高一数学上学期质量检测卷附答案

邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测高一数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()RB A ⋂=ð（）A.{}1 B.{}1,0- C.{}1,1- D.{}1,22.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤3.已知函数()sin f x x =，则“π6x =”是“()12f x =”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知正实数x ，y 满足22x y +=，则81y x+的最小值为（）A.7B.8C.9D.105.已知角α的终边经过点()3,4tan P α-，则cos α=（）A.2B.2-C.2±D.2±6.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移个ϕ单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π7.已知函数()f x =在区间[]1,2-上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.[)1,0-C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8.已知函数()21213221xxf k k x +=-+---有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A.4,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.()f x =()g x x= B.()23f x x x =-与()23g t t t=-C .()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D.()0f x x =与()1g x =10.已知0a b c d >>>>，则下列不等关系成立的是（）A.22ac bc >B.a d b c ->-C.ad bc< D.11a cb c>--11.已知函数()()tan f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为ππ{|,Z}28k x x k ≠+∈C.点3π,08⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.()f x 在3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2121f x f x --=--，且当1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数()1f x -为奇函数B.()()202310f f +-=C.()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭D.函数()f x 的图象关于点()3,0对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()213log 12xx xf x -=+++的定义域为_____________．14.已知幂函数()2133m y m m x+=+-的图象不经过原点，则实数m =_____________．15.已知函数()2xf x =，则()()223f x f x ->+的解集为_____________．16.某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB 区域（如图所示）测量得知，其半径为2km ，圆心角为弯，规划局工作人员在 AB 上取一点C ，作CD ∥OA ，交线段OB 于点D ，作CE ⊥OA ，垂足为E ，形成三角形CDE 健步跑道，则跑道CD 长度的最大值为_____________km ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求解下列问题：（1）计算：10381272023π-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）若e 2a =，e 3b =，求32a b +的值．18.已知()()()()()3πsin πcos cos 2π23πsin sin cos 14π2f ααααααα⎛⎫+--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f α；（2）若()2fα=-，求212sin sin 212αα+-的值．19.已知定义在R 上的函数()21x b f x a =++，是奇函数，且()3210f =-．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明．20.已知函数()2π4cos cos 4sin 33f x x x x ωωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（1）求()f x ；（2）已知π2π33α<<，()65f α=，求cos 2α．21.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg 的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入()f x 万元，且()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x 万元，全年利润为()F x 万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数()F x 的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？22.已知不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，函数()1xg x n λλ=--（0n >，且1n ≠），()()()2log 1log m m x x h x λ=-++（0m >，且1m ≠）．（1）求不等式20mx x n +-≥的解集；（2）若对于任意的[]11,1x ∈-，均存在2x ⎤∈⎦，满足()()12g x h x ≤，求实数λ的取值范围．邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()RB A ⋂=ð（）A.{}1 B.{}1,0- C.{}1,1- D.{}1,2【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可.【详解】 {}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥∴{}R 1B x x =<ð，(){}R 1,0B A ⋂=-ð.故选：B ．2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知函数()sin f x x =，则“π6x =”是“()12f x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件进行判断充分条件与必要条件，确定选项.【详解】因为ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1sin 2x =时，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，k ∈Z ，所以“π6x =”是“()12f x =”的充分不必要条件.故选：A ．4.已知正实数x ，y 满足22x y +=，则81y x+的最小值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】由22x y +=，得212x y+=，所以81812116110109222x y y xy x y x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当16y x x y =即43y =，13x =时，等号成立，所以81y x+的最小值为9，故选：C ．5.已知角α的终边经过点()3,4tan P α-，则cos α=（）A.2B.22-C.22±D.32±【答案】A 【解析】【分析】由已知条件利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】角α的终边经过点()3,4tan P α-，则4tan tan 3αα-=，解得tan 1α=，则点P 坐标为()3,3，则cos 2α==.故选：A ．6.已知函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移个ϕ单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】B 【解析】【分析】写出变换后的函数解析式，利用正弦型函数函数的对称性得出ϕ的表达式再判断各选项．【详解】函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移ϕ个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin 22g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由题知，()g x 为奇函数，ππ2k ϕ=+，Z k ∈，B 选项满足条件，故选：B7.已知函数()f x =在区间[]1,2-上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.[)1,0-C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可.