放缩法证明不等式

模型
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型： ； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩 为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 L n 1 (n N ) 2 2 2 2
* 2 2 2
证明
1 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 2) Q 2 (2n 1) 4n 4n 4n(n 1) 4 n 1 n
1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 (1 ) ( ) L ( 4 2 2 3 n 1 n 1 1 1 (1 ) 1 1 5 n 2 4 n 4 4
n
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要 先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不 多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项 相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相 消模型.
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
1 5 7 对 2 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 2 ， 3 4 n
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
1 那么变式 1 和变式 2 就显然成立. 对 2 的 3 种放缩方法体现了 n n 5 1 三种不同“境界” ，得到 2 的三个“上界” ，其中 最接近 3 k 1 k
用放缩法证明 数列中的不等式
张家界市第一中学 高三数学组
放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点 点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头 绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！

放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明的 需要，可对有关式子适当进行放大或缩小， 实现证明。例如：
• 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) • 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
• 这种证明方法,我们称之为放缩法。 • 放缩法的依据就是传递性。
放缩法 1、一般从不等式的结构形式可观
几个常用的一些放缩结论：
① a a m , b b m (0 a b.m 0) b bm a am
② n1 n 2 n3 n n1 n 2
③
1 n(n 1)
1 n2
1 n(n 1)
④ n n1 2 n n n1
⑤
2
1 2
2
n n1 n 2 n n n1
例 3已a,b 知 ,c,d R ,求 证
综 合 法 :已 知 条 件 ⇒⇒⇒ 结 论由因导果 分 析 法 :结 论 已 知 条 件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 综合分析法
（1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程 （2）“两边凑”
反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 间接证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
例2已知a,b是实数，求证:
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
ab a b法１：1ab Nhomakorabeaa 1b
证明：在 ab 0 时，显然成立.
当 ab 0时，左边
1 1 1
ab
1

利用放缩法证明数列不等式讲义姓名 班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和， 则可考虑使用放缩法证明不等式。

而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。

若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。

3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。

4.常见的放缩方法有：增加(减少)某些项； 增大(减少)分子(分母)； 增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)； 利用不等式的性质或重要不等式； 利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式： （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>=（3）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+，11n n n n -<+，212221n n n n +>- （4）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （5）111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== （6）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（7）2)n<≥(9)<<<=（11）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niia k=<∑（k为常数）；②形如1()niia f n=<∑；③形如1()niia f n=<∏；④形如1niia k=<∏（k为常数）.途径1.放缩为等差等差⨯1，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩例1：（1）求证：2131211222<++++n（2）求证：2222111171234n++++<途径2：放缩为等比数列，并不一定从第一项起就开始放缩。

n
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成裂项相消型数列
课堂小结
用放缩法证明数列不等式
一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩
二. 不具备求和条件的数列不等式通先放缩再求和 目标1.放缩成裂项相消型求和 目标2.放缩成等比数列求和
化归与转化思想
再 见
从结论入手放缩
用放缩法证明数列不等式
例3: 已知数列 {an } 满足 a1 1, an1 2an 1(n N ) , （1）求数列{an } 的通项公式；
an n 1 a1 a2 n （2）求证： (n N ) 2 3 a2 a3 an 1 2
1 1 1 1 故 ai (ai 1) 2 2 n 3 n1 3(n 2) 2 2 2 2 i 1
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成等比数列
n
用放缩法证明数列不等式
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: ai (ai 1) 3 . 2 1 i 1 i 2 2i i 方法二：ai (ai 1) i i (2 1)(2 1) (2 1)(2i 2)
解：(1) an 2n 1(n N )
an 2n 1 1 1 (2) n1 an1 2 1 2 2(2n1 1)
用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: 2 1
a (a 1) 3 .i 1ຫໍສະໝຸດ i i用放缩法证明数列不等式
用放缩法证明数列不等式
n 1 5n cn n ， n c1 c2 L cn ,试比较 Tn 与 T 例1:（09· 湖北卷）已知 的大小. 2 2n 1