2019-2020学年湖南省岳阳市高一下学期高中教学质量监测试卷数学试题

2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 高二1班有50名学生，随机编的学号为1，2，....，50，现用系统抽样方法，从中选出5名学生，则这5名学生的学号可能是( )A. 6、16、26、36、46B. 5、12、24、36、48C. 7、17、23、31、45D. 2、12、26、31、442. 用秦九韶算法在计算f(x)=2x 4+3x 3−2x 2+4x −6时，要用到的乘法和加法的次数分别为( )A. 4，3B. 6，4C. 4，4D. 3，43. 把18化为二进制数为( )A. 1010(2)B. 10010(2)C. 11010(2)D. 10011(2)4. 有以下五组变量：①某商品的销售价格与销售量；②学生的学籍号与学生的数学成绩；③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；④气温与冷饮销售量；⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量.其中两个变量成正相关的是( )A. ①③B. ②④C. ②⑤D. ④⑤5. 如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为s 2，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5的平均值和方差分别为( )A. x 和s 2B. 3x +5和9s 2C. 3x +5和s 2D. 3x +5和9s 2+30s +256. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A. 颜色全相同B. 颜色不全相同C. 颜色全不相同D. 颜色无红色7. 一个样本数据：1，1，2，3，3，3，3，4，5，5的平均数和众数分别是( )A. 3、5B. 4、5C. 3、3D. 3、不存在 8. 已知事件A ，B ，若P(A)=15，P(B)=13，P(A ∪B)=815，则A ，B 之间的关系一定为( )A. 两个任意事件B. 互斥事件C. 非互斥事件D. 对立事件9.为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是()A. 56B. 58C. 59D. 6010.如图所示的答案，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图案是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图案为“和谐图形”的概率为()A. 310B. 15C. 110D. 32011.下面为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为()S=0i=1DOINPUT xS=S+xi=i+1LOOP UNTIL__________a=S/20PRINT aENDA. i>50B. i<50C. i>=50D. i<=5012.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为4，俯视图(外围)为正方形，则该几何体的体积为()A. 323B. 643C. 32D. 64二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.盒中装有2个白球和3个黑球，从中任取两个，则取出1个白球1个黑球的概率为_________．14.三个数324，243，135的最大公约数______ ．15.如图所示，该程序框图输出的结果是______．16.甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张(不放回)，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的定义域．(1)y=x+1；x2−4(2)y=1；√|x|−2(3)y=√x2+x+1+(x−1)0．18.已知函数f(x)=2x2−1(Ⅰ)用定义证明f(x)是偶函数；(Ⅱ)用定义证明f(x)在(−∞,0)上是减函数．19.如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE//平面BFD；20.已知圆C：x2+y2−8y+12=0，直线l经过点D(−2,0)，(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，求直线l的方程．21.为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A、B、C三个城市中，抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究，有关数据见表：(单位：个)(1)求x、y的值；(2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市A的概率．22.从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55,65),[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1．(1)求这些分数落在区间[55,65]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55,75]内的概率．【答案与解析】1.答案：A解析：利用系统抽样，推导出号码间隔为10.本题考查所选学生学号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．解：利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，由此得到B、C、D均错误，A正确．故选A．2.答案：C解析：解：∵f(x)=2x4+3x3−2x2+4x−6=(((2x+3)x−2)x+4)x−6，∴用到的乘法的次数为4次，用到的加法的次数为4次．故选C．由秦九韶算法能够得到f(x)=2x4+3x3−2x2+4x−6=(((2x+3)x−2)x+4)x−6，由此能够求出结果．本题考查秦九韶算法的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：解：18÷2=9 09÷2=4 (1)4÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故18(10)=10010(2)故选：B．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．4.答案：D解析：本题考查两个变量的相关性，仔细理解分析即可．解：①某商品的销售价格与销售量，可知为负相关，价格越低销量越高，②学生的学籍号与学生的数学成绩，可知两个变量无关，③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，可知为负相关，人数越多，患胃病人数则越少，④气温与冷饮销售量，可知为正相关，气温越高，冷饮销售量越高，⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量，可知为正相关，重量越大，耗电越大．故选D．5.答案：B解析：解：由定义知：x=x1+x2+⋯+x nn ，s2=(x1−x) 2+(x2−x) 2+⋯+(x n−x) 2n所以3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值=(3x1+5)+(3x2+5)+⋯+(3x n+5) n =3×x1+x2+⋯+x nn+5=3x+5；方差=[(3x1+5)−(3x+5)] 2+[(3x2+5)−(3x+5)] 2+⋯+[(3x n+5)−(3x+5)] 2n=9×(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2n=9s2．故选：B．先根据平均值和方差的定义表示出数据x1、x2、…、x n的平均值x和方差s n，然后分别表示出3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值和方差，整体代入可得值．考查学生会求一组数据的平均值和方差，会利用整体代入的数学思想解决数学问题．6.答案：B解析：本题考查等可能事件概率的计算，属于中档题．注意有放回与无放回抽样的区别，其次还要注意求解时，结合对立事件、相互独立事件的概率公式，可以简化计算．解：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327=19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427=89；颜色全不相同的结果有6种，其概率为627=29；无红球的情况有8种，其概率为827．故选B．7.答案：C解析：解：平均数是：1×2+2+3×4+4+5×210=3，众数是：3，故选：C．根据平均数，众数的定义，分别求出即可．