2007-2008高等数学A(下)期末考试试卷A答案

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。

（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。

极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。

（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。

（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。

（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。

（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

河南理工大学《高等数学》历年期末试题河南理工大学 2007-2008 学年第 一 学期《高等数学》试卷（A ）考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的80 % 复查总分 总复查人1. 下列各式正确的是（ ）姓名： 学号： ………封………………………………线…………………………(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e xx x =++→)11(lim 0 (C) e x x x -=-∞→)11(lim (D) e xx x =+-∞→)11(lim2. 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+()0F x x =在可导，则必有 （ ）（A ）(0)0f '=（B ）(0)0f = （C ）(0)(0)0f f '+=（D ）(0)(0)0f f '-=3.为，则 又设已知　)()20( d )()(21 110 )(12x F x t t f x F x x x x f x ⎰≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=（ ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤21 10 31)(3x x x x A ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-21 10 3131)(3x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21 110 31)(3x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-21 1103131)(3x x x x D 4.当0→x 时，与x e x cos 22-等价的无穷小是（ ）（A ）2x . （B ）223x . （C ）22x . （D ）225x .5.x e y y y x 2cos 52=+'-''的一个特解应具有形式（ ） （A ）x Ae x 2cos （B ）)2sin 2cos (x B x A e x + ( C))2sin 2cos (x B x A xe x +（D ）)2sin 2cos (2x B x A e x x +二.填空题(每小题4分.共24分)1. 设()f x 的定义域为[ 0，1]，则(ln )f x 的定义域为 .2.设函数22, 1()ln(1), 1a x x f x x x x ⎧+>-=⎨++≤-⎩在1x =-处连续，则a = .3. 设),tan ln(sec x x y +=则='y .4. 设()f x 是连续函数，则dt t f a x x xaa x ⎰-→ )(lim= .5. 已知⎰+=C x dx x f arcsin )(，则=-⎰dx x f x )(12. 6. 由0 , 0)( , , =≥===y x f y b x a x 所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积公式为：V = . 则（应用你给的公式计算）由],[,)(22R R x x R x f y -∈-==与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积=V .三.解答题(共56分)1. (6分)求极限xx x sin 20)31(lim +→.2. (6分)设arctan y x= 求dx dy .3.（6分）求微分方程满足初始条件的特解1,sin ==+=πx y xxx y dx dy 4. (6分) 已知星形线方程为⎩⎨⎧==ta y ta x 33sin cos )20(π≤≤x ,求它的全长. 5. (7分)求dx x f ⎰-20)1(，其中⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-01111)(1x e x x x f x6. (7分) 设)(),(x g x f 都是可导函数,且)()(x g x f '<',证明:当a x >时,)()()()(a g x g a f x f -<-)(9 .7分 若函数)(x f 在]1,0[上连续，证明：=⎰π)(sin dx x xf ⎰)(sin 2ππdx x f ，并计算dx xxx ⎰+π2cos 1sin8. (9分) 设2(),-=⎰xt f x te dt 确定曲线()=y f x 的凹凸区间及拐点.河南理工大学 2008-2009 学年第 一 学期《高等数学》试卷（A ）姓名学号…………………………密………………………………封………………………………线…………………………一选择题(每小题4分,共20分)1、|sin |cos )(x xe x x f -=+∞<<-∞x ()是（ ） A ．奇函数 B.周期函数 C 有界函数 D 单调函数 2,、如果函数)(x f 在x=0处连续，且2)0(-=f ，那么)(sin →=x x f Lime x （ ）A 1B .2C 3D 43、设0)0(=f 则 hh f h f h )()3(lim 0-→存在是)(x f 在x=0处可导的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件 4、已知x xe 是)(x f 的一个函数，则⎰=dx x f )3(（ ）A C xe x +3B 、C xe x +3 C 、C xe x +D C xe x+335、若函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)('lim0-=→xx f x ，则)(x f （ ） A 是)(x f 的极小值 B 是)(x f 的极大值 C 一定不是)(x f 的极值 D 不一定是)(x f 的极值 二、填空题1、已知2)1(lim 10=+→xx ax ，则a=_________.2、设参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的倒数dx dy=_________.3设曲线42)1(422+++=x x x y 的水平渐近线是_________.4设函数)0()0(sin 02≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰x x a dt t x ，在x=0出连线，则a=_________. 5设⎩⎨⎧<+≥+=)0(1)0(1)(x e x x x f x ，则⎰=-=20)1(dx x f a _________. 三 解下列各题1、求极限30sin lim xxx x -→ 2、设x x y tan =，求'y 。

