第一讲补充材料幻方
注补充内容要跟据自己班的情况进行补充，只供参考 经典精讲
1、幻方是指横行、竖行、对角线上数的和相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方,55? 称作五级幻方……
如图为三级幻方、四阶幻方的标准式样，
8
16357
4
92
0 三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖行、对角线上数和的三分之一。
解决数表类问题中，首先要找到数填写的规律，再从规律中找到数量关系，从而找到解决问题的关键。
【小故事】（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有9大块，横着数3件，数着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思。一次，大乌龟又从河里爬出来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些小点点无论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不在泛滥了。这个神奇的图案叫做‘幻方’，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”这个相等的和叫做“幻和”“洛书”就是幻和为15的三阶幻方。如下图：
【铺垫】33?的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列对角线上的三角数的和相等（请给出至少一种填法）
【分析】（法一）第一步：求幻和：（1+2+3+…++9）315÷=
第二步：求中心数；我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了
对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和
?=，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各是幻和的4倍，即15460
÷=
用一次，所以中心数应是：（60-45）35
第三步：确定四个角上的数。
第四步：用尝试法填一个其本解，以基本解为基础，棵绕中心旋转与对调得到其他各解，共八解，如图为其中两解。其余请学生自己解决：
（法2）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：
（1）每一个数放在前一个数的右上一格；
（2）如果这个数所有要放的已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列。
（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
（4）如果这个数所要放的格已经填好了其他数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：
罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连。上出框时往左填。排重便在下格填，右上排重一个样。
（法3）对易法：南宋数学家杨辉概括为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。即:先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了。
【小知识】我国北周时期的数学家甄鸾《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，，左三右七，戴九履一，五局中央，”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；”二七六郎赏月半，周围十五月圆，”
以下选讲内容
【例1】 构造一个八阶幻方：在88? 的方阵中填入1~64，使每行每列及两条对角线上
的8个数字之和都相等。
【分析】对于偶数阶幻方的构造略复杂一点，偶数阶幻方分为两类：双偶数阶幻方，即阶数是4的倍数的数；单偶数阶幻方，即阶数是2的倍数但不是4的倍数。
构造双偶数阶幻方有一种简单而有趣的方法，叫做对称法。其构造方法如下：
① 把88?得方阵分成上、下、左、右四个44?的小方阵；
② 在每个44?的小方阵中都画上2个对角线，如图1；
③ 按从上到下、从左到右得次序在方阵中填入1到64，但只填对角线不穿过的方格。凡有
对角线通过的方格则跳过，如图2；
④ 最后，按自下而上、从右到左的相反方向重复③的过程，但这次只填对角线穿过的方格，
而跳过对角线经过的方格（因此这些方格中已有数字），如图3.
此时整个方阵填入的数正好是1~64，而且形成一个幻方。
在幻方构造法的研究中，奇数幻方和双偶数幻方的构造法早就有了很多成果，而对但偶数阶段幻方，人们长期没能找到一种有效地构造方法。直到数学家不屑的努力，才发明构造单偶数阶幻方的一般方法，但是这种方法所需要的数学知识比较广泛，我们将在高年级的学习中介绍。
九数之和+中心方格中的数3?= 4k ，
3k +中心方格中的数3?= 4k ，
中心方格的数=3k ÷
注意：例题中对九个数及定数k 都没有特殊要求。这个结论对求解33?方格中的数阵问题很实用。
【巩固】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.
【分析】（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为243÷=8.
（2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16
（3）按上述条件进行估算后填出，然后在进行调整即可得正确的答案。
【例2】 将九个数填入下图空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都
相等，证明：()2c a b =+÷
【分析】设中心数为d （如右上图），因此每行、每列以及对角线上的三个数之和都等于3d 第一行中间的数为2d b -，右下角的数为2d c -。根据第一行和第三列可求出右上图中*的数，由此可得：
3(2)3(2)d c d b d a d c ---=---
3232d c d b d a d c --+=--+
d c b d a c -+=-+
2c a b =+
所以()2c a b =+÷
【拓展】在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于90.