本题考查了众数，平均数问题，是一道基础题．8.答案：B解析：本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题目．利用事件A、B互斥⇔P(A)+P(B)=P(A∪B)可得解．解：因为P(A)+P(B)=15+13=815=P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件，故选B．9.答案：D解析：本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力，属于基础题．解：根据直方图中各个矩形的面积之和为1，第4和第5组的频率和为(0.0375+0.0125)×5=0.25，可知前3个小组的频率之和为1−0.25=0.75，∵从左到右的前3个小组的频率之比为1︰3︰5，∴第2组的频率为0.75×31+3+5=0.25，而第2小组的频数为15，所以样本容量为150.25=60，故选D．10.答案：B解析：本题考查古典概型的计算，属基础题．使用列举法或排列组合知识即可得知从1，2，3，4，5中任取两个数的不同标法种数，以及符合和写数要求的标法种数，然后可得概率．解：现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，共有标注方法A52=5×4=20种，且每种标注结果都是等可能的，恰好使该图形为“和谐图形”的必须使新标的两个数之和为20−14=6，即为(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)四种不同的标注方法，∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为420=15．故选B．11.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用，熟悉循环结构是解答本题的关键，属于基础题．解：由程序的功能是求50个数的平均数，则循环体共需要执行50次，由循环变量的初值为1，步长为1．故当循环50次时，此时循环变量的值为51，应退出循环，又因直到型循环是满足条件退出循环，本题即i>50时退出循环．故选A．12.答案：B解析：根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．解：由三视图知几何体为四棱锥，且其中一条侧棱垂直于底面，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为4，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为4，∴该四棱锥的体积为13×42×4=643．故选：B．13.答案：35解析：本题考查等可能事件的概率公式，本题解题的关键是写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，再用公式求解．依题意，由组合数公式可得摸出两个球与两球1白1黑情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案解：袋中共有5个球，摸出两个球共有方法C52=10种，袋中装有2个白球和3个黑球，则1个白球1个黑球有C21⋅C31=6种．∴取出1个白球1个黑球的概率为610=35，故答案为35．14.答案：27解析：解：∵324=243×1+81，243=81×3+0，∴324与243的最大公约数为81，又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，∴81与135的最大公约数为27，∴三个数324，243，135的最大公约数为27，故答案为：27利用辗转相除法，求出三个数的最大公约数即可．此题考查了用辗转相除计算最大公约数，熟练掌握辗转相除法是解本题的关键．15.答案：15解析：本题主要考查了程序框图和算法，依次得到每次循环x，y的值是解题的关键，属于基础题．模拟执行框图，依次写出每次循环得到的x，y值，直到满足条件退出循环，输出y的值．解：模拟执行程序框图，可得①y=20−1=19，x=20+19=39，②y=18，x=39+18=57；③y=17，x=57+17=74；④y=16，x=74+16=90>90不成立；⑤y=15，x=90+15=105>90成立，所以输出15；故答案为15．16.答案：13解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都未抽到标有数字3的卡片的基本事件的个数，由此能求出概率．解：甲、乙两人各抽取1张的基本事件有12，13，23，31，32，21共6个，其中两人均未抽到标有数字3的卡片12，21共2个，故所求的概率P =26=13．故答案为13． 17.答案：解：(1)要使函数y =x +1x2−4有意义，应满足x 2−4≠0，∴x ≠±2，∴定义域为{x ∈R|x ≠±2}．(2)函数y =有意义时，|x|−2>0，∴x >2或x <−2．∴定义域为{x ∈R|x >2或x <−2}．(3)∵x 2+x +1=(x +12)2+34>0，∴要使此函数有意义，只须x −1≠0，∴x ≠1，∴定义域为{x ∈R|x ≠1}．解析：定义域即使得函数有意义的自变的取值范围，根据分母不能为零，负数不能开偶次方根，0的0次幂没有意义等，即可得出答案．本题主要考查定义域的求法，注意分式函数，根数函数和一些基本函数的定义域的要求．18.答案：(Ⅰ)证明：函数f(x)的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都有f(−x)=2(−x)2−1=2x 2−1=f(x)，∴f(x)是偶函数．(Ⅱ)证明：在区间(−∞,0]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则有f(x 1)−f(x 2)=(2x 12−1)−(2x 22−1)=2(x 12−x 22)=2(x 1−x 2)⋅(x 1+x 2)，∵x 1，x 2∈(−∞,0]，x 1<x 2，∴x 1−x 2<0，x 1+x 2<0，即(x 1−x 2)⋅(x 1+x 2)>0∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x)在(−∞,0)上是减函数．解析：(Ⅰ)由偶函数的定义即可证明；(Ⅱ)根据定义法证明单调性的步骤即可证明．本题考查函数奇偶性与单调性的证明，属于基本概念与基本方法考查题，此类题要求熟练掌握，保证不失分．19.答案：解：(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD//BC，∴BC⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，而AE⊂面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．(2)证明：依题意可知：G是AC中点，连结FG，∵BF⊥平面ACE，CE在面ACE内，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．在△AEC中，FG//AE，又FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，∴AE//平面BFD．解析：(1)根据AD⊥平面ABE，AD//BC可得BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，而BC∩BF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论；(2)依题意可知G是AC中点，根据BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，从而F是EC中点，根据中位线定理可知FG//AE又FG⊄平面BFD，AE⊄平面BFD，满足线面平行的判定定理的三个条件，从而得证．本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)将圆C的方程x2+y2−8y+12=0配方得标准方程为x2+(y−4)2=4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2．所以CD的中点E(−1,2)，可得|CD|=√22+42=2√5，∴r=√5，得圆E的方程为(x+1)2+(y−2)2=5；(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y−0=k(x+2)⇔kx−y+2k=0，∵|CA|=2，且△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C到直线l的距离d=√k2+1=√22|CA|=√2．解之得k=1或k=7，所求直线l的方程为：x−y+2=0或7x−y+14=0．解析：本题求圆的方程和直线l的方程，着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和两点间的距离公式等知识，属于中档题．(1)将圆C化成标准方程，得圆心为C(0,4)，半径为2.