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不可压Navier-Stokes方程的一阶有限元解法

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Ｊ ｕ １ ．２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ６ ７ ４ － ２ ９ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ — ０ ０ ４ １ — ０ ５
不 可 压 Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ － Ｓｔ ｏ ｋｅ ｓ ９ ｂ － 程 的 一 阶 有 限 元 解 法
卞正宁 ， 罗建 辉
（ 湖南大学 土木工程学 院， 湖南 长沙 ４ １ ０ ０ ８ ２ ）
Ｂ Ｉ ＡＮ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ － ｎ ｉ ｎ ｇ。ＬＵＯ Ｊ ｉ ａ ｎ — ｈ ｕ ｉ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ。Ｈｕ ｎ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ，Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ，Ｈｕ ｎ ａ ｎ ４ １ ０ ０ ８ ２ 。 Ｃｈ ｉ ｎ ａ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｏｎ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ － Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｕ ｒ ｅ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｌ ｆ ｉ ｌ ｌ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｔ ，ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｕ ｒ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｉ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｉ ｔ ｙ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｂ ｕ ｔ ａ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｃ ｉ ｔ ｙ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｉ ｓ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ．Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｃ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ ｏ ｆ ｖ ｅ ｌ ｏ ｃ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｖ ｉ ｓ ｃ ｏ ｕ ｓ ｆ ｌ ｕ ｉ ｄ ，ａ ｏ ｎ ｅ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｌ ｕ ｉ ｄ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｕ ｒ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｍ ｗａ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ
确 解及 标 准算例 的对 比 ， 验 证 了方 法的 可行性 和 有 效性 ． 采 用不 含 压 力项 的 一 阶 系统 ， 避 免
了连续 性 方程 中不含 压力 项给 不可 压缩 Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ － Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 求 解带 来的 困难． 关 键词 ： 一 阶 系统 ； 不 可压 缩流 体 ； 压力； 应 力精 度
中图分 类号 ： Ｏ３ ５ １ ． ２ 文 献标 识码 ： Ａ
Ｏｎ ｅ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ 。 － Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ０ ． ｌ ｎ ｓ ｉ 。 ｎ Ｆｉ ｍ ｎ ｉ ｔ ， ｅ Ｅｌ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ Ｍ Ｉ Ｖ Ｉ ｅ ｔ ｈ ￣ ｏ Ｍ ｄ
学方程 系统及 对 应的积 分 形式． 采 用有 限元 方 法 ， 对 于 速度 和 应 力进 行 同阶插 值 ， 对 于 非 线
性 对流 项 ， 采 用 牛顿迭代 法进行 处理 ， 对 于 时 间项 采 用后 向欧拉 方法． 基于Ｆ ｒ ｅ ｅ Ｆ ｅ ｍ＋ ＋ 平
台， 对 两平行 平板 间的稳 态粘性 流动 及二 维 非定 常 圆柱绕流进 行 了数值 计 算． 分 剐通过 和精
摘
要： 不 可压 Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ方程 求解 的 困难 之 一在 于如何 确 定压 力场并 且 同时要 满
足 不可 压条件 ． 压 力项在 连 续性 方程 中并不 出现 ， 但 是 却 对速 度起 约束 作 用． 为 了解 决 这 一
问题 ， 对 于粘 性 不 可 压 流 动 ， 提 出了以速度 和应 力为 基 本 变量 ， 不 合 压 力项 的 一 阶流 体 动 力
ｔ ｏ ｈａ ｎ ｄｌ ｅ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ｒ ｏｂ ｌ ｅ ｍ． Ｔｈｅ ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｓ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｖｅ ｌ ｏｃ ｉ ｔ ｙ ｗｅ ｒ ｅ ｉ ｎｔ ｅ ｒ ｐｏ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｂｙ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎｔ ． Ｔｈｅ
第４ ０卷 第 ７ 期
２ Ｏ １ ３ 年
湖
南
大学Biblioteka 学报 （自 然 科 学 版 ）
Ｖｏ １ ． ４ ０。 Ｎｏ ． ７
７ 月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｎ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）

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高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解

高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解


第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差 在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节 低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动 （略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节 平行非定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节 平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
， 定解条件为 作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节 平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动 设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻 突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某 一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的 流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由 斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解

