2019高考数学文一轮分层演练：第7章不等式 第2讲 Word版含解析

§不等关系与不等式最新考纲考情考向分析.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系..了解不等式(组)的实际背景. 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.．两个实数比较大小的方法()作差法 (，∈)()作商法 (∈，>)．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性>⇔<⇔传递性>，>⇒>⇒可加性>⇔＋>＋⇔可乘性⇒>注意的符号⇒<同向可加性⇒＋>＋⇒同向同正可乘性⇒> ⇒可乘方性>>⇒>(∈，≥)，同为正数可开方性>>⇒>(∈，≥).不等式的一些常用性质()倒数的性质①>，>⇒<.②<<⇒<.③>><<⇒>.④<<<或<<<⇒<<.()有关分数的性质若>>，>，则①<；>(－>)．②>；<(－>)．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()两个实数，之间，有且只有>，＝，<三种关系中的一种．(√)()若>，则>.(×)()一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×) ()>>，>>⇒>.(√)()若>，则>⇔<.(√)题组二教材改编。

内容解读§7.5 不等式的综合应用考纲解读考点 要求高考示例 常考题型 预测热度不等式的综合应用能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域 ;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题 的方法2017 天津,8; 选择题掌握 2014 福建,13; 填空题2013 课标全国Ⅰ,11 解答题★★★分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考 热点.五年高考考点 不等式的综合应用1.(2017 天津,8,5 分)已知函数 f(x)=设 a∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是()A. B. C.[-2,2] D. 答案 A2.(2013 山东,12,5 分)设正实数 x,y,z 满足 x 2-3xy+4y 2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( ) A.0 B.1 C. D.3 答案 B3.(2013 课标全国Ⅰ,11,5 分)已知函数 f(x)=若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案 D4.(2014 福建,13,4 分)要制作一个容积为 4 m 3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案 160教师用书专用(5—6)5.(2014 辽宁,12,5 分)当 x∈[-2,1]时,不等式 ax 3-x 2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3] 答案 C6.(2013 湖南,20,13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM 1M 2M 3N 与路径 MN 1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区, 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修 建一个文化中心.(1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小.解析 设点 P 的坐标为(x,y).(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最 小值之和(记为 d)的最小值. ①当 y≥1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为 d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x -14|,(*)当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当 x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以 d 1(x)≥24,当且仅当 x=3 时,等号成立.d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当 y=1 时,等号成立.故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45.②当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d 1(x)≥24,故 d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立.综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点 不等式的综合应用1.(2018 四川南充一诊,7)若 0<m<1,则()A.log m (1+m)>log m (1-m)B.log m (1+m)>0C.1-m>(1+m)2D.(1-m>(1-m 答案 D2.(2017 湖南怀化一模,6)已知 x>0,y>0,+=,x+2y>m 2-2m 恒成立,则 m 的取值范围是()A.[-6,4]B.[-4,6]C.(-4,6)D.(-6,4) 答案 C3.(2016 广东实验中学第二次阶段考试,7)已知函数 f(x)=若对任意的 x∈R,不等式 f(x)≤m 2-m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )A. B.∪[1,+∞) C.[1,+∞) D. 答案 B4.(2018 辽宁鞍山第一中学上学期第二次模拟考试(期中),15)函数 y=log a (x+4)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定 点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则+的最小值为 . 答案 5+25.(2018 四川泸州第一中学第一次诊断性考试 ,15) 已知函数 f(x)=x,若 f(x-1)>f(x),则 x 的取值范围 是 . 答案6.(2017 安徽“江淮十校”第一次联考 ,16)对任意实数 x 均有 e 2x -(a-3)e x +4-3a>0,则实数 a 的取值范围 为 . 答案 a≤B 组 2016—2018 年模拟·提升题组(满分:35 分 时间:25 分钟)一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.(2018 吉林东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底,12)已知函数 f(x)=e x (x-b)(b∈R),若存在 x∈,使 得 f(x)+xf '(x)>0,则实数 b 的取值范围是( )A. B. C. D. 答案 A2.(2017 山东烟台一模,10)已知 f(x)=若不等式 f(x-1)≥f(x)对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的最大值为()A.-B.-1C.-D.1 答案 B3.(2017 安徽“江淮十校”第一次联考 ,12)设函数 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ,且 f(x)+g(x)=2x ,若对 x∈[1,2],不等式 af(x)+g(2x)≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.[-2,+∞)C.D. 答案 C4.(2017 江西金溪一中等期中联考,12)已知函数 f(x)=2x -5,g(x)=4x-x 2,给出下列三个命题: p 1:若 x∈R,则 f(x)f(-x)的最大值为 16;p 2:不等式 f(x)<g(x)的解集为集合{x|-1<x<3}的真子集;p 3:当 a>0 时,若∀ x 1,x 2∈[a,a+2],f(x 1)≥g(x 2)恒成立,则 a≥3. 那么,这三个命题中所有的真命题是( )A.p 1,p 2,p 3B.p 2,p 3C.p 1,p 2D.p 1 答案 A二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)5.(2018 四川成都第七中学一诊,16)设函数 f(x)=,g(x)=,对任意 x 1,x 2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数 k 的 取值范围是 . 答案 k≥6.(2018 广东广州华南师范大学附属中学高三综合测试(二),16)已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0, 对任意 x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称 f(x)为 F 函数.给出下列函数: ①f(x)=x 2;②f(x)=sin x+cos x; ③f(x)=;④f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x 1,x 2 均有|f(x 1)-f(x 2)|≤2|x 1-x 2|.其中是 F 函数的序号为 . 答案 ③④7.(2017 湖北重点高中联合协作体期中,16)如果函数 f(x)在区间 D 上满足:∀ a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)为一个 三角形的三边长,则称 f(x)为“区间 D 上的三角形函数”.已知函数 f(x)=kx+2 是“[1,4]上的三角形函数”, 则实数 k 的取值范围是 . 答案C 组 2016—2018 年模拟·方法题组方法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题方法(2017 吉林长春三模,12)∀ x∈,23x ≤log a x+1 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.B. C. D. 答案 C。