从而得到CD的中点E(−1,2)，得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径r=√5，即得以线段CD为直径的圆E的方程；(2)设直线l的方程为：y−0=k(x+2)，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解之可得实数k的值，得到直线l的方程．21.答案：解：(1)由题意得x 4=28y=846，∴x=56，y=2．(2)记从城市A所抽取的民营企业编号分别为a，b，c，d，从城市B抽取的民营企业编号分别为1，2．则从城市A、B抽取的6个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，共15个，都是等可能的，记“这2个都来自城市A”为事件X，来自城市A：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个．∴P(X)=615=25．故这2个都来自城市A的概率为25．解析：本题考查抽样的性质，列举法求古典概型概率，属于中档题．(1)直接利用抽样的性质求x、y的值即可；(2)设从城市A所抽取的民营企业编号分别为a，b，c，d，从城市B抽取的民营企业编号分别为1，2.列举所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可．22.答案：解：(1)设区间[75,85)内的频率为x，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x．依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1，解得x=0.05.所以区间[55,65]内的频率为0.2．(2)由(1)得，区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×0.30.3+0.2+0.1=3个，记为A1，A2，A3．在区间[55,65)内应抽取6×0.20.3+0.2+0.1=2个，记为B1，B2．在区间[65,75)内应抽取6×0.10.3+0.2+0.1=1个，记为C．设“从样本中任意抽取2个分数，这2个分数都在区间[55,75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,C}，{A2,A3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,C}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A3,C}，{B1,B2}，{B1,C}，{B2,C}，共15种．事件M包含的基本事件有：{B1,B2}，{B1,C}，{B2,C}，共3种．所以这2个分数都在区间[55,75]内的概率为315=15．解析：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率公式，属于中档题．(1)由题意，利用分数落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4：2：1，即可求出分数落在区间[55,65]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．。

2019-2020学年湖南省岳阳一中高一下学期统考模拟数学试题一、单选题1．已知{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A ．{5}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{2,4,5,6}【答案】A【解析】本题根据交集的运算直接计算即可. 【详解】集合{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，则{5}A B =，故选：A. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．4D ．4-【答案】D【解析】由//a b 得：()122m ⨯=⨯-，即可得答案. 【详解】 因为//a b ，所以()122m ⨯=⨯-，解得：4m =-， 故选：D 【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.3．如果圆C ：(x -a )2+(y -3)2=5的一条切线的方程为y =2x ，那么a 的值为（ ） A ．4或1 B ．-1或4C ．1或-4D ．-1或-4【答案】B【解析】根据圆心到直线的距离等于半径可求得答案. 【详解】因为圆C ：(x -a )2+(y -3)2=5的圆心为()3C a ，，半径r =所以圆心为()3C a ，到直线y =2x=，解得a =-1或4，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.4．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( ) A ．－2 B ．－7C ．3D ．1【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB 的中点1(,0)2m+，在直线220x y +-=上， 把中点坐标代入直线方程，解得3m =，故选C .5．已知函数25,1,()21,1,x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩则(1)f =（ ）A ．3B ．13C ．8D ．18【答案】A【解析】将1x =代入221y x =+即可求得()f x 的值.【详解】将1x =代入221y x =+，得()212113f =⨯+=，故选：A 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于基础题. 6．sin 210︒的值为（ ） A ．12B ．12-CD ． 【答案】B【解析】由诱导公式可得1sin210302sin ︒=-︒=-，故选B. 7．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ） A ．2x y = B ．2yx C ．2log y x =D ．21y x =+【答案】D【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x-=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.8．如下图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1423B．2843C．2803D．1403【答案】B【解析】由已知条件和三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、4的长方体，砍去的一个角是三条侧棱长都为2的三棱锥后剩下的几何体．据此即可计算出原几何体的体积．【详解】解：由已知条件和三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、4的长方体，砍去的一个角是三条侧棱长都为2的三棱锥后剩下的几何体．∴该多面体的体积11284 644222323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故答案为2843．【点睛】由三视图弄清原几何体的形状是解题的关键．9．函数f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,10)C．(10,100)D．(100，＋∞)【答案】B【解析】函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增，∵()()1f 110f 101010=-=-，， ∴在（1，10）内函数f （x ）存在零点， 故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．10．已知2log 0.3a =， 0.32b =， 20.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】【详解】2log 0.30a =<，0.312b =>，200.31c <=<，∴b c a >>.故选：D ．11．与直线2:10l mx m y --=垂直于点(2,1)P 的直线的一般方程是 （ ） A ．30x y +-= B ．30x y ++= C ．30x y --=D ．210m x my +-=【答案】A【解析】由已知可得22101111(2)30m m m k y x x y --=⇒=⇒=⇒-=--⇒+-=这就是所求直线方程，故选A.12．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM ED ②//EF CD③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥以上四个命题中，正确的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．