【详解】根据题意，设1t ax =-，则y ，因为y =在[)0,t ∞∈+上单调递增，所以1t ax =-在区间[]1,2-上单调递增，则有010a a ->⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤<，故选：B ．8.已知函数()21213221xxf k k x +=-+---有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A.4,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令210xt =-≠，转化为方程()232120t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ，零()()23221h t t k t k =-+++，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()21213221xxf k k x +=-+---，令210xt =-≠，则0x ≠，则()2132g k t k t t+=+--，令()0g t =，可得()232210t k t k -+++=，函数21(0)x tx =-≠的图象，如图所示，由题意，方程()232120t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ，不妨设12t t <，则101t <<，21t ≥，令()()23221h t t k t k =-+++，则()()021010h k h k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，此时解得0k >，或()()02101023012h k h k k⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，此时无解，综上所述，实数k 的取值范围是()0,∞+.故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.()f x =()g x x= B.()23f x x x =-与()23g t t t=-C.()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D.()0f x x =与()1g x =【答案】BC 【解析】【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.【详解】A 选项中：()f x x ==与()g x x =对应关系不同，故不是同一函数，故A 不正确；B 选项中：()23f x x x =-与()23g t t t =-定义域都为R ，且对应关系相同，故是同一函数，故B 正确；C 选项中：当0x >时，()1x f x x ==，当0x <时，()1xf x x-==-，所以()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，故()x f x x=与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩是同一函数，故C 正确；D 选项中：函数()0f x x =的定义域为{}0x x ≠，函数()1g x =的定义域为R ，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D 不正确.故选：BC ．10.已知0a b c d >>>>，则下列不等关系成立的是（）A.22ac bc >B.a d b c ->-C.ad bc <D.11a cb c>--【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质逐一分析判断ABC ，再举反例排除D 即可得解.【详解】对于A ，因为0a b c d >>>>，所以20c >，0a b >>，则22ac bc >，故A 正确；对于B ，因为c d >，所以d c ->-，又a b >，所以a d b c ->-，故B 正确；对于C ，因为0d c <<，所以0d c ->->，又0a b >>，所以ad bc ->-，故ad bc <，故C 正确；对于D ，取2,1,1a b c ===-，则111132a c b c=<=--，故D 错误，故选：ABC.11.已知函数()()tan f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为ππ{|,Z}28k x x k ≠+∈C.点3π,08⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.()f x 在3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由图象知3πππ2884T =-=，所以函数()f x 的最小正周期为2π，故A 不正确；因为函数的最小正周期ππ2T ω==，可得2ω=，所以3π3πtan 2088f A ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，即34πφkπ=-，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以当1k =时，3ππ44ϕπ=-=，则()tan 24f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()01f =，所以()0f A =πtan 14=，则1A =，所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ242x k π+≠+，Z k ∈，可得ππ28k x ≠+，k ∈Z ，所以()f x 的定义域为ππ{|,}28k x x k ≠+∈Z ，所以B 正确；因为3πππ2842⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，可得点3π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 正确；当3π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π7π9π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得[]πtan 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：BCD ．12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2121f x f x --=--，且当1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立．则下列说法正确的是（）A.函数()1f x -为奇函数B.()()202310f f +-=C.()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭D.函数()f x 的图象关于点()3,0对称【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性以及单调性对选项逐一分析即可.【详解】∵()()2121f x f x --=--，可得()()11f x f x --=--，∴函数()1f x -为奇函数，故A 正确；∵()()2121f x f x --=--，当0x =时，()()11f f -=--，()10f -=，又函数()f x 为偶函数，()()f x f x -=，由A 知()()11f x f x --=--，∴()()11f x f x +=--，可得()()2f x f x +=--()f x =-，则()()4f x f x +=，函数()f x 的周期为4，且()()110f f -==，∴()()202345053f f =⨯+()()310f f ==-=，∴()()202310f f +-=，故B 正确；∵1224x x <<<时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，∴函数()f x 在()2,4上单调递增，由()520232f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得()532f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，矛盾，故C 不正确；因为()1f x --()1f x =--，∴函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，∵函数()f x 的周期为4，函数()f x 的图象关于点()3,0对称，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()213log 12x x xf x -=+++的定义域为_____________．【答案】()()2,11,3--⋃-【解析】【分析】依据对数型复合函数定义域求解即可.【详解】由题意可得10302x x x+≠⎧⎪-⎨>⎪+⎩，则123x x ≠-⎧⎨-<<⎩，即23x -<<且1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为()()2,11,3--⋃-．故答案为：()()2,11,3--⋃-14.已知幂函数()2133m y m m x +=+-的图象不经过原点，则实数m =_____________．【答案】4-【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，再由幂函数图象性质，判断m 的值.【详解】根据幂函数的定义可得2331m m +-=，解得4m =-或1m =，当4m =-时，3y x -=不经过原点，符合题意；当1m =时，2y x =过原点，不符合题意，故4m =-．