高等数学下册考试试卷一一、填空题每小题3分,共计24分1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= ;2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 ; 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 ;4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds ;5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122（ ; 6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 ; 7、方程04)4(=-y y 的通解为 ; 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 ;二、选择题每小题2分,共计16分1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是 A ),(y x f 在),(00y x 处连续；B ),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；C y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小；D 0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x ;2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于A y x +；B x ；C y ； D0 ;3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于A4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；B ⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；C ⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；D ⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d ;4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=A ⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ； B ⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；C ⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ； D ⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d ;5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰=+LQdy Pdx )(A ⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； B ⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x Py Q )(； C ⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； D ⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(; 6、下列说法中错误的是 （A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）方程xyx dx dy 221=+是伯努利方程; 7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=yA x e x 2sin -；B )2cos 2(sin x x e x -；C )2sin 2(cos x x e x -；D x e x 2sin ; 8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n n uA 收敛；B 发散；C 不一定；D 绝对收敛; 三、求解下列问题共计15分1、7分设g f ,均为连续可微函数;)(),,(xy x g v xy x f u +==, 求yu x u ∂∂∂∂,;2、8分设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(,求tu x u ∂∂∂∂,;四、求解下列问题共计15分; 1、计算=I ⎰⎰-222xy dy e dx ;7分2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22,其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域8分五、13分计算⎰++-=L yx ydxxdy I 22,其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向;六、9分设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+,且)0(f '存在,求)(x f ;七、8分求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间;高等数学下册考试试卷二1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+,则=∂∂+∂∂yz x z ; 2、=+-→→xyxyy x 93lim0 ;3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ,交换积分次序后,=I ;4、设)(u f 为可微函数,且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ ;5、设L 为取正向的圆周422=+y x ,则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( ;6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222,则=A div ; 7、通解为x x e c e c y 221-+=的微分方程是 ;8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(,则它的Fourier 展开式中的=n a ;二、选择题每小题2分,共计16分;1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f ,则在点0,0处A 连续且偏导数存在；B 连续但偏导数不存在；C 不连续但偏导数存在；D 不连续且偏导数不存在; 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数,且满足02≠∂∂∂y x u及 +∂∂22x u 022=∂∂yu ,则A 最大值点和最小值点必定都在D 的内部；B 最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；C 最大值点在D 的内部,最小值点在D 的边界上； D 最小值点在D 的内部,最大值点在D 的边界上;3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ,若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(,⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有A 21I I <；B 21I I =；C 21I I >；D 不能比较;4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =A3611； B 3621； C 3631 ； D 3641; 5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ, 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(A ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； B ⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；C ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； D ⎰αβψϕdt t t f ))(),((;6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x , 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =A 0 ；B π2 ；C π ；D π4;7、下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是 A 0)()(=++'x q y x p y ； B 0)()(=+'+''y x q y x p y ； C )()()(x f y x q y x p y =+'+''； D 0)()(=+'+''x q y x p y ; 8、设级数∑∞=1n n a 为一交错级数,则A 该级数必收敛；B 该级数必发散；C 该级数可能收敛也可能发散；D 若)0(0→→n a n ,则必收敛; 三、求解下列问题共计15分1、8分求函数)ln(22z y x u ++=在点A0,1,0沿A 指向点B3,-2,2 的方向的方向导数;2、7分求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值;四、求解下列问题共计15分 1、7分计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ,其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域;2、8分设)(x f 为连续函数,定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222,其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω,求dtdF ;五、求解下列问题15分1、8分求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (,其中L 是从Aa,0经2x ax y -=到O0,0的弧;2、7分计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222,其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧;六、15分设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数,并使曲线积分⎰'++-'Lx dyx ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关,求函数)(x ϕ;高等数学下册考试试卷三一、填空题每小题3分,共计24分1、设⎰=yz xz t dt e u 2, 则=∂∂z u;2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点0,0处沿)2,1(=l 的方向导数)0,0(l f∂∂= ; 3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体,如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分,则I= ;4、设),(y x f 为连续函数,则=I ⎰⎰=+→Dt d y x f t σπ),(1lim 2,其中222:t y x D ≤+;5、⎰=+Lds y x )(22 ,其中222:a y x L =+;6、设Ω是一空间有界区域,其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： , 该关系式称为 公式; 7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y ;8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散,则p ; 二、选择题每小题2分,共计16分1、设),(b a f x '存在,则xb x a f b a x f x ),(),(lim 0--+→=A ),(b a f x '；B0；C2),(b a f x '；D21),(b a f x '; 2、设2y x z =,结论正确的是A022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； B 