②③④【答案】D【解析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断. 【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确. 故选:D 【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.二、填空题13．已知集合{}1,2A =,{}1,B x =-.若{}2A B ⋂=，则x ＝______. 【答案】2.【解析】根据交集的运算分析即可. 【详解】因为{}2A B ⋂=,故{}21,B x ∈=-,故2x =.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据集合的交集结果求参数的问题,属于基础题. 14．函数sin 2cos2y x x =+的最小正周期T =________． 【答案】π【解析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】2sin 2cos2)42y x x x T πππ=+=+∴==故答案为π 【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．函数2()log (1)f x x =-的零点为_____________. 【答案】2【解析】令2()log (1)0f x x =-=，解方程即可. 【详解】令2()log (1)0f x x =-=，即11x -=，解得：2x =， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.16．若圆锥的侧面展开图是半径为1cm ，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的轴截面面积等于_______.【答案】29cm 【解析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，可得答案． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得：2πr 23=π×1，解得r 13=．故圆锥的高h 3==，∴这个圆锥的轴截面面积S 2122339cm =⨯⨯=．故答案为：29cm ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．属于基础题.三、解答题17．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+. （1）当()f x 为奇函数时，求a 的值；（2）证明：对于任意 ,()a f x 在R 上为增函数. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可以有()00f =，代入得：02021a -=+，解之并验证为奇函数； （2）利用单调性定义证明()f x 为R 上的增函数，首先取值：设12,x x 为R 上任意两个不等实数，且12x x <，作差，判断()()1212112121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的符号，可得证． 【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，所以有()00f =， 代入得：02021a -=+，解得1a =， 此时221()12121x x x f x -=-=++， 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，所以1a =；（2）任取1212,,x x R x x ∈<， 则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++ 21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x-=++，由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <，所以1222x x <，即12220x x -<， 又由20x >，得1120x +>，2120x +>， ∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 【点睛】本题主要考察函数的奇偶性和函数单调性的定义、证明．利用定义证明函数的单调性，一般步骤是：取值--作差--变形--定号--下结论．属于中档题． 18．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间.【答案】（1）,8x k k Z ππ=+∈时，max ()f x =（2）3(,),88k k k Z ππππ-++∈.【解析】（1）利用倍角公式对函数进行化简得：())4f x x π=+，进而得到函数的最大值及对应的x 的值; （2）将24x π+代入sin x 的单调递增区间(2,2)22k k ππππ-++，即可得答案；【详解】解：（1）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，当22,42x k k Z πππ+=+∈，即,8x k k Z ππ=+∈时，max ()f x =（2）由题意得：24222,2k x k k Z πππππ-+<+<+∈，∴函数()f x 的单调增区间为3(,),88k k k Z ππππ-++∈. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的最值和单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）由中位线定理可得EF ∥CD ，故EF ∥平面BCD ； （2）以BCD 为底面，则棱锥的高为AB ，代入体积公式计算即可． 【详解】（1）∵点E ，F 分别是AC ，AD 的中点，∴EF ∥CD ，又∵EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴//EF 平面BCD ； （2）∵AB ⊥平面BCD ，∴∠ADB 为直线AD 与平面BCD 所成的角，45,4ADB AB BD ∴∠=︒∴==，∵BC ⊥BD ，162BCDBC SBD ∴=⨯⨯=, ∴三棱锥A ﹣BCD 的体积183BCD V s AB =⋅=．20．已知圆22:414450C x y x y +--+=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长； （2）若直线7:2l y x =与圆C 相交于A B 、两点，求AB 的长； 【答案】（1）()2,7C ，22r =（2）2【解析】（1）将圆的方程化为标准形式即可得圆心和半径； （2）经检验圆心()2,7C 在直线7:2l y x =上，所以AB 即为直径，即可求出AB 的长. 【详解】（1）由22414450x y x y +--+=得()()22278x y -+-=， 所以圆心为()2,7C ，半径为22r =（2）圆心()2,7C 在直线7:2l y x =上， 所以AB 即为圆C 的直径，所以AB 的长为【点睛】本题主要考查了由圆的一般方程求圆的圆心与半径以及直线与圆相交所得的弦长，属于基础题.21．已知点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，求ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程． 【答案】5150x y +-= 【解析】【详解】设边AB 的中点(,)D x y ,则由中点公式可得：()()11240,322x y -+==== ,即点D坐标为()0,3 所以边AB 上的中线先AB 的斜率321055k --==- 则由直线的斜截式方程可得：1351505y x x y =-+⇒+-= 这就是所求的边AB 上的中线所在的直线方程.22．在ABC 中，设BC CA CA AB ⋅=⋅. （1）求证：ABC 为等腰三角形； （2）若2BA BC +=且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC ⋅的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）BC CA CA AB ⋅=⋅ ，知()0CA BC AB ⋅-=，由0AB BC CA ++=，知()CA AB BC =-+，所以220AB BC -=，即可证明ABC 为等腰三角形；（2）由2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设AB BC a ==，由2BA BC +=，知2222cos 4a a a B ++=，所以221cos a B=+，由此能够求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】（1）因为BC CA CA AB ⋅=⋅， 所以()0CA BC AB ⋅-=，r因为0AB BC CA ++=，所以()CA AB BC =-+，所以()AB BC -+()0BC AB ⋅-=，所以220AB BC -=， 所以AB BC =，故ABC 为等腰三角形， （2）因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设AB BC a ==， 因为2BA BC +=，所以24BA BC +=，所以2222cos 4a a a B ++=，所以221cos a B=+， 又因为2cos BA BC BA BC B a ⋅==2cos 2cos 21cos 1cos B B B B ==-++， 11cos 22B -≤≤，22221cos 3B -≤-≤+，即22,3BA BC ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了向量的加法和线性运算，是向量的综合应用，属于中档题.。