故答案为：4-15.已知函数()2xf x =，则()()223f x f x ->+的解集为_____________．【答案】15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的单调性与奇偶性，把不等式转化为223x x ->+，即可求解.【详解】由函数()2xf x =，可得其定义域为R ，且()()||22xx f x f x --===，所以()2xf x =为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2xf x =，可得()2xf x =在[)0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质，不等式()()223f x f x ->+，即为()()223fx f x ->+，可得223x x ->+，整理得231650x x ++<，解得153x -<<-，所以()()223f x f x ->+的解集为15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：15,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．16.某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB 区域（如图所示）测量得知，其半径为2km ，圆心角为弯，规划局工作人员在 AB 上取一点C ，作CD ∥OA ，交线段OB 于点D ，作CE ⊥OA ，垂足为E ，形成三角形CDE 健步跑道，则跑道CD 长度的最大值为_____________km ．【答案】3【解析】【分析】过点O 作CD 的垂线，连接OC ，设COA θ∠=，分别求得2sin CE OF θ==，2cos OE CF θ==，且23sin 3DF θ=，求得πsin 33CD CF DF θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，过点O 作CD 的垂线，垂足为F ，连接OC ，设COA θ∠=（π0θ3<<），则2sin CE OF θ==，2cos OE CF θ==，又tansin 63DF OF πθ==，所以1π2cos sin sin cos sin 332233CD CF DF θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0θ3<<，所以ππ2π333θ<+<，当ππ32θ+=，即π6θ=时，CD取到最大值km 3．故答案为：433.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求解下列问题：（1）计算：10381272023π-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（2）若e 2a =，e 3b =，求32a b +的值．【答案】17.1418.ln 72【解析】【分析】（1）根据指数幂运算求解;（2）指对互化求解【小问1详解】11033381239111272023π3244--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【小问2详解】∵e 2a =，e 3b =，∴ln 2a =，ln 3b =，∴323ln 22ln 3ln 8ln 9ln 72a b +=+=+=．18.已知()()()()()3πsin πcos cos 2π23πsin sin cos 14π2f ααααααα⎛⎫+--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．（1）化简()f α；（2）若()2fα=-，求212sin sin 212αα+-的值．【答案】（1）()tan f αα=-（2）1【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及sin tan cos ααα=对其化简即可；（2）应用二倍角公式对212sin sin 212αα+-化简，将弦转换成切求解即可.【小问1详解】()()()()()()()()3πsin πcos cos 2πsin sin cos 2tan 3πcos sin cos sin sin cos 14π2f αααααααααααααα⎛⎫+--- ⎪--⎝⎭===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）得tan 2α=，所以22222221sin sin cos cos 2sin sin 21sin sin cos cos 2sin cos αααααααααααα+-+-=+-=+22tan tan 142111tan 14ααα+-+-===++．19.已知定义在R 上的函数()21xb f x a =++，是奇函数，且()3210f =-．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明．【答案】（1）实数a 的值为12-，实数b 的值为1（2）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合()00f =和()3210f =-，联立方程组，即可求解；（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证.【小问1详解】解：因为定义在R 上的函数()21x bf x a =++是奇函数，可得()00f =，即02b a +=，又因为()3210f =-，所以3510b a +=-，联立方程组，可得12a =-，1b =，所以()()1112221221x x x f x -=-+=++，又由()()()()2121221212x x x xf x f x ---+--===-++，符合题意，所以,a b 的值分别为12-和1.【小问2详解】解：函数()f x 在R 上单调递减，证明：在R 上任取12x x <，则()()()()21121212121111112222122121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=-+--+=-= ⎪++++++⎝⎭，因为12x x <，所以21220x x ->，又2210x +>，1210x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递减．20.已知函数()2π4cos cos 4sin 33f x x x x ωωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（1）求()f x ；（2）已知π2π33α<<，()65f α=，求cos 2α．【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）310-【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）根据题意，求得π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而得到π4cos 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合两角和的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由函数()()41cos 214cos cos sin 3222x f x x x x ωωωω⎛⎫-=++- ⎪⎪⎝⎭222cos 22cos 23x x x ωωω=++--π2cos 21232sin 26x x x ωωω⎛⎫=-++-=- ⎪⎝⎭，因为0ω>，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，可得1ω=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π2π33α<<，所以ππ7π2,626α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以πcos 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以π4cos 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯-⨯=．21.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg 的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入()f x 万元，且()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x 万元，全年利润为()F x 万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数()F x 的解析式；（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩（2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．【解析】【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式；（2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得．【小问1详解】由题意得()() 2.5F x f x x =-，∵()2120,05240330,5101x x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，∴当05x <≤时，()225120 2.51202F x x x x x =+-=-+，当510x <≤时，()2403309052.5240112x F x x x x x -=-=----，综上所述，函数()F x 的解析式为()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩．【小问2详解】由（1）得()25120,052905240,51012x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪-⎩，当05x <≤时，()2255251201202416F x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，∴()F x 在50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在5,54⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()()max 225255120132.51616F x F ==+-=；当510x <≤时，()()905905552402401240207.5121222F x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--=-+-+≤-+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，当且仅当()905112x x =--，即7x =时，()max 207.5F x =，∵132.5207.5<，∴()F x 的最大值为207.5，故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．22.已知不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，函数()1xg x n λλ=--（0n >，且1n ≠），()()()2log 1log m m x x h x λ=-++（0m >，且1m ≠）．（1）求不等式20mx x n +-≥的解集；（2）若对于任意的[]11,1x∈-，均存在2x ⎤∈⎦，满足()()12g x h x ≤，求实数λ的取值范围．【答案】（1）{|1x x ≤-或2}3x ≥；（2）5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集;（2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到()()max max g x h x ≤，利用换元转化进行分类讨论求解λ的范围.【小问1详解】不等式20x mx n ++<的解集为{}21x x -<<-，即2,1--是20x mx n ++=的两个根，故3m =，2n =，∴20mx x n +-≥，即为2320x x +-≥，解得1x ≤-或23x ≥，∴不等式20mx x n +-≥的解集为{|1x x ≤-或2}3x ≥．【小问2详解】由题意可知()()max max g x h x ≤，()()()233log 1log h x x x λ=-++，x ⎤∈⎦，令3log t x =，则()21y t t λ=-++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为12t λ+=，①若1122λ+<，即0λ<时，当12t =时，max 1124y λ=+，即()max 1124h x λ=+，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递减，()()max 1111122g x g λλλ=-=--=--，由11112240λλλ⎧--≤+⎪⎨⎪<⎩，得504λ-≤≤；②若11222λ+≤≤，即03λ≤≤时，当12t λ+=时，()2max 114y λ=+，即()()2max 114h x λ=+，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递增，()()max 11g x g λ==-，由()2111403λλλ⎧-≤+⎪⎨⎪≤≤⎩，得03λ≤≤；③若122λ+>，即3λ>时，当2t =时，max 22y λ=-，即()max 22h x λ=-，此时()21x g x λλ=--在[]1,1-上单调递增，()()max 11g x g λ==-，由1223λλλ-≤-⎧⎨>⎩，得3λ>，综合①②③可知54λ-≥，即实数λ的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间122024-2025学年甘肃省兰州市高一上学期12月月考数学检测试题0分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1．已知集合()(){}140A x x x =∈--≤N ，{}03B x x =<<，则A B = （）A ．{}1,2B ．()1,3C ．{}2,3D ．[)1,32．函数3()lg 1f x x x=-+的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知 1.133log 2,2,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>4．幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在(0,)+∞上是增函数，则实数m 的值为（）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或1-5．若()0,πα∈，且1cos sin 2αα-=，则tan α=（）ABCD6．已知函数()()()()f x x a x b a b =-->的图象如下图所示，则()xg x a b =-的图象可能是（）A ．B．C ．D ．7．若函数212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4)-D ．[4,4]-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是（）A ．若角α为锐角，则角2α为钝角B ．4π3-是第三象限角C ．若角α的终边过点()43P ,-，则4cos 5α=-D ．若圆心角为π6的扇形的弧长为π2，则该扇形面积为3π410．下列说法正确的是（）A ．函数()2212x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞B ．函数1y x =+与1y =是同一函数C ．函数()2321x x f x +=+，则函数=的值域是(1,3)D ．已知函数()f x 的定义域为[)1,3-，则2+1定义域为[]1,1-11．已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<第Ⅱ卷（非选择题）三、非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）12．已知π1sin()33α+=，则πcos()6α-的值为.13．已知函数11x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),k b ，若m n k +=且0m >，0n >，则41m n+的最小值为.14．若函数()21,0221,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，若()f x 在区间(),m n 上既有最大值，又有最小值，则n m -的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)计算下列各式的值：(1)21103227()(0.002)2)8---+-+；(2)5log 45551log 452log log log 18550+-+；(3)化简：()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⋅-.16．(15分)已知π2sin(π)sin 323π135cos 3cos(2π)2x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭.(1)求tan x 的值；(2)若sin x ,cos x 是方程20x mx n -+=的两个根，求23+m n 的值.1()42.0()()x x f x m m f x f x m +=--=17.(15分)已知函数（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有两个零点，求实数 的取值范围.18．(17分)某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量y （毫克）与开始注射后的时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线，y 与t 的函数关系为(0t y m a a =>且1)a ≠.根据图中提供的信息：(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的函数关系式；(2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：ln20.69,ln5 1.61≈≈）19．(17分)已知函数()2()log 41xf x mx =++.(1)若()f x 为偶函数，求实数m 的值；(2)当0m =时，若不等式[]441log (21)2x x f a ->+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0m >时，关于x 的方程()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦在区间[1,上恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）题号12345678答案ACCCDCDD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.