【分析】中心数=90330÷=，又由()2c a b =+÷知第一行第三列的数为（23+57）÷2=40，2d b -知第一行第二列的数是302573?-=；第一行第一列的数是90-40-3=47；第二行第三列的数是90-23-30=37；第三行第一列的数是90-47-23=20；第三行第三列的数是90-20-57=13，所以答案见右上图。
课程目标： 1、掌握幻方、幻和定义。 2、熟练灵活（杨辉法、罗伯法、比较法）构建三阶幻方。 3、了解多阶幻方及幻方的神奇应用。 把10—14这五个数字分别填在下图的○中，使得每条直线上的三个数字之和相等。 说说你的方法 在空格里填上不同的数，使横行、竖列、斜行三个数相加的和都得15。 2 3 5
说说你的方法、发现 v幻方:像这样行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图称为幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。这些相等的和叫做幻和。 v是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括两条对角线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。 v这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n阶幻方。（三阶幻方、四阶幻方……） 这是一个神奇的图形（课件出示应用） 幻方分类（课件出示） 三阶幻方构建方法 三阶幻方的构成方法（不唯一）（黑板动态演示） （1）九子斜排上下对易 左右更替四维突出 （2）画格辅助九子斜排 送子回家清除辅助
在空格里填上不同的数，使横行、竖列、斜行三个数相加的和都得18。 1、 用3，6，9，12，15，18，21，24，27这9个数构建一个三阶幻方. 2、用7，14，21，28，35，42，49，56，63这9个数构建一个三阶幻方. 板示三个幻方，让学生找规律并提问。 三阶幻方性质： 1、幻和=3A 2、行、列、对角线上的三个数构成等差数列 3、b+c=2a 9 8 6 a A c b
4．（1）请完成左下图中的三阶幻方. （2）在图中每个空格内填入一个数，使得每行每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于27 4．（1）请完成左下图中的三阶幻方. （2）已知右下图这个幻方的幻和等于30，这个幻方中最大的数是多少？ 幻和应用 2. 在如图4*4的方格表中填入恰当的数，使得每行，每列，每条对角线上的所填数之和都相等， 5 6 8 12 8 7 9 6 7 11 7 12 14 2 13 11 16 10 9
说到幻方和九宫数大多数人都不陌生，在金庸先生著名的武侠小说《射雕英雄传》中就有郭靖在黄蓉的指导下为英姑指点九宫数的排列：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”想必各位朋友也都玩过这个数字游戏，但对幻方又了解多少呢？ 500){this.resized=true;this.style.width=500;}" border=0> 幻方又称为纵横图、魔方、魔阵或奇平方，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自然数按照一种的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。 500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数。这九个数就可以组成一个纵横图，也就是记载最早的3阶幻方。
500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，对于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。 除此之外，还有4阶、5阶...
课题：幻方 教学容：课本第83、84、85页 教学目标： 1)初步认识幻方。 2)能够正确计算出九宫格中8个三数之和，能通过尝试、调整寻找答案。 3)能够探究关系，能灵巧地计算。 教学重点：能够正确计算出九宫格中8个三数之和，能通过尝试、调整寻找答案。 教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。 教学过程： 一、创设情境，引入课题。 1、通过“河图洛书”的传说创设情境。 教师：相传，公元前三千多年前，有条洛河经常发大水，当时的皇帝夏禹带领百姓去治水，这时从洛水中浮出一只神龟，背上有奇特的图案，看，龟背上的图案是什么意思呢？（展示乌龟图片） 学生：有圆点，有表示数的点… 教师：人们后来把这乌龟背上的图案叫做“洛书”。 2、揭秘“洛书”所蕴涵的数学意义，引入主题。 教师：你们想了解这“洛书”上还隐藏着什么密码吗？ 教师：现在老师将这些图案放在一个3 3 的表格里，于是，我们就得到了如下的方阵。（展示方阵） 二、新课探索。 1、观察讨论幻方的特征并给出定义。