2019-2020学年湖南省岳阳市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A B =I ( ).A ．()23，B ．[)23， C ．[]42-，D ．()43-，【答案】B【解析】求解一元二次不等式的解集，化简集合A 的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出A B I . 【详解】因为{}{}228024A x x x A x x x =+-≥⇒=≥≤-或，所以23[2,3)B x A ≤<==I ，故本题选B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B C 与直线11A C 所成角是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案. 【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力. 3．sin160cos10cos20sin170︒︒+︒︒=( ). A ．3 B ．32C ．12-D ．12【答案】D【解析】运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】1sin160cos10cos 20sin170sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=,故本题选D. 【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.4．已知,a b v v 是不共线的向量，2,(1)AB a b AC a b λλ=+=+-u u u v u u u v v v vv ，且,,A B C 三点共线，则λ=（ ）． A ．-1 B ．-2C ．-2或1D ．-1或2【答案】D【解析】A ，B ，C 三点共线，可得存在实数k 使得AB =u u u r k AC u u u r，即可得出． 【详解】∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k 使得AB =u u urk AC u u u r ，∴2a b λ+=r r k ()1a b λ⎡⎤+-⎣⎦r r ，()21kk λλ=⎧⎨=-⎩，解得λ＝﹣1或2． 故选D ． 【点睛】本题考查了三点共线、方程思想方法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知tan 3α=，则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ).A ．38B ．916C ．1112D ．79【答案】C【解析】分子分母同时除以2cos α，利用同角三角函数的商关系化简求值即可. 【详解】因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.6．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ．22+ B ．122+ C ．222+ D ．12+【答案】A【解析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（ ）A ．48B ．64C ．120D ．80【答案】D【解析】先还原几何体，再根据锥体侧面积公式求结果. 【详解】几何体为一个正四棱锥，底面为边长为8的正方体，侧面为等腰三角形，底边上的高为5，因此四棱锥的侧面积为1458=802⨯⨯⨯，选D. 【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 9．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ､Q ､R 分别是AB ､AD ､B 1C 1的中点，那么正方体的过P ､Q ､R 的截面图形是（ ） A ．三角形 B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】由已知的三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，然后找出截面与正方体右侧面的交线，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点，利用公理3确定交线,RM PM ,同样的方法找出其它交线，即可得到截面. 【详解】由已知的三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点M ，利用公理3确定交线,RM PM ,同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示：故选：D 【点睛】本题考查几何体的截面图；考查空间想象能力和利用所学知识进行作图能力；利用公理3确定平面与平面的公共点，进而求出平面与平面的交线是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r, P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．0D ．12【答案】B【解析】直接利用向量的线性运算，化简求得1526EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v，求得,λμ的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：()1214111232326EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=+=+=--=-()1111522626AD AB AB AD AB =+-=-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=，所以511623λμ+=-+=-，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．已知函数1()2sin()2f x x x =+-, 则122018()()()201920192019f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅+的值等于（ ） A ．2019 B ．2018C ．20192D ．1009【答案】D【解析】由题意，化简函数()(1)1f x f x +-=，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数11()(1)2sin()(1)2sin(1)22f x f x x x x x +-=+-+-+-- 11111112sin()2sin()12sin()2sin[()]12sin()2sin()1222222x x x x x x =+-+-=+-+--=+---=设122018()()()201920192019S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅+， 则201820171()()()201920192019S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅+， 所以1201822018201812[()()][()()][()()]2018201920192019201920192019S f f f f f f =++++⋅⋅⋅⋅⋅++=， 所以1009S =，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数()(1)1f x f x +-=，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．13(3,)4B ．(2,3)C ．4(,4)3D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，作出函数()f x 的图象，令()f x t =，()23g t t t a =-+，结合函数()f x 的图象可知，只需函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出实数a 的取值范围即可. 