022=∂∂∂-∂∂∂x y zy x z ； C022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； D 022≠∂∂∂-∂∂∂xy zy x z ; 3、若),(y x f 为关于x 的奇函数,积分域D 关于y 轴对称,对称部分记为21,D D ,),(y x f 在D 上连续,则⎰⎰=Dd y x f σ),(A0；B2⎰⎰1),(D d y x f σ；C4⎰⎰1),(D d y x f σ； D2⎰⎰2),(D d y x f σ;4、设Ω：2222R z y x ≤++,则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22=A 538R π；B 534R π；C 5158R π；D 51516R π;5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ,则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为Ａx =⎰Lds y x x M),(1ρ； B x =⎰Ldx y x x M),(1ρ；C x =⎰Lds y x x ),(ρ； D x =⎰Lxds M1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量;６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧,则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdz x xzdydz zdxdy y22＝A0； B 4π-； C 245π； D 4π;７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为 A A ,若1)(=x f ； B x Ae ,若x e x f =)(； C E Dx Cx Bx Ax ++++234,若x x x f 2)(2-=； D )5cos 5sin (x B x A x +,若x x f 5sin )(=;８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 01,1)(,则它的Fourier 展开式中的n a 等于A])1(1[2n n --π； B0； C πn 1； D πn 4; 三、１２分设t t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数,其中F f ,具有一阶连续偏导数,求dx dy ;四、８分在椭圆4422=+y x 上求一点,使其到直线0632=-+y x 的距离最短;五、８分求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ;六、１２分计算⎰⎰∑=xyzdxdy I ,其中∑为球面 1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分的外侧;七、10分设x x d x df 2sin 1)(cos )(cos +=,求)(x f ;八、10分将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数;高等数学下册考试试卷一参考答案一、1、当10<<a 时,1022≤+<y x ；当1>a 时,122≥+y x ； 2、负号； 3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C eC x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f xu'+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f tu-++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(,)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O0,0时,xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续;所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O0,0时,xQ y P ∂∂∂∂,在D 内除O0,0外都连续,此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ,逆时针方向,并假设*D 为+L 及-l 所围成区域,则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式 六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f 又x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴七、令t x =-2,考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时,亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时,原级数发散； 当1-=t 即1=x 时,级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时,级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1,收敛区间为1,3;高等数学下册考试试卷二参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-'+''y y y ； 8、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A1,0,1处可微,且)1,0,1(221zy x x u A ++=∂∂2/1=； 01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy yzy x yu A ；2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z zy x zu A而),1,2,2(-==AB l 所以)31,32,32(-=l ,故在A 点沿AB l =方向导数为：=∂∂Alu Axu ∂∂αcos ⋅+Ayu ∂∂βcos ⋅+Azu ∂∂γcos ⋅.2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f , 又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时,)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ,最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010:所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(x y x z y x dzdy dx I ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21 ⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(t h rdz r f z dr d t F ⎰+=t dr r h r r hf 032]31)([2π所以]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π五、1、连接→OA ,由Green 公式得：⎰⎰⎰-+=OAOALI ⎰⎰-=+OAOAL⎰⎰=≥≤+++-0,220)cos cos (y ax y x xx Green dxdy m y e y e 公式281a m π= 2、作辅助曲面⎩⎨⎧≤+=∑2221:a y x az ,上侧,则由Gauss 公式得： ⎰⎰∑=I +⎰⎰∑1⎰⎰∑-1=⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11=⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤+≤+-++az z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2222222)(2=⎰⎰⎰≤+-az y x a zdxdy dz42222π 4043212a a dz z aπππ-=-=⎰六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ 特征方程0232=+-r r ,特征根2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+=又因为2=λ是特征根;故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1,21-==B A即 x e x x y 2*)2(21-=故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(21)(-++=ϕ高等数学下册考试试卷三参考答案一、1、2222z x z y xeye -； 2、5； 3、⎰⎰⎰------1111102222),,(x x y x dz z y x f dy dx ；4、325);0,0(a f π、； 6、⎰⎰⎰⎰⎰+Ω∂Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(, Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P ;二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=,0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ,即得：yt t x t t x F f F F f F f dx dy ''+'''-'⋅'=四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点,则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ,于是由：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+---==+---=04408)326(602)326(422y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点：)53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M依题意,椭圆到直线一定有最短距离存在,其中1313133261min =--=M yx d 即为所求; 五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=yy x yx z 22222在yoz 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤=0)0(22x z y yz于是所割下部分在yoz 面上的投影域为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yz y D yz 2020:, y 由图形的对称性,所求面积为第一卦限部分的两倍; σd zxy x A yzD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(12 x ⎰⎰⎰⎰=-=-=yzD y yy dz dy yy dydz 21202282222六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑, 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是： ⎰⎰⎰⎰∑--=1221dxdy y x xyzdxdy xyD1511cos sin 21022=⋅-⋅=⎰⎰ρρρθθρθπd d 极坐标； ⎰⎰⎰⎰∑=----=2151))(1(22dxdy y x xy xyzdxdy xyD , ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴21I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos )(cos ==,即x x f 2sin 1)(cos +='所以22)(x x f -=' c x x x f +-=∴3312)(八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=又]1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞=-u u n u n nn ∴∑∑∞=∞=---∈-+-=11211]1,1(,)1()1()(n n nn n n x x n x n x f ∑∞=--∈+-=11]1,1(),1()1(n n nn x x x n。