教师：请同学们仔细观察这个方阵，你能发现什么吗？（展开讨论） 特征①：容易发现的是：方阵是由1到9的数字组成。 （板书“由1到9的数字组成”。） 特征②：通过计算，容易发现每行、每列的和是15；可能会遗漏对角线，此时教师提醒学生计算对角线之和。 （板书“每行、每列以及两条对角线的和都等于15”） 教师：像这样每行、每列以及两条对角线的和都相等的方阵我们叫做幻方。 2、练习：判断下列两个方阵是否为幻方？ 说明：直接根据每行、每列以及两条对角线的和都是15的特征来判断，只要找出一组和不是15的即可。 3、进一步探索幻方的特征。 展示幻方
北师大版七年级数学(上) 《截一个几何体》教学设计 陕西汉中西乡三中白自宝 学习目标：1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。通过运用z+z智能教育平台制作的课件使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。2、解决问题：丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心 重点与难点：重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 教法指导1、观察猜想培养学生观察想象的能力，通过观察生活中丰富的图片,联想这些截面图形与实际立体图形之间的关系，发展抽象概括能力和几何直觉。2、合作交流培养学生自主探究、主动与他人合作交流的能力，鼓励学生大胆阐述自己的观点。3、操作实验培养学生动手操作的能力，采用操作法可以大大激发学生的学习兴趣，这一方法也是适应新课标中所提出的：提高学生的动手操作能力的要求。4、说应用信息技术的依据和考虑：本节课的主要活动内容是利用一个平面对正方体进行切截，从活动中去体会空间几何体与截面的关系，寻找出截面产生的规律并能利用规律来解决实际问题，教学中首先利用实物来进行切截活动，学生会在多次的切截中得到一定的截面图形，但无法体会截面的产生和变化的整个过程，很难从实物切截活动中寻找出规律。 针对以上利用实物操作的不足，有针对性地设计了观看多媒体课件下的切截活动，让学生观看教师制作的课件对正方体进行多次的切截，让学生在观看过程中体会截面产生和变化的整个过程，发现截面产生和变化的规律。在课件设计中利用空间图形的动画，方
1 三阶幻方 学习目标: 1、对幻方有初步了解，认识三阶幻方的结构和特征。 2、掌握连续自然数填写三阶幻方的方法。 3、掌握幻和与中心数的数量关系并能灵活运用。 教学重点: 1、掌握连续自然数填写三阶幻方的方法。 2、掌握幻和与中心数的数量关系并能灵活运用。 教学难点： 掌握幻和与中心数的数量关系并能灵活运用。 教学过程： 一、情景体验 在公元前三千多年，洛水经常泛滥成灾，夏禹带领大家去治水。这时，在洛水中浮起一只大龟，龟背上有奇特的图案，称为“洛书”，这个龟就叫它“洛书龟”。聪明的古人已经破译了洛书龟背上神秘莫测的图案。（请学生观察。) 师：这幅图由几组圆点组成的？每组圆点上的个数一样吗？ 生：不一样。 师：那我们一起来看看每组各有几个圆点呢？ 师：把每组圆点的个数对应写出，然后画出一个三行三列的表格。 这个就是我们今天要学的三阶幻方（板书标题）。 幻方定义：在一个正方形的表格里填上一些数，使每一行每一列及两条对角线上的数的和相等，这样的图标叫做幻方。 这里所填的幻方是一个三行三列的表格，所以叫做三阶幻方。 二、思维探索 展示例1 例1：请你将1-9这九个数字填在方格里，使每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等。
师：根据神龟背上的图案我们可以填出一种，每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等，都等于多少？ 生：都等于15. 师：对，这个相等的和叫做幻和。这九个数的和与15有怎样的数量关系呢？ 生1：有三行，每行的和都是15，所以九个数的和=15×3 生:2：九个数的和是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45÷3=15. 师：很好！也就是说：幻和=九个数之和÷3 师：除了神龟身上的这种填写方法，你还能有其它填法吗？ （学生尝试填写，完成后再黑板上呈现不同的填写方法） …… 师：观察这几种填法，这个方格正中间的数就是中心数，中心数有什么特点？ 生：都是5 师：中心数与幻和之间有怎样的数量关系呢？ 生：幻和=中心数×3 师：对，5是这连续九个数中的第几个数呢？ 生：5是这连续九个数中的第5个数 师：以第2种填法为例，我们一起看看其它的几个数分别在什么位置。 师引导学生观察并总结 1、三阶幻方口诀： 二四为肩，六八为足；上九下一，左七右三，五居中间 2、相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数 三、思维拓展 展示例2 例2：将7—15九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。