【详解】根据题意，作出函数()f x 的图象如图所示：令()f x t =，由图可知，关于t 的方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不等的实数根， 令()23g t t t a =-+，则函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，所以()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得924<<a ，所以实数a 的取值范围为924<<a .故选：D 【点睛】本题考查分段函数图象的作法、一元二次方程根的分布问题及一元二次函数的性质；考查数形结合思想、换元思想和运算求解能力；正确作出函数()f x 的图象和熟练掌握一元二次函数的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.二、填空题13．幂函数()f x 的图象过点3)，则(4)f =_______． 【答案】2【解析】设出幂函数的解析式，由图象过()3,3,确定出解析式，然后令4x =即可得到()4f 的值. 【详解】设()af x x =，因为幂函数图象过()3,3， 则有133,2aa =∴=,即()12f x x =,()()12442f ∴==，故答案为2.【点睛】本题主考查幂函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.14．已知向量(cos ,sin ),(3,1)a b θθ==r r ， 若//a b r r ， 则sin cos θθ=_______.【答案】310【解析】利用平面向量共线的坐标表示和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为//a b r r ，由平面向量平行的坐标表示可得，1cos 3sin 0θθ⨯-⨯=，即cos 3sin θθ=，因为22cos sin 1θθ+=，所以21sin 10θ=， 所以23sin cos 3sin 10θθθ==. 故答案为：310【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量共线的坐标表示是求解本题的关键；属于基础题.15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为，则该球的表面积为__________． 【答案】【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，求出球的半径，求出球的表面积． 【详解】如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，，所以，所以，所以故答案为：． 【点睛】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．16．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】(,22-∞【解析】Q 函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，()()()(),xxe g x h x eg x h x -∴=+=-，()(),,22x x x xe e e e g x h x --+-∴==(]0,2x ∀∈Q 使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，即()()22222x xx xx xx x x x x xe ee ea e ee e e e e e-------++∴≤==-+---，设x xt e e-=-，则函数x xt e e-=-在(]0,2上单调递增，220t e e-∴<≤-，此时不等式222tt+≥，当且仅当2tt=，即2t=时，取等号，22a∴≤，故答案为(,22⎤-∞⎦.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x≥恒成立(()maxa f x≥可)或()a f x≤恒成立（()mina f x≤即可）；②数形结合(()y f x=图象在()y g x=上方即可)；③讨论最值()minf x≥或()max0f x≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a的范围.三、解答题17．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D-．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【答案】（Ⅰ）8123π（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】(Ⅰ)三棱锥1B ABC-的体积1114222323V=⋅⋅⋅⋅=，切去部分的体积为14164433V=⋅=正方体的体积为22228V =⋅⋅= ∴四面体的体积3168833V =-= (Ⅱ)∵正方体的棱长为2， ∴正方体的体对角线长为23，∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线 ∴外接球直径2R 23=，半径R 3=， ∴外接球表面积为2412S R ππ== 【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题18．已知()4,0A ,()0,4B ,()cos ,sin C αα，O 为坐标原点. （1）若OC AB P u u u v u u u v,求tan α的值；（2）若21OA OC +=u u u v u u u v ,且()0,απ∈ ，求•OB OC u u u v u u u v . 【答案】（1）1-（2）23【解析】（1）由向量平行的坐标运算列式直接求解即可；（2）先求得OA OC +u u u v u u u v的坐标，利用坐标表示向量的模长，列方程求得α，从而得13,2C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，利用向量坐标表示数量积即可得解. 【详解】 （1）依题，， 因为OC AB P u u u v u u u v，所以，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，包括共线、模长、数量积，属于基础题. 19．已知,αβ为锐角，45tan ,cos()35ααβ=+=-． （Ⅰ）求cos2α的值; （Ⅱ）求tan β的值．【答案】（Ⅰ）7cos2tan 225αβ=-=（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）sin 4tan cos 3ααα=结合22sin cos 1αα+=，求解即可；（Ⅱ）先求()sin αβ+，进而得()tan 2αβ+=-，利用两角和的正切公式展开求解即可 【详解】（Ⅰ）4sin 4tan ,tan ,sin cos 3cos 3Q αααααα==∴=． 2229sin cos 1,cos 25ααα+=∴=Q ，27cos22cos 125αα∴=-=-．（Ⅱ）,αβQ 为锐角，()()225sin 1cos αβαβ∴+=-+=()tan tan tan 221tan tan αβαβαβ+∴+=-∴=--，而4tan ,tan 23αβ=∴= 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，两角和的正切公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题20．已知向量2(cos ,sin 2)a x x r ωω=, 3)b =r (其中0>ω),函数()f x a b =⋅r r , 其最小正周期为π.(1)求函数()f x 的解析式. (2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）最大值为3，最小值为0 【解析】（I ）由三角恒等变换的公式，化简得()πf x 2sin 2ωx 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期，求得ω1=，即可得到函数的解析式； （2）由π0x 2≤≤，所以ππ7π2x 666≤+≤，所以1πsin 2x 126⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的最值. 