第Ⅱ卷（非选择题）三、非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）12．1313．914．(]1,3四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分)解（1）原式213323142)112500954--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭416720199=++=-.（2）原式()11125255log 592log 2log 50log 184--=⨯+--+()5551log 91log 50log 184=++-+-+()555log 9log 252log 184=+⨯-+555log 92log 2log 184=++-+()55log 292log 1846=⨯+-+=；（3）()()()()()π3πsin cos tan πcos sin tan 22cos tan πsin πtan sin ααααααααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭==--⋅--⋅-题号91011答案CDABCCD高一数学答案16．(15分)解（1）因为π2sin(π)sin 323π135cos 3cos(2π)2x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，所以2sin cos 35sin 3cos 13x x x x -=+，所以2tan 135tan 313x x -=+，解得tan 2x =；（2）因为sin x ，cos x 是方程20x mx n -+=的两个根，所以sin cos sin cos x x m x x n+=⎧⎨=⎩，∴()223sin cos 3sin cos 15sin cos m n x x x x x x +=++=+，又2222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1215x x x x x x x x ====+++，∴2231535m n +=+⨯=．17.（15分）.1)(.1,22,0240)(24)(0m .11211的零点是函数即则令时，当）（解：x f x x f x f x x x x x x ∴===-=-==+++.01.01,,022044,0)0(0022)(.2,02.22)2(222)(22x 2x 22），的取值范围是（实数）上有两解，，在（方程是单调函数，有两个零点，且函数则，显然令）（-∴<<-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->+=∆>-=∴∞+=--∴=--=>=-⋅-=-⋅-=m m m m f m t t t x f m t t y t t m m x f x x x x 18.(17分)（1）当102t ≤≤时，设y kt =，将1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kt =得122k =，解得4k =，此时，4y t =；当12t >时，设(0t y ma a =>且1)a ≠，将1,22⎛⎫⎪⎝⎭､（1，1)代入t y ma =得1221ma ma⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得144a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，此时，11444tt y -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.综上：114,0214,2t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩.（2）当102t <≤时，40.08t ≥，解得10.022t ≤≤当12t >时，140.08t -≥，即ln51ln22t ≤+而ln51 2.83ln22+≈，故12.832t ≤≤药效时间 2.830.02 2.81=-=所以，药效时间2.81小时.19．(17分)解（1）()2()log 41xf x mx =++定义域为R.因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即()()2112log 41log 41m m -+-=++，解得：m =-1.此时，()2()log 22x xf x -=+所以()2()log 22()x xf x f x --=+=所以()2()log 22x xf x -=+为偶函数，所以m =-1.（2）当0m =时，不等式[]441log (21)2x x f a ->+可化为：241log (22)2x x a ->+，即241log (22)2x x a ->+对任意1x ≥恒成立.记()()14122,2x x x x g x x --==-≥，只需()2min log (22)g x a >+.因为2x y =在()1,+∞上单增，2x y -=-在()1,+∞上单增，所以()22x xg x -=-在()1,+∞上单增，所以()()min 131222g x g ==-=，所以()23log 222210a a ⎧+<⎪⎨⎪+>⎩，解得：112a -<<，即实数a的取值范围为112⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）当0m >时，()2log 41xy =+在R 上单增，y mx =在R 上单增，所以()()2log 41x f x mx =++在R 上单增且()()020log 411f =+=.则()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦可化为()()242148log 2log 40f x f x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦.又因为()f x 在R 上单增，所以()242148log 2log 40x x m ++-=，换底得：2222log 482log 40log 4x x m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()22242log 2log 40x x m -+-=.令2log t x =，则30,2t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，问题转化为242240t t m -+-=在30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两根，即243224,0,2t t t m ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，令213224,0,2y t t t ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，24y m =，分别作出图像如图所示：只需4942m ≤<，解得：819m <≤.即实数m 的取值范围为8,19⎛⎤⎥⎝⎦.。

2023-2024学年广西南宁市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已如全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{0,1,2}A =，{2,0,1}B =-，则()U A B = ð（）A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{2,1,2}--D ．{}1-【正确答案】C先求出A B ⋂，再根据补集的概念可求得结果.【详解】{}0,1A B = ,()U A B = ð{}2,1,2--。

故选：C2．命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是（）A ．00x ∃>，001ln 1x x <-B ．00x ∃≤，001ln 1x x ≥-C ．00x ∃>，001ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，001ln 1x x <-【正确答案】A【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是00x ∃>，001ln 1x x <-.故选：A.3．“0a b >>”是“ln ln a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C根据对数函数ln y x =为增函数，以及充要条件的定义可得答案.【详解】当0a b >>时，根据对数函数ln y x =为增函数，可得ln ln a b >，当ln ln a b >时，根据对数函数ln y x =为增函数，可得0a b >>，所以“0a b >>”是“ln ln a b >”的充要条件.故选：C关键点点睛：根据对数函数ln y x =为增函数，以及充要条件的定义求解是解题关键.4．已知集合{}2430A xx x =-+>∣，{4}B x m x m =<≤+∣，若A B ⋃=R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[1,2)-B ．[1,1)-C ．(,1)-∞D ．[1,)-+∞【正确答案】B解一元二次不等式求得集合A ，根据集合的关系得到关于m 的不等式组，解出即可.【详解】因为{}2430{|1A xx x x x =-+>=<∣或3}x >，{4}B x m x m =<≤+∣，且A B ⋃=R ，所以有143m m <⎧⎨+≥⎩，解得11m -≤<，故选：B.