二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解

胡 园 园 ， 谢 江 ‘ ， 张 武
（ １ ． 上海大学 计算机工程与科学学院， 上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ； ２ ． 上海大学 高性能计算 中心， 上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ）
（十通信作者 电子邮箱 ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｘ ＠ｓ ｈ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｄｕ ｅ ｔ ｏ ａ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｉ ｒ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ ｓ ｌ ｏ ｗ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ
摘
要： 针 对不可压 缩 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ（ Ｎ — ｓ ） 方程求解过程 中的有限元 法存在计 算 网格 量 大、 收敛速 度慢 的缺点 ，
提 出了基 于面积 坐标 的三 角网格剖分谱有 限元 法（ Ｔ Ｓ Ｆ Ｅ Ｍ） 并进 一步给 出了利用 Ｏ ｐ ｅ ｎ Ｍ Ｐ对其并行化的方法。该算法 结合谱 方法和有 限元法 思想， 选取具有无限光滑特 性的指 数 函数 取代传 统有 限元法 中的 多项 式函数作 为基 函数 ， 能 够有效减少计算 网格数量 ， 提 高算法的精度 和收敛速度 ； 利 用面积 坐标便 于三角形单元计 算的特 点 ， 选取 三角单元 作
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ０ ０ １ ． ９ ０ ８ １
２ ０ １ ７ — ０ １ — １ Ｏ
计算机应用， ２ ０ １ ７ ， ３ ７ （ １ ） ： ４ ２— ４ ７ 文 章编号 ： １ ０ ０ １ — ９ ０ ８ １ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ ． ０ ０ ４ ２ 。 ０ ６
NAVIR-STOKES方程

NAVIR-STOKES方程


流体
动
动量
量平衡
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维 斯托克 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（ 斯方程（Navier-Stokes equations） ）
⑵ 适用条件 黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围 内)、层流流动
2.4 理想流体动量平衡方程欧拉方程 理想流体动量平衡方程 （Eular equations） ）
简化：
⑴ ⑵
µ = const
，牛顿黏性定律
ρ = const ，连续性方程
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维 斯托克 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（ 斯方程（Navier-Stokes equations） ）
∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂2vx ∂2vx ∂2vx ∂p ) = µ( 2 + 2 + 2 ) − + ρgx +vy +vz ρ( +vx ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维 斯托克 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（ 斯方程（Navier-Stokes equations） ）
⒍ 动量平衡方程的讨论
∂2vx ∂2vx ∂2vx ∂P ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ρ + vx + vy + vz = µ 2 + 2 + 2 − ∂x + ρgx ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂τ ∂x
理想流体： 没有黏性的流体
µ =0
思 考
①
实际流体都具有黏性，提出理想流体 的意义何在？
简化：
µ = 0 时，N-S方程简化为欧拉方程
∂v ∂τ = 0
不可压缩流体n-s方程

不可压缩流体n-s方程

不可压缩流体n-s方程不可压缩流体N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。

在流体力学中，不可压缩流体是指其密度在空间和时间上保持恒定的流体。

N-S方程是由物理学家Navier和Stokes在19世纪提出的，它是描述流体的运动和变形的方程组。

不可压缩流体的N-S方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。

连续性方程描述了流体的质量守恒，它表达了流体的质量在空间和时间上的连续性。

在不可压缩流体中，质量守恒方程可以简化为速度场的散度为零，即流体的速度场是无散的。

这意味着流体在任何一个点的流入和流出速度是相等的，从而保证了质量的守恒。

动量方程描述了流体中的力学运动，它是通过牛顿第二定律和黏性力的作用来推导的。

动量方程可以分为三部分：惯性项、压力梯度项和黏性力项。

惯性项描述了流体质点在单位时间内由于速度变化引起的动量变化，压力梯度项描述了流体由于压力差产生的力，而黏性力项描述了流体由于黏性作用而产生的力。

在不可压缩流体中，由于密度恒定，惯性项可以简化为流体质点的加速度乘以密度。

压力梯度项可以表示为压力场的梯度。

而黏性力项则是由流体的黏性特性决定的。

黏性力的大小与流体的黏度成正比，黏度越大，黏性力越大。

不可压缩流体的N-S方程可以进一步简化，当黏度较小、流动速度较小以及流体的粘滞性较低时，黏性力可以忽略不计。

这时，N-S 方程可以简化为欧拉方程，它是描述理想流体运动的方程。

欧拉方程只考虑了流体的惯性和压力梯度，忽略了黏性力的作用。

不可压缩流体的N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。

在天文学中，N-S方程可以用来研究行星和恒星的运动；在气象学中，N-S方程可以用来研究大气运动和气候变化；在航空航天工程中，N-S方程可以用来研究飞机和火箭的飞行性能。

不可压缩流体的N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。

它通过连续性方程和动量方程来描述流体的质量守恒和力学运动。

N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，对于理解和预测流体运动具有重要意义。