +4不相交，∴ t ＝−2不符合题意舍去，∴ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2＝5．。