【详解】（I ）由题意，函数()2f x a?b 2cos ωx 3sin2ωx 12cos2ωx 3sin2ωx ===+ π2sin 2ωx 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2ω=，解得ω1=，即()πf x 2sin 2x 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由π0x 2≤≤，所以ππ7π2x 666≤+≤，所以1πsin 2x 126⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()0f x 3≤≤，即()f x 的最大值为3，最小值为0 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，以及三角函数的性质的应用，其中熟练应用三角函数恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的性质及其应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．【解析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ ()257803014801x x≤-⨯⋅+=+ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．若定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值;（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式2cos 2cos (1)03f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a =，441,33b （Ⅱ）λ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）由函数是奇函数，求出参数a ，b 的值．（Ⅱ）利用函数的单调性得到()2cos2cos 103f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出λ即可． 【详解】（Ⅰ）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102ba-+=+， 解得1b =，从而有()1212x x f x a+-+=+．又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =，经检验，()()f x f x =--成立故21a b ==，（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1211122221x x xf x +-+==-+++ 任取1212,,x x R x x ∈<()()()()21121222f f 02121x x x x x x --=>++ 故()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式()2cos2cos 103f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭()2cos2cos 13f x x f λ⎛⎫⇔-≤- ⎪⎝⎭ ()2cos2cos 13f x x f λ⎛⎫⇔-≤- ⎪⎝⎭22cos2cos 1cos2cos 1033x x x x λλ⇔-≥-⇔-+≥222cos 1cos +10,3x x （）λ⇔--≥令cos t x =，则[]1,1t ∈-即()241033g t t t λ=-+≥对[]1,1t ∈-恒成立．法一：①当318λ<-即83λ<-时，()()551033min g t g λλ=-=+≥⇒≥-（舍） ②当318λ>即83λ>时，()()551033min g t g λλ==-≥⇒≤（舍）③当3118λ-≤≤即8833λ-≤≤时，()2331440816333min g t g λλλ⎛⎫==-+≥⇒-≤≤ ⎪⎝⎭综上，44,33λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 法二：①当0t =时，R λ∈ ②当01t <≤时，114433min t t λ⎡⎤⎛⎫≤+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ③当10t -≤<时，114433max t t λ⎡⎤⎛⎫≥+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦综上，44,33λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，二次函数的性质，分离变量求解恒成立问题，考查转化能力，是中档题。

湖南省岳阳市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列事件是确定事件的是（）A．阴天一定会下雨B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．183．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k值为（）A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣74．关于x的不等式组312(1)x mx x-<⎧⎨->-⎩无解，那么m的取值范围为( )A．m≤－1 B．m<－1 C．－1<m≤0D．－1≤m<05．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．566．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°7．下列运算不正确的是A．B．C．D．8．定义运算：a⋆b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b的值为（）A．0 B．2 C．4m D．-4m9．已知函数y=1x的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（）A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0 10．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是1011．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y＝－2x＋m上，则a与b的大小关系是() A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．与m的值有关12．下列图形中为正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=72，且BD=5，则DE=_____．14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.15．某风扇在网上累计销量约1570000台，请将1570000用科学记数法表示为_____．16．每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽（A）豆沙粽（B）小枣粽（C）蛋黄粽（D）的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为________；若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为________．17．分解因式：x2y﹣4xy+4y＝_____．18．如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．20．（6分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．21．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，tanB=22，求DF的值22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6，0），等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s，设运动的时间为ts，解答下列问题：（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．（2）如图②过点E作EQ∥AB，交AC于点Q，设△AEQ的面积为S，求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大？求出这个最大值．（3）在（2）的条件下，当△AEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P，使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？23．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？24．（10分）观察下列等式：①1×5+4=32；②2×6+4=42；③3×7+4=52；…（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：_____；（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：_____=502；（3）按照上面的规律，写出第n 个等式，并证明其成立．