七年级上计算练习 1．计算 （1）3+（﹣1）﹣（﹣5） （2）+（﹣3）2 ×（﹣） 2．计算： （1）（-8）×5-40=_____； （2）（-1．2）÷（-1 3 ）-（-2）=______． 3．[(x+y)2－(x －y)2－4x 2y 2]÷(2xy) 4．若22 218160x x y y +++-+=，求x y 的值． 5．计算：﹣12 +3×（﹣2）3 ﹣（﹣6）÷（﹣）2 ． 1512412246??--? ??? 6．计算：－20+（－14）－（－18）－13
7．计算题： （1）24+（-14）+（-16）+8 （2）33 (2)()424-?÷-? （3）21114()(60)31215- -?- （4）421 1(10.5)[2(3)]3 ---??-- 8．有理数混合运算 （1）-32 -[8÷（-2）3 -1]+3÷2×12； （2）（-2）3 -6÷（12-13）-36×（-12-518+56 ）． （3）254(7)(6)-+--+- 9．解方程： （1）4(0.5)17x x ++= （2）2151 136 x x +--=
10． 计算：（1）) 9()3(15252-÷-+??? ??- ?- （2） （+16）+（-25）+（+24）+（-32） （3）)9()5()21()10(-+--+-- （4） （-4）-（-1）+（-6）÷2． 11．计算：（本题共12分，每小题3分） （1）（＋3）＋（－5） －4－（－2）； （2）251×（－61）×113÷54 （3）（61＋31－2 1）÷（－181）； （4）4 32)3(--÷2014)1(716-+． 12．计算：（1）72÷（﹣2）3 +（﹣）2 ×32﹣（﹣3）×4． （2）-22 ×7-6÷(-3)+5
第一讲魔方起源 一、河图洛书 《易传·系辞》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。传说距今七八千年前的伏羲时代，一龙马从黄河跃出，其身刻有“一六居下，二七居上，三八居左，四九居右”的数字，此为河图。今河南洛阳孟津老城西北之负图寺（亦名伏羲庙），据说为当年“龙马负图”之处。 大禹治水时，一神龟从洛河爬出，背上的数字排列为“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央”，这就是洛书，如图1所示。今河南洛宁洛河岸边西长水村旁，有“洛出书处”的古碑，据说为当年“神龟贡书”之处。河图洛书奇妙地组合排列了9个基本数字，涵盖了自然界周期性和对称性的特征，反映出东方哲学思想的精髓。 2001年8月8日新华社报道，在安徽凌家滩出土的一块玉片和一只玉龟，经测定制作于五千三百年前的新石器时代。二者紧紧叠压在一起，形象是龟托着玉。玉龟分背甲和腹甲，由孔和暗槽相连。玉片呈长方形，正面刻有两个同心圆，小圆内刻有方心八角星纹；大圆对着长方形的四角各刻有一圭形纹饰；两圆之间被平分为八等份，每等份雕刻一圭形纹饰。这与文献记载中的“河图洛书”相吻合。有关“龟背图”的传说较早记载于春秋时期的《尚书》，说的是远古的一天，一只大龟驮着洛书出现在中国北方的洛河。河图洛书后来成为《周易》最主要的来源之一。 二、洛书走入数学 1977年，在我国安徽省阜阳地区出土了一件汉代文物，称为“太乙九宫占盘”，如图2所示。其实盘上的图就是洛书，据此，洛书可简化为图3的形式，称为九宫图。由于古人给洛书赋予了浓厚的神话色彩，从而引起了后人对九宫图的极大兴趣，作了大量的研究，其结果形成了中国古代数学的重要内容—幻方。最早把九宫图引入数学的，是汉代（公元2世纪）的徐岳。徐岳在他的《数术记遗》中讲到14种算法，其中之一是九宫算：“九宫算，五行参数，犹如循环”。 到了北周（公元557年），甄鸾在《数术记遗》对九宫图算作了一段注释：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。这段话和前面关于洛书的传说是一致的。从此以后，洛书在数学上就被称作九宫图了。奇怪的是，自汉代徐岳把洛书引入到数学后，除北周甄鸾的注解外，再无人问津。这种局面一直持续到宋代（公元13世纪），沉默了700多年。这种沉默绝不是偶然的，与这一时期洛书的失传有关。
数阶幻方的编排方法． 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。 利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。 二、罗伯法 请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1； 2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边； 3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1） 4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把 5、6依次按斜上方向填入方格内； 5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。 重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H 完全相同。 这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？” 为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话： 1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。 罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。 三、巴舍法