方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：（1）根据一元二次不等式的解法求得集合A ；（2）根据两集合的并集为R ，得到关于m 的不等式组，求得结果.5．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【正确答案】D【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.6．已知1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1334c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．c a b d >>>C ．d c a b >>>D ．b a c d>>>【正确答案】B根据幂函数单调性、指数函数的单调性和对数函数的单调性可得四者之间的大小关系.【详解】因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，故113222303⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝>⎭，故0a b >>，又13y x =为()0,∞+上的增函数，故11333243>⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c a >，而2log y x =为()0,∞+上的增函数，故222log log 103<=，故0d <，故c a b d >>>，故选：B.7．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(4)f x f x =+，若(1)6f =，则()()22log 128log 16f f +=（）A ．6B ．0C ．6-D ．12-【正确答案】C根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质可求得结果.【详解】因为()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期4T =，因为函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，所以(0)0f =，(1)(1)6f f -=-=-，所以()()22log 128log 16f f +=7422(log 2)(log 2)f f +(7)(4)f f =+()()870f f =-++(1)(0)f f =-+(1)(0)f f =-+60=-+6=-.故选：C关键点点睛：根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质求解是解题关键.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知函数()121123x x f x +=-+，则函数[()]y f x =的值域是A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【正确答案】D【分析】化简函数()1215215,12331233x x x f x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭，根据[]x 表示不超过x 的最大整数，可得结果.【详解】函数()1215215,12331233x x xf x +⎛⎫=-=-∈- ⎪++⎝⎭，当()103f x -<<时，()1y f x ==-⎡⎤⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0y f x ==⎡⎤⎣⎦；当()513f x ≤<时，()1y f x ==⎡⎤⎣⎦，∴函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0,1-，故选D.本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、多选题9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．11b b a a +>+C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【正确答案】AC【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.【详解】解：对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，故A 正确；对于B ，()()()()111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--=+++，由于0a b >>，所以()0,10b a a a -+，则101b b a a +-<+，即11b b a a +<+，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，所以11b a >，所以11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于0a b >>，则0,0a b ab ->>，但ab 与1的大小不确定，故D 错误.故选：AC.10．函数()cos()f x x =+ωϕ0ω>||2ϕπ<的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．34x =是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 的对称中心是1,04k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Zk ∈【正确答案】CD由函数的图象有112T =，可判断A ；由11cos =044f πϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和2πϕ<可判断B ；由函数()f x 的对称轴为：,4x k k Z ππππ+=+∈，可判断C ；由函数()f x 的对称中心,42x k k Z ππππ+=+∈，可判断D 正确.【详解】由函数的图象有112T =，则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 错误；由图象可得，11cos =044f πϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<，所以4πϕ=，所以B 不正确；所以函数()f x 的对称轴为：,4x k k Z ππππ+=+∈，即3,4x k k Z =+∈，当0k =时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确；所以函数()f x 的对称中心满足：,42x k k Z ππππ+=+∈，即1,4x k k Z =+∈，所以函数()f x 的对称轴心为1,04k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以D 正确.故选：CD.本题考查根据图象求余弦型函数的解析式，关键点是根据图象得到周期，从而求出ω，再代入图象过的特殊点得到ϕ的值，考查了学生识图的能力及对基础知识的掌握情况.11．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足：①对任意,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f x y f x f y ⋅=+；②当1x >时，()0f x >，且(2)1f =．则下列结论正确的是（）A ．(1)(1)0f f =-=B ．函数()f x 是奇函数；C ．函数()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为2【正确答案】ACD先求()1f -的值，令1y =-，推出()()(1)f x f x f -=+-，()()f x f x -=．结合函数奇偶性的定义，判断函数()f x 的奇偶性；利用函数单调性的定义，直接判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性；通过奇偶性，单调性，直接求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值；【详解】令1x y ==，则()()()1111f f f ⨯=+，得()10f =；再令1x y ==-，则()()()()1111f f f ⎡⎤-⨯-=-+-⎣⎦，得()10f -=．A 正确；对于条件()()()f x y f x f y ⋅=+，令1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，所以()()f x f x -=．又函数()f x 的定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数，B 错；任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则有211x x ＞．又∵当1x >时，()0f x >，∴210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭而()()()22211111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数，C 正确；∵()4(22)(2)(2)f f f f =⨯=+，又()21f =，∴()42f =．又知函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为()()442f f -==，D 正确．故选：ACD思路点晴：通过赋值求得(1)(1)0f f =-=，用奇偶性定义和单调定义判断其奇偶与单调性，再结合性质求得最值.12．