第七章 网络矩阵方程(甲)2013.2.28更新

3 7 3 3 2 3 3 3
= (E|X)
∴ X=
1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 7 4 3 4
思考练习： 解矩阵方程：
1 2 3 3 2 4 2 1 1 X 3 0 0 2 2 4 2 6 3
0 .4 0 .6
80 130
2 8
16 26
1..6 0 4
3 2 .6 13 0 .6 3 0.
= (E|X)
2 ∴ X = 3
例题讲解： 例2.求矩阵方程：
1 2 2 1 1 2 3 1 1 X 1 1 2 2 1 1 1 0 1
X D
即
( A | B)
初等行变换
例题讲解： 例1.在引入的生活例子中我们列出了矩阵A· X=B,其中：
10 A 20 20 30 80 B 130 16 26
求出未知矩阵X。 解： （A|B）=
10 20
1
0 2 0
20 30
0 2
1 3 1
这里我们来研究当矩阵A、X、B均为n阶方阵，且矩阵A
存在逆矩阵的情况。
运算方法：
方法一： A X B
X A1 B
通过矩阵方程的变形，将矩阵A的逆矩阵与矩阵B相乘即 可得矩阵X。 缺点：当矩阵的阶数比较大时，计算量很大。 方法二：
A X B
初等行变换
( A | B)
(E | D) (E | X )
α
β
10 A 20
总收入
20 30
总利润
甲 乙

矩阵方程的简化求解方法来源：文都教育与通常意义上的方程类似，矩阵方程是指以矩阵为未知量的矩阵等式. 求解矩阵方程本质上就是矩阵的运算特别是矩阵乘法和求逆矩阵的运算，因此求解矩阵方程，求出未知矩阵的表达式应充分地利用矩阵的运算及其性质先化简，将其化为矩阵方程的以下几种基本形式：(1),(2),(3).AX B XA B AXB C ===若A 和B 均可逆，那么可求得待求矩阵分别为1111,,.X A B X BA X A CB ----===当A 和B 均不可逆时，常将矩阵方程用待定元素法转化为解线性方程组. 在实际的计算中，往往不可能恰好给出以上三种形式，需要经过一番整理和化简，再应用相关知识使其露出“庐山真面目”. 本文将就典型的情况，加以说明，为这类题目的简化求解提供帮助.1. 对已知2A aA bE O ++=，需求1()A kE -+或()A kE +（其中k 为常数）的矩阵方程常用凑因子矩阵的方法来求解. 可将原方程化为()A kEB E +=或者()B A kE E +=的形式，从而B 就是待求的A kE +的逆矩阵. 下面举例加以说明.例1 设矩阵方程满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则1()A E --= . 解 先对2A 与A 两项分别凑出因子A E -，过程如下： 24A A E O +-=222()()4A E E A E E E O ⇔-++-+-=()()()2A E A E A E E ⇔-++-=()()2A E A E E E ⇔-++=.所以，1()A E --=(2)2A E +.2. 求解AX B =或XA B =，其中A 为不可逆矩阵常用解方程组的方法来求解这类问题，通常设出所求矩阵的行数、列数及其待定元素，将矩阵方程转化为待定元素的线性方程组，解此方程组即可求出待求元素，从而求出未知矩阵. 这类问题在历年考研试题中还未涉及，因此需要引起注意.例2 若11232246X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X = . 解 显然矩阵1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦的行列式为0，故不可逆. 由矩阵乘积的性质可知，X 为2×2矩阵，设1234x x X x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是有 123411232246x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是方程转化为非齐次线性方程组：121234342,224,3,226,x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求解此非齐次线性方程组，得1212341223x x c c X x x c c --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中12,c c 为任意常数. 以上分两种情况讨论了矩阵方程的求解方法，在复习过程中考生可能还会遇到其他形式的矩阵方程，在毛纲源教授编著的《2016考研数学客观题简化求解》一书中，有更为全面的解读，相应深入浅出的方法技巧一定会使读者看完后有所收获，考研数学的解题更上一个新台阶.。

（７． １． ４）
（７． １． ３）
阵． 因此 ，我们得到了求解线性方程组 （７． １． １） 的一般方法 ： 方程组 ，所以也就得到了原方程组 （７． １． １） 的解 ． 性方程组解的方法和步骤 ． 例 2 解线性方程组
阵 （ A ， B ） 化简 ． 又由定理 ６． ９ 可知 ，通过初等行变换可以将 （ A ，B ） 化成阶梯形矩 用初等行变换将方程组 （７． １． １） 的增广矩阵 （ A ， B ） 化成阶梯形矩阵 ， 再写
a m１
am２
称式 （７． １． ２） 为 齐次线性方程组 ．
次代入方程组 （７． １． １） 中的 x １ ， x２ ，…， x n ， 使 （７． １． １ ） 中的每 个方程都变成恒等 方程组 （７． １． １） 的解的全体 ，称为方程组 （７． １． １） 的 解集 （ 合 ） ． 性方程组的解向量的所有分量不全为零时 ，称为 非零解 ． 解集 ． 式 ，则称这个有序数组 （ k １ ，k２ ，…， k n ） 为方程组 （７． １． １） 的一个 解 或 解向量 ， 线性 显然由 x１ ＝ ０，x ２ ＝ ０，…，x n ＝ ０ 组成的有序数组 （０，０，…，０） 是齐次线性方 当方程 组 （ ７． １． １ ） 有 解 时， 称 它 是 可 解 的， 或 相 容 的； 否 则， 称 方 程 组
呢 ？ 在有解的情况下 ，如何求解呢 ？ 这就是本章要讨论的主要问题 ． 本章主要介
大无关组与向量组的秩的概念 ，了解线性方程组的基础解系 、 全部解概念及解的 结构 ． 次线性方程组有非零解的充分必要条件 ． 部解的方法 ． 会求极大无关组 ． 瞯 理解 n 维向量的概念 ，理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐 瞯 掌握线性方程组解的存在性的判定方法 、用初等行变换求线性方程组全

--------------------------作者：m0_37727776来源：CSDN原文：https:///m0_37727776/article/details/80478470版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！2018年05月28日 11:02:13 m0_37727776阅读数：1647---------------大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。

这门课其实是教矩阵。

刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

矩阵减法也类似。

矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。

但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。

这个结果是怎么算出来的？教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。

怎么会有这么奇怪的规则？我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。

研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。

这一直让我有点伤心。

前些日子，受到一篇文章的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。

关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。

如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

下面是一组线性方程式。

矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。

老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与x 和y 的乘积之和，等于3。

不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

下面才是严格的证明。

有三组未知数x、y 和t，其中x 和y 的关系如下。

x 和t 的关系如下。