幻方 教学目标： 1、让学生初步认识幻方，了解幻方的特征并能运用幻方的特征。让学生经历一个探究的过程。 2、感受中国古代文化的博大精深。 教学重点：发现幻方的特征。 教学难点：运用幻方的特征，判断一个九宫格是不是幻方，填缺数。 教学过程： 一、导入 师：大家喜欢听故事吗？我们来听一个故事。 （媒体播放）在很久很久以前，有条洛河经常发大水，当时的皇帝夏禹带领人们去治水，…… 师：今天这节课我们就来研究这个图案的奇特之处。 二．新课 （一）出示点子图 1、大家先来看看这个图案，请仔细观察说说你都看见了什么？ 2、出示九宫格框住点子图 老师用表格的形式把这些点子图框起来了，因为一共有9个格子，所以我们称之为九宫格。 （二）抽象成数字九宫格 1、九宫格的每个格子里这些点点，数起来挺麻烦的，能不能用我们学过的什么来代替呢？ 2、跟老师一起把点子图变成数字。 3、师：现在都变成我们熟悉的数字了，故事里面说了这是一幅奇特的图案，那么它奇妙在哪里？同学们想知道吗？我相信小朋友是很聪明的，你们一定能通过自己的努力找到这个奇特之处的，有信心吗？ （三）出示P.83幻方图，引导学生说出幻方的主要特征：幻和相等。 （1）先让我们仔细观察这个图案，这里一共有几个数字。有几个什么数字？按顺序说出来。
根据学生回答教师板书，再提问：有没有一个数字是重复出现两次的？没有出现两次的，就叫不重复。板书不重复。 （2）刚才我们用眼睛看，现在我们动笔算算，看看你还能发现什么哪些特征。（请小朋友计算书上P.83算一算） 希望学生回答，三个数加起来是15，两端的数加起来等于10。当学生说出答案时，要进行验证，整理和归纳。如果学生说出局部，要引导说出全部。如果学生说的已经很完整了，让别的学生再验证，加深印象。 师小结：能不能用一句话把八句话的意思都表达出来吗？（每行，每列，每条对角线的和都是15，）像有这样特征的我们就叫做幻方。（板书课题：幻方）三．练习 1、根据幻方的特征判断练习。 出示P.84两个九宫格让学生判断是否是幻方，让学生说出理由，为什么不是幻方。 2、根据幻方的特征做选择练习。P.85、3 老师告诉你们下面这一题里面肯定能找到幻方，但是只有一个幻方，看谁能最快找到它，用手势表示它的序号。 3、再出示四幅幻方图，经过比较，得到共性。 （将上题中不是幻方的改成幻方）这几个幻方通过比较你还能发现什么共同点呢，我们一起来找一找。 让小朋友四人一组讨论交流得出结论。 引导学生得出：1、5都在正中间 2、双数都在角上，单数都在中间。 4、根据幻方的特征做填数练习。 游戏：拯救小动物 要讲解填数的策略。 知识的拓展
数 学 试 卷 北 师 大 版 七 年 级 上 册 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1．－2 1的相反数是（ ） A ．2 B ．－2 C ．2 1 D ．－2 1 2．下列式子正确的是（ ） A ．－0.1＞－0.01 B ．—1＞0 C ． 21＜3 1 D ．－5＜3 3． 沿图1中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的 （ ） A B C D 图1 4．多项式12 ++xy xy 是（ ） A ．二次二项式 B ．二次三项式 C ．三次二项式 D ．三次三项式 5．桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出图3右边的四幅图，从左至右分别是由哪个同学看到的（ ） A ．①②③④ B ．①③②④ C ．②④①③ D ．④③①② 6．数a ，b 在数轴上的位置如图2所示，则b a +是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．都有可能 7． 每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它距地球的距离约为15000000 千米，将150000000千米用科学记数法表示为（ ） A ．0.15×9 10千米 B ．1.5×8 10千米 C ．15×7 10千米 D ．1.5×7 10千米 8．图5是某市一天的温度变化曲线图，通过该图可 知，下列说法错误的是（ ） A ．这天15点时的温度最高 B ．这天3点时的温度最低 C ．这天最高温度与最低温度的差是13℃ 温度/℃ 38 34 30 26 22 15 18 21 24 图3 图2