已知函数()11f x x =--，则关于x 的方程2[()]()10f x k f x +⋅+=，下列叙述中正确的是（）A ．当2k =-时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有3个不同的实数根B ．当2k =时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根C ．当2k >时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有5个不同的实数根D ．当2k <-时，方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有6个不同的实数根【正确答案】ABD作出函数()11f x x =--的图象，当2k =-时，求出()1f x =，根据图象可知A 正确；当2k =时，求出()1f x =-，根据图象可知B 正确；当2k >时，求出()f x =或()f x =，根据2k >0<<，由图可知C 不正确；当2k <-时，求出()2k f x -=或()2k f x -+=，根据2k <-判断出012k --<，12k ->，由图可知D 正确.【详解】()11f xx =--2,22,12,01,0x x x x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≤⎩，其图象如图：当2k =-时，2[()]()10f x k f x +⋅+=化为2[()]2()10f x f x -+=，即()1f x =，由图可知，方程()1f x =有3个不同的实数根，即方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有3个不同的实数根，故A 正确；当2k =时，2[()]()10f x k f x +⋅+=化为2[()]2()10f x f x ++=，即()1f x =-，由图可知，方程()1f x =-无实数根，即方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根，故B 正确；当2k >时，由2[()]()10f x k f x +⋅+=得()f x =或()f x =，0<02k k -+<=，由图可知，()2k f x -=无实数根且()2k f x -+=无实数根，所以方程2[()]()10f x k f x +⋅+=无实数根，故C 不正确；当2k <-时，由2[()]()10f x k f x +⋅+=得()2k f x -=或()2k f x -+=，02k k -+>=，21222k k --<<=，所以由图可知，方程()f x =有4个不等的实数根，2122k ->>=，所以由图可知，方程()2k f x -=有2个不等的实根，并且以上6个实根均不相等，所以方程2[()]()10f x k f x +⋅+=恰有6个不同的实数根，故D 正确.故选：ABD关键点点睛：由2[()]()10f x k f x +⋅+=求出()f x 的值，并判断该值的范围，再结合()f x 的图象分析求解是解题关键.三、填空题13．若点1)P -在角α的终边上，则sin α=________．【正确答案】12-根据正弦函数的定义可求sin α的值.【详解】因为1)P -，故2OP =，故11sin 22α-==-，故答案为.12-14．设4log ,0(),0x x x f x a b x >⎧=⎨+≤⎩，已知(0)0f =，(1)2f -=，则((2))f f -=________．【正确答案】32根据(0)0f =，(1)2f -=，求出,a b ，再根据解析式求出(2)f -和((2))f f -即可得解.【详解】因为(0)0f =，(1)2f -=，所以10b +=，12a b -+=，解得1b =-，13a =，所以21(2)183f -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以23423(8)log 8log 22f ===，即((2))f f -=32.故答案为.32关键点点睛：根据(0)0f =，(1)2f -=，求出,a b 是解题关键.15．已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ的值为________．【正确答案】38-先利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式得到tan θ的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后可得所求的三角函数式的值.【详解】因为3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，故3sin cos 0θθ--=，故cos 0θ≠（否则()310-⨯±=，矛盾），所以1tan 3θ=-，又222sin cos sin cos tan 3cos 2cos sin 1tan 8θθθθθθθθθ===---，故答案为.38-方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16．若两个正实数,x y1,=26m m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是__________．【正确答案】8【详解】1,44⎛⎫=+816≥+，当=64,4x y ==时等号成立.26m m ≥-恒成立，则2166m m ≥-，解得-28m ≤≤，则实数m 的最大值是8.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.四、解答题17．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+0ω>||2ϕπ<的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->；③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭；问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=α的值．【正确答案】（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间；（Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果.【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=，选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+，因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =，所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，Z k ∈，所以6k πϕπ=+，Z k ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(26f x x π=+，选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭1-=14cos sin cos 122x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππkπkπ-++，Z k ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(26πα+=sin(26πα+=因为02πα<<，所以72666πππα<+<，所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.18．已知函数2()1f x kx kx =-+．（1）若x ∀∈R ，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(2)7f -=，解关于x 的不等式：()log 3a f x >．【正确答案】（1）[0,4)，（2）当01a <<时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ ，当1a >时，不等式的解集为21(0,(,)a a+∞ （1）当0k =时，满足条件，当0k ≠时，由题意得00k >⎧⎨∆<⎩，从而可求出实数k 的取值范围；（2）先由(2)7f -=求出1k =，由()log 3a f x >得2(log )log 20a a x x -->，解得log 1<-a x 或log 2a x >，然后分01a <<和1a >两种情况解不等式即可【详解】解：（1）当0k =时，()10f x =>恒成立；当0k ≠时，由x ∀∈R ，()0f x >恒成立，得00k >⎧⎨∆<⎩，即0()()40k k k k >⎧⎨-⋅--<⎩，解得04k <<，综上，实数k 的取值范围为[0,4)，（2）由(2)7f -=，得4217k k ++=，解得1k =，所以2()1f x x x =-+，由()log 3a f x >，得2(log )log 13a a x x -+>，即2(log )log 20a a x x -->，(log 1)(log 2)0a a x x +->，解得log 1<-a x 或log 2a x >，当01a <<时，得1x a>或20x a <<，当1a >时，得10x a<<或2x a >，所以当01a <<时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ ，当1a >时，不等式的解集为21(0,)(,)a a+∞ 关键点点睛：此题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，解题的关键是由()log 3a f x >，得2(log )log 20a a x x -->，得log 1<-a x 或log 2a x >，然后分01a <<和1a >两种情况解对数不等式即可，属于中档题19．