高考数学一轮复习 第一章 第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文

高考数学统考一轮复习新人教版：第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【知识重温】一、必记3个知识点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的____、____、____叫做逻辑联结词．(2)命题p且q2.(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做________.1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．【小题热身】一、判断正误1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)．(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．()(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．()二、教材改编2．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<03．命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是______________________________________________．三、易错易混4．[2021·济南模拟]若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )A ．命题p 与命题q 都是真命题B ．命题p 与命题q 都是假命题C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∨(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )四、走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是________．①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③(綈p 2)∨p 3 ④(綈p 3)∨(綈p 4)考点一 全称命题与特称命题[自主练透型]1．[2021·开封市高三模拟试卷]已知命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n2．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，sin 2⎝⎛⎭⎫x 03＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 03＝13B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1悟·技法1．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．全称命题与特称命题真假的判断方法 .考点二 含逻辑连结词命题的真假判断[自主练透型]3．[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知命题p ：∀x ∈R ，e x ＋e －x ≥2，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．(綈p )∧(綈q )是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题4．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1<0；命题q ：∃x ∈R ，x 2>2x .则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )悟·技法判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可.考点三 根据命题的真假求参数的取值范围[互动讲练型][例] [2021·江苏常州调研]若命题“∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0”是真命题，则实数m 的取值范围是________．悟·技法根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.[变式练]——(着眼于举一反三)1．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)2．[2021·宁夏石嘴山检测]若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【知识重温】①且 ②或 ③非 ④真 ⑤真 ⑥假 ⑦假 ⑧真 ⑨真 ⑩假 ⑪全称命题 ⑫特称命题 ⑬∃x 0∈M ，綈p (x 0) ⑭∀x ∈M ，綈p (x )【小题热身】1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(5)×2．解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B 正确．答案：B3．答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等．4．解析：由“非p ”是真命题可知p 为假命题，由“p 或q ”是真命题可知p 与q 中至少有一个是真命题，结合p 为假命题可知q 为真命题，故选D.答案：D5．解析：p 是假命题，q 是真命题，所以（綈p ）∧q 为真命题，故选B.答案：B6．解析：对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B ∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而綈p 2是真命题；对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而綈p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而綈p 4是假命题． 综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(綈p 2)∨p 3是真命题，(綈p 3)∨(綈p 4)是真命题，所以答案为①③④.答案：①③④课堂考点突破考点一1．解析：因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.答案：C2．解析：∀x ∈R ，均有sin 2⎝⎛⎭⎫x 3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 3＝1，故A 是假命题； 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，sin x ≤cos x ，故B 是假命题； 因为方程x 2＋x ＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，所以x 2＋x ＋2＝0无解，所以∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2是假命题，故C 是假命题；令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )为增函数，故f (x )>f (0)＝0，即∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1.答案：D考点二3．解析：因为e x ＋e －x ＝e x ＋1e x ≥2成立，所以命题p 是真命题；又由2x 0＝12＝2－1，得x 0＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q 是假命题．所以p ∧(綈q )是真命题，故选C.答案：C4．解析：当x ＝1时，x 2－x ＋1＝1>0，所以p 为假命题，綈p 为真命题．当x ＝3时，x 2>2x ，所以q 为真命题，綈q 为假命题．所以p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，故选B.答案：B考点三例解析：因为命题“∀x∈R，x2－2mx＋1≥0”是真命题，所以Δ＝4m2－4≤0，解得－1≤m≤1，即所求实数m的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]变式练1．解析：对于∀x∈R，x2＋ax＋a≥0成立是真命题，∴Δ＝a2－4a≤0，即0≤a≤4.故选B.答案：B2．解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]。

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变式训练 2 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x>0，都有 x2－x≤0； (2)q：∃x∈R,2x＋x2≤1.
(1)綈 p：∃x>0，使 x2－x>0，为真命题． (2)綈 q：∀x∈R,2x＋x2>1，为假命题．
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根据含有逻辑联结词的命题 的真假，求参数的 取值范围
例 3 设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式12|x－1|≥a 的解集为∅，命题 q：函数 f(x)＝lgax2＋(a－2)x＋98的 定义域为 R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求 a 的取值范围．
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[难点正本 疑点清源] 1．逻辑联结词“或”的含义有三种
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的 “或”的含义相同．如“x∈A 或 x∈B”，是指：x∈A 且 x∉B；x∉A 且 x∈B；x∈A 且 x∈B 三种情况．再 如“p 真或 q 真”是指：p 真且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或” 时，要注意分析三种情况．
(1)p∨q：1 是素数或是方程 x2＋2x－3＝0 的根．真 命题． p∧q：1 既是素数又是方程 x2＋2x－3＝0 的根．假命题．
綈 p：1 不是素数．真命题．
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(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈 p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)p∨q：方程 x2＋x－1＝0 的两实根的符号相同或绝对 值相等．假命题． p∧q：方程 x2＋x－1＝0 的两实根的符号相同且绝对值相 等．假命题． 綈 p：方程 x2＋x－1＝0 的两实根的符号不相同．真命题．
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高考一轮总复习 ·数学（文） 2．含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(綈 p)∧(綈 q)假． (2)p∨q 假⇔p，q 均假⇔(綈 p)∧(綈 q)真． (3)p∧q 真⇔p，q 均真⇔(綈 p)∨(綈 q)假． (4)p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(綈 p)∨(綈 q)真． (5)綈 p 真⇔p 假；綈 p 假⇔p 真.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 1】 (1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题 p 是“甲试驾成功”，q 是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )
A．(綈 p)∨(綈 q) B．p∨(綈 q)
C．(綈 p)∧(綈 q) D．p∨q 解析 解法一：命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成 功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．选 A. 解法二：命题“至少有一位学员没有试驾成功”等价于命题“甲、乙均试驾成功”的否定，即“p∧q” 的否定．选 A.
A．p、q 均为真命题 B．p、q 均为假命题 C．p、q 中至少有一个为真命题 D．p、q 中至多有一个为真命题 [解析] 因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以 p∨q 为真命题．所以 p、q 一真一假或都是真命题．
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1．“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤 (1)判断复合命题的结构． (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假． (3)依据含有“或”“且”“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．

b＝0，b· c＝0，则 a· c＝0； 设 a，b，c 是非零向量．已知命题 p：若 a· 命题 q：若 a∥b，b∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是( A．p∨q C．(綈 p)∧(綈 q) B．p∧q D．p∧(綈 q) )
A [取 a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然 a· b＝0，b· c＝0，但 a· c＝1≠0，∴p 是 假命题． a，b，c 是非零向量， 由 a∥b 知 a＝xb，由 b∥c 知 b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q 是真命题． 综上知 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题． 又∵綈 p 为真命题，綈 q 为假命题， ∴(綈 p)∧(綈 q)，p∧(綈 q)都是假命题．]
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(
[ 解析] (1)错误．命题 p∨q 中，p，q 有一真则真． (2)错误．p∧q 是真命题，则 p，q 都是真命题． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相 等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[ 规律方法] 1.“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命题真假判断的关键是对 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形 式；(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式的命 题的真假． 2．p 且 q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或 q 形式是“一真必真，全 假才假”，非 p 则是“与 p 的真假相反”．
) 【导学号：31222011】
A．∃x0∈R，lg x0＝0 C．∀x∈R，x3>0
B．∃x0∈R，tan x0＝1 D．∀x∈R,2x>0
π C [对于 A，当 x0＝1 时，lg x0＝0，正确；对于 B，当 x0＝4时，tan x0＝1， 正确；对于 C，当 x<0 时，x3<0，错误；对于 D，∀x∈R,2x>0，正确．]