D ．这天21点时的温度是30℃ 9．一个正方体的侧面展开图如图4所示，用它围成的正方体只可能是（ ） 10．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可 以喝矿泉水（ ） A ．3瓶 B ．4瓶 C ．5瓶 D ．6瓶 二、细心填一填(每空3分，共30分) 11．5 2 xy -的系数是 。 12．某公园的成人单价是10元，儿童单价是4元。某旅行团有a 名成人和b 名儿童；则 旅行团的门票费用总和为 元。 13．已知(a ＋1)2＋|b －2|＝0，则1+ab 的值等于 。 14．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半， 如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是 米。 15．如图点A 、O 、B 在一条直线上，且∠AOC =50°，OD 平分∠AOC 、， 则图中∠BOD= 度。 16．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，式子|a|-|b|+|a+b|-|c-b|化简结果为________。 17.规定﹡是一种运算符号，且a b b a b a -=*，则3*2=___________ 18．如图：A 地和B 地之间途经C 、D 、E 、F 四个火车站，且相邻两站之间的距离各不相同，则售票员应准备_______种火车票． 19．用小立方块搭一几何体，使得它的从正面看和从上面看 形状图如图所示，这样的几何体最少要______个立方块，最 多要_______个立方块． 20．已知A=2x 2+3xy-2x-1，B=-x 2 +xy-1若3A ＋6B 的值与x 的 值无关，则y 的值_____。 三、对号入座（6分） 21．（1）把下列各整式填入相应圈里 ab ＋c ，2m ，ax 2＋c ，－ab 2c ，a, 0, － x 2 1 ，y ＋2． A O B C D O O O O A B C D 图4
幻方与数表 第六级上认识数阵图 ⑴放射型数阵图；⑵掌握三种类型数阵图的填法。 第七级下幻方与数表 ⑴认识幻方及其中心数，幻和等一些性质；⑵掌握准确构造或填补幻方的方法与技巧；⑶ 掌握数表填补的方法和技巧。 第八级上数列与数表综合㈠ ⑴系统巩固与数列数表有关的思路方法；⑵会求解综合性的数表问题；⑶熟练掌握周期法在数表问题中的运用；⑷初步掌握递推方法在数列与数表中的运用。 左边这个戴眼镜的男生叫铮铮，右边这个胖胖的男生叫昊昊。他们两个是很好的朋友，但是两个人的性格可是大不相同。铮铮学习好，喜欢看书，也因此早早就戴上了眼镜。铮铮的绝招就是可以模仿柯南制造眼镜闪光纪录是连续眼镜闪光200次，闪晕同班17名同学！昊昊很喜欢吃东西，别看他胖胖的，却很喜欢运动。 昊昊也有一个很大的缺点，就是粗心大意。昊昊也曾经创下出家门以后连续9次回家去取落下的东西的纪录！ 他先后把铅笔盒、笔记本、作业、书包、饭盒…忘在家里。看了这些介绍，同学们是不是很想知道在铮铮和昊昊身上都发生过什么事情呢？下一讲里，我们将继续介绍他们的一个好朋友。关于他们的故事，以后还多着呢！ 上面这个女孩名字叫做包包，至于为什么叫做包包不是因为她可爱，而是因为她的头上“长
了”两个包，虽然是一个非常聪明乖巧的女孩，偶尔也会做一些意义不明的事情，比如她曾经偷拿了老师的印章往自己身上狂盖…作为一名很有主见的女生，包包人生中的一大乐趣就是和铮铮斗嘴，和铮铮昊昊不同，包包是一个非常非常“正常”的人。 将20以内除数1以外的所有奇数编成一个3阶幻方。 请将2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。(只要构造出一种) (2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级)在如图所示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的每 一行、每一列、两 条对角线上的数字之和都相等。请问这5个数字之和是_____。 (2007年12月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛)如图，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。要求写出关键的解题推理过程。 例4 例3 例2 例1
《探寻神奇的幻方》（1）教学设计 甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校闫治春 一、教材分析 《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析 学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。 本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析 《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，
神奇的幻方 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