已知02πα<<，4sin 5α=．（1）求tan 2α的值；（2）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）若02βπ<<且1cos()3αβ+=-，求sin β的值．【正确答案】（1）247-，（2）（3）415（1）由02πα<<，4sin 5α=，可求出3cos 5α=，从而可求出4tan 3α=，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sin()3αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果【详解】解：（1）因为02πα<<，4sin 5α=，所以3cos5α===，所以4sin45tan3cos35ααα===，所以22422tan243tan21tan7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）cos2cos2cos sin2sin444πππααα⎛⎫+=-⎪⎝⎭(cos2sin2)2αα=-2(12sin2sin cos)2ααα=--1643222555=-⨯-⨯⨯=，（3）因为02πα<<，02βπ<<，所以0αβ<+<π，因为1cos()3αβ+=-，所以sin()αβ+==所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sinαβααβα=+-+3144()353515=--⨯=关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题20．已知函数1()2f x xx=+-，()4(1)xg x a a=->．（Ⅰ）证明：函数()f x在[3,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若1[3,)x∀∈+∞，2[3,)x∃∈+∞，使得()()12f xg x=，求实数a的最大值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.（Ⅰ）利用单调性的定义证明即可；（Ⅱ）由题意可知，函数()f x在[3，+∞)的值域是函数()h x在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.【详解】（Ⅰ）取12,[3,)x x∀∈+∞，且12x x<，则12121211()()22f x f x x x x x -=+----21121212121()[1(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x -=-+=------，因为123x x ≤<，所以120x x -<，1221,11x x -≥->，12110(2)(2)x x ->--，所以12121()[10(2)(2)x x x x --<--，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[3,)+∞上单调递增；（Ⅱ）由题意可知，函数()f x 在[3，+∞)的值域是函数()h x 在[3,+∞)上值域的子集，2221(2)2(2)1()22x x x x f x x x -+-+-+==--122242x x =-++≥+=-，等号成立的条件是122x x -=-，即x =3时等号成立，即函数()f x 在[3,+∞)的值域是[4,+∞)，()4(1)x g x a a =->，是增函数，当x ∈[3,+∞)时，函数()g x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：1<a ≤2，所以实数a 的最大值是2.方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）利用函数单调性的定义，按取值、比较大小、得出结论的步骤证明即可；（2）根据题意，将问题转化为两个函数值域的关系，建立不等关系式求得结果.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()252,0250,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这水果的时常售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润()f x （单位：元）.(1)求()f x 的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()27530150,0275030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩(2)4，480元.【分析】（1）()()152010f x W x x x =--，代入分段函数化简即可；（2）结合二次函数性质及基本不等式求分段函数最值即可.【详解】（1）()()()2275230,027530150,0215201075075030,2530,2511x x x x x x f x W x x x x x x x x x x x⎧+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪=--==⎨⎨-<≤-<≤⎪⎪+⎩+⎩；（2）()()22175147,027530150,02575030,2525780301,2511x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩，当02x ≤≤时，()()max 3902f x f ==；当25x <≤时，()()25780301780304801f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当25141x x x=+⇒=+时等号成立.由390480<得当4x =时，()max 480f x =.所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元22．已知函数1()ln1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围；（3）若存在,(1,)αβ∈+∞，且αβ<，使得函数()f x 在区间[,]αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）1k =；（2）(),3ln 2-∞-；（3）209m <<.（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据复合函数单调性法则，可以判断出函数在给定区间上的单调性，之后将恒成立问题转化为最值处理；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+¥上递增，方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln1x f x x -=+的定义域关于原点对称．所以1k =为满足题意的值．（2）由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，()12ln ln(1)11x f x x x -==-++可以判断出()f x 在()1,+¥上为增函数．所以()f x 在()3,5上为增函数，对任意[3,5]x ∈都有()3f x t >-成立，则有min ()3f x t >-，所以31(3)ln 331f t -=>-+，所以3ln 2t <-，所以求t 的取值范围为(),3ln 2-∞-；（3）由（2）知()f x 在()1,+¥上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+¥上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =-则21124(1)4(1)022(1)00m m m m m h m m >⎧⎪⎪->⎪⎪⎪∆=--->⎨⎪=>⎪⎪⎪⎪⎩，即0205229m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或，解得209m <<．关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用、函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义确定函数性质是解决本题的关键.。

故选：C
4. 下列函数中与函数 y = x 2 是同一函数的是（
A u = v2
.
）
B. y = x × | x |
C. y =
x3
x
D. y = ( x ) 4
【答案】A
【解析】
【分析】
2
逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与 y = x 一致，进而得出答案.
2
【详解】函数 y = x 的定义域为 R
x +1
1
¹ 1 ，函数 f ( x) 值域为 y y ¹ 1 ，C 错误；
对于 C， f ( x) = 1 +
x +1
1
> 1 ，则 0 < x + 1 < 1 ，解得 -1 < x < 0 ，
对于 D，由 f ( x) > 2 ，得
x +1
对于 B， f ( x) = 1 +
f ( x) > 2 的解集为 (-1, 0) ，D 正确.
【详解】由题意可知 f 0 = 0, f -2 = 0 ，且 f x 在 -¥, -1 上单调递增，在 -1, 0 上单调递减，如
图：
当 x Î -¥ , - 1 时， x + 1 < 0,1 - x > 2 ，故 f 1 - x > 0 ，此时 x + 1 f 1 - x < 0 ；
4
þ
故选:B．
8. 已知函数 f x 为定义在 R 上的奇函数，且在 0,1 为减函数，在 1, +¥ 为增函数， f 2 = 0 ，则不等
式 x + 1 f 1 - x ³ 0 的解集为（