名师对话2019届高考高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练(三十七)[基础巩固]一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.[答案] D2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋1x (x ≠0) B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D ．y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2017·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2 D ．4 2[解析] 因为2x >0,2y >0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x ＋2y≥22x·2y＝22x ＋y ＝42，当且仅当2x＝2y，即x ＝y ＝32时等号成立，故选D.[答案] D4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2＋2 2B ．3＋2 2C ．2D ．3[解析] 因为x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当x ＝2y ＝2－1时取等号．所以1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.故选B.[答案] B5．(2017·江西九江一中期中)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．9[解析] 不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，即不等式m ≤(2a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋2 2ab ·2ba ＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以m ≤9，m 的最大值等于9，故选D.[答案] D6．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q[解析] ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.[答案] B二、填空题7．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．[解析] ∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋2＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8(当且仅当b ＝2a ，即a ＝2，b ＝4时取等号)．[答案] 88．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是________．[解析] 根据基本不等式知a 2＋b 2>2ab (b >a >0)，因为b >a >0，且a ＋b ＝1，所以b >12>a .因为b －a 2－b 2＝b (a ＋b )－a 2－b 2＝a (b －a )>0，所以12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是b .[答案] b9．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 本题考查基本不等式及其应用． 设总费用为y 万元，则y ＝600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240.当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时，等号成立． [答案] 30 三、解答题10．(1)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.(2)设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． (2)∵1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．又2ab ＋ab ≥22，当且仅当ab ＝2时取等号，∴1a 2＋1b 2＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，ab ＝2，即a ＝b ＝42时取等号．[能力提升]11．(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适[解析] 设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升．甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y2，乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xy x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy 4xy >4xy 4xy ＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案] B12．(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，且不等式x ＋y 2<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－4,1)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)[解析] x ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝2＋y 2x ＋2xy ≥2＋2y 2x ·2xy ＝4.当且仅当y 2x ＝2x y ，即y ＝2x 时等号成立，所以x ＋y 2最小值为4.因为x ＋y 2<m 2－3m 有解，所以m 2－3m >4.解得m <－1或m >4.故选C.[答案] C13．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．[解析] 因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0, 则0<y <4，所以x ＋y ＝4－yy ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．[答案] 26－314．(2017·四川资阳期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增．因为不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数得m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t .因为t ＋2t ≥2t ·2t ＝22(当且仅当t ＝2时取等号)，所以m <－ 2.[答案] (－∞，－2)15．(2017·河北唐山一模)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．[解] (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 16．某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x 台(x 为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7800元．(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数关系式； (2)若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？[解] (1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k ，则y ＝360x ×300＋k (3000×x )＝108000x ＋3000kx .又当x ＝20时，y ＝7800，代入可得k ＝0.04.故所求y 关于x 的函数关系式为y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．(2)由(1)知，y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．根据基本不等式可得，y ＝108000x ＋120x ≥2108000x ×120x ＝2×3600＝7200，当且仅当108000x ＝120x ，即x ＝30时，等号成立．故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7200元，此时资金够用．[延伸拓展](2017·内蒙古包头二模)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256[解析] 解法一(常数代换法)：设数列{a n }的公比为q (q >0)，由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立．所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ， 又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.故1m ＋4n ＝1m ＋46－m ＝6－m ＋4m m (6－m )＝3(m ＋2)m (6－m )＝3m (6－m )m ＋2＝－3[(m ＋2)－2][(m ＋2)－8]m ＋2＝－3(m ＋2)＋16m ＋2－10. 由基本不等式可得(m ＋2)＋16m ＋2－10≥2(m ＋2)×16m ＋2－10＝－2(当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立)，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0， 所以1m ＋4n ≥－3－2＝32.故选A.[答案] A。

[学生用书P243(单独成册)]一、选择题1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B ．R C ．⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C.因为不等式(x －2)(2x －3)<0，解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式－2x 2＋x <－3的解集为( ) A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32 C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－32或x >1 D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32 解析：选D.－2x 2＋x <－3，即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32. 3．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13<x <12B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <13 C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－13或x >12 D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－12或x >13 解析：选C.由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3，2，于是⎩⎨⎧－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30. 则不等式bx 2－5x ＋a >0，即为30x 2－5x －5>0， 即(3x ＋1)(2x －1)>0，⇒x <－13或x >12.故选C.4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，2) 解析：选A.因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B.原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)解析：选A.不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以g (x )<g (4)＝－2，所以a <－2，故选A.二、填空题7．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)9．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 答案：610．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以(a－2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案：32三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754. 因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12， 故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512， 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 12．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a <2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a 或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2.。