幻方 教学目标： 1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。 2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 3.培养自主探究的能力和团结协作的能力。 教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。 教具准备：课件、学习单 教学过程： 一. 故事引入 （大禹治水的故事） 师：今天又要学习新本领了，在学新本领之前，老师请大家先听一个故事（媒体） 【策略说明：数学是来源于生活的。故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。】 二、探究新知 （一）认识幻方 1.从乌龟背上的9种花点图案引到九宫图。 师：这张就是洛书（出示），洛书就是现在我们所说的幻方（出示），俗称“九宫 格” 师：观察一下洛书和幻方有什么区别
生：洛书是用点表示的，幻方是用数字来表示的。 师：哪个表示简单 生：用数字表示简单。 师：所以我们就用我们熟悉的啊拉伯数字把洛书的点数用数字表示出来就形成了 这样一张幻方。 师：今天我们就要来学习幻方 2．（出示1） 师：你看到了什么 生：1~9九个数字，三行，三列，两条对角线。 3.（出示2） 师：真棒，那么小朋友们仔细观察，你看懂了什么 生：要计算每行、每列、对角线三个数的和是多少。 师：4，9，2哪里来的3，5，7哪里来的8，5，2哪里来的 师：很好，那么我们把书翻到83页，一起来算一算 师：每行，每列，对角线的和都是多少呢 生：都是15。 师：你发现了什么 生：幻方每行，每列，对角线的和都是15。 师：像这样三行，三列，两条对角线的和都是15的，我们就把它称为和是 15的幻方。
《探寻神奇的幻方》教学设计 教学目标： 1、综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质； 2、通过观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验； 3、通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验； 4、进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。 教学重点：运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质。 教学难点：对问题中所蕴含的规律进行分析，发展数感。 教学过程：
角线上三个数的和都相等. 4 3 8 练习：在下图的空格里，填上合适的数，使横行、竖列及两条对角线上三个数的和都相等. 3 17 1 （2）中间数=幻和÷3. （3）b=(a+c)÷2 中间数=横行、竖行和对角 线剩余两数之和÷2 （4）C=(A+B)÷2 角数=对角两旁数的和÷2 示探究 的规律 第五、课堂小结本节课你有哪些收获和启发？ 基本知识： 1、填三阶幻方的方法：九宫图、 阶梯法 2、数的规律 思想方法： 1.数形结合． 2.分类讨论. 学生归纳总结，进一步明确 本节课的学习重点，引导学 生归纳本节的基本内容，让 学生及时小结，教师展示知 识并提炼本节课的数学思 想方法． Ppt展示 本节课 的教学 要点，便 于学生 掌握. 第六、达标检测1）将0、1、2、3、4、5、6、7、 8这九个数字做成三阶幻方，最 核心的位置数字是 ________________. 2）将-2、-1、0、1、2、3、4、5、 6这九个数填入九宫格里，使每 行、每列及两条对角线上三个数 学生独立完成，检测本节课 的学习情况 Ppt出示 题目 b c a
. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不
再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。
小学数学魔方教学设计 南安市溪南南侨小学课题名称：魔方兴趣小组活动方案由本校王教师对学生进行辅导，从而使学(来自:海达范文网:小学数学魔方教学设计)生对魔方产生浓厚兴趣，获取魔方的基础知识和基本技能，并使之对学生的学习态度、方法、价值取向等问题产生积极影响帮助学生在兴趣中学习，学习中快乐，快乐中自信，自信中进取1、进一步开发和发扬学生的创造性思维和动手能力、开发智力，提高学生的兴趣2、丰富学生的课外生活，通过活动的开展，使学生的思考能力大大加强，观察能力进一步提高3、学会团体合作精神二、活动宗旨：1.培养学生课外学习的兴趣，增强学生的动手能力2.增强学生学习的信心，并能取得更好的成绩3.全面推进素质教育，，培植学生个性特长的一项重要举措三、小组纪律：1、对所记住拼魔方的技能能及时了解掌握2、在教室里学习时，不得随便讲话3、不在培训时间做与教学无关的事情4、能及时清除遗留垃圾5、积极讨论，踊跃发言四、小组成员：1、由学生根据自己的兴趣爱好参加魔方兴趣小组学习2、培训成员：四年级、五年级、六年级学生五、培训时间：计划每周五下午：16：00——17：00六、培训地点：教室七、活动措施1、提高小组成员动手的能力在活动过程当中，不断摸索前进的道路，采取学生建议的方式提高活动效果，充分发挥学生的主观能动性，在一定程度上让学生辅
导学生，激发学生的竞争力和学习兴趣，使学生涉猎更广的知识面，从另一方面又充分的提高了学生的课外知识2、培养小组成员之间团结协作的能力发挥”小老师”的作用，激发学习兴趣在魔方实践中，教师由于各种原因不能兼顾到每一位学生，这时可以让一部分能力较强的学生充当”小老师”，对其他同学遇到的一些难题给予解答，互帮互助，共同学习学生当”小老师”改变了传统的师生间单向传递知识的方式，使学生由知识的被动接受转变为知识的传授者，发挥了学生的主体作用3、在活动过程中，要尊重学生的意见与建议，使其学到知识是活动的关键不要被一种模式所束缚，把握住学生的兴趣八、教学安排培训内容：第一周：魔方兴趣小组名单确定第二、三周：第一层;第四、五周：第二层;第六-十周：第三层；第十一-十七周：抓后进，练速度；第十七-十八周：比赛，评优活动过程：活动一、初谈魔方魔方，全称鲁毕克魔方，由瑞士人鲁毕克在1979年间发明现在魔方在中国的发展突飞猛进，我们中国的选手已经是好几项世界纪录的保持者，别看魔方只有26个小方块，变化可真是不少，魔方总的变化数为或者约等于·1019如果你一秒可以转3下魔方，不计重复，你也需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍欢迎新魔友加入到学校魔方班，要想学习提高水平的最好方法就是多和魔友交流切磋，你们很可能就是未
第一章丰富的图形世界 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、常见的几何体及其特点 长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形（正方形是特殊的长方形），正方体是特殊的长方体。 棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。 圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等的圆。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 圆锥：有一个底面和一个侧面（曲面）。侧面展开图是扇形，底面是圆。 球：由一个面（曲面）围成的几何体 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共 （n+2）个面；3n条棱，n条侧棱； 2n个顶点。 5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体： （1）用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 注意：①、正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形． ②、长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处． （2）用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况． （3）用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面，初中不予研究) （4）用平面去截球体，只能出现一种形状的截面——圆． （5）需要记住的要点： 7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
幻方的研究 作者姓名 学科专业 指导教师 培养院系
摘要 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。 关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares.
Abstract In a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map." This paper describes the origin and application solution magic square. Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4
幻方的起源 幻方的起源 幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。 幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。 幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓“横看成岭侧成峰”。《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。 《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。 幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，
幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起， 再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你 一共可以得到多少种填法？ 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道， 第1题