25．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()76(120)2030mx m x x n x x -≤<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，为整数，为整数 且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．m=，n= ；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？26．（12分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP ．（2）探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=1．点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．27．（12分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A 、C 两地海拔高度约为1000米，山顶B 处的海拔高度约为1400米，由B 处望山脚A 处的俯角为30°，由B 处望山脚C 处的俯角为45°，若在A 、C 两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据3）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题分析：找到一定发生或一定不发生的事件即可．A、阴天一定会下雨，是随机事件；B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件．故选D．考点：随机事件．2．C【解析】延长线段BN交AC于E.∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.在△ABN与△AEN中，∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.3．B【解析】过点D 作DF ⊥x 轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,∴△AOB ∽△DFA,∴OA ：DF=OB ：AF=AB ：AD,∵AB ：BC=3：2,点A （3,0）,B （0,6）,∴AB ：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D 的坐标为:（7,2）,∴k 14=,故选B.4．A【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m 的不等式，就可以求出m 的取值范围了.【详解】()03121x m x x -<⎧⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<m ，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.5．B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π，共2个， ∴卡片上的数为无理数的概率是21=63. 故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.6．C【解析】分析：由点I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．详解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选C．点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．7．B【解析】,B是错的，A、C、D运算是正确的，故选B8．A【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a⋆b=2ab对式子(a+1)⋆a-(b+1)⋆b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.【详解】∵a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，∴a+b=-1，∵定义运算：a⋆b=2ab，∴(a+1)⋆a -(b+1)⋆b=2a(a+1)-2b(b+1)=2a2+2a-2b2-2b=2(a+b)(a-b)+2(a-b)=-2(a-b)+2(a-b)=0，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.9．C【解析】试题分析：根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题．解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：此函数为减函数，x≥-1时，在第三象限内y的取值范围是y≤-1；在第一象限内y的取值范围是y＞1．故选C．考点：本题考查了反比例函数的性质点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析反比例函数的基本性质和知识，反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞1时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜1时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大10．A【解析】【分析】根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.【详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1．故选A．考点：方差；算术平均数；中位数；众数．11．A【解析】【分析】根据一次函数性质：y kx b=+中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由-2<0得，当x12时，y1>y2.【详解】因为，点A(1，a)和点B(4，b)在直线y＝－2x＋m上，-2<0,所以，y随x的增大而减小.因为，1<4,所以，a>b.故选A【点睛】本题考核知识点：一次函数性质. 解题关键点:判断一次函数y kx b=+中y与x的大小关系，关键看k的符号.12．C【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点依次判断解题．【详解】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，选项C可以拼成一个正方体，故选C．【点睛】本题是对正方形表面展开图的考查，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．22．【解析】【分析】连接OD，OC，AD，由⊙O的直径AB=7可得出OD=OC，故可得出OD=CD=OC，所以∠DOC=60°，∠DAC=30°，根据勾股定理可求出AD的长，在Rt△ADE中，利用∠DAC的正切值求解即可．【详解】解：连接OD，OC，AD，∵半圆O的直径AB=7，∴OD=OC=72，∵CD=72，∴OD=CD=OC∴∠DOC=60°，∠DAC=30°又∵AB=7，BD=5，∴22227526 AD AB BD=-=-=在Rt△ADE中，∵∠DAC=30°，∴DE=AD•tan30°32622 =⨯=．故答案为22．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；综合性比较强. 14．2【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=1，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为1．∴这个三角形的周长是3+6+1=2．故答案为2．点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．15．1.57×1【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将1570000用科学记数法表示为1.57×1．故答案为1.57×1．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16．120人，3000人【解析】【分析】根据B的人数除以占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去A、B、D的人数得到本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数；利用该社区的总人数×爱吃鲜肉粽的人数所占的百分比得出结果．【详解】调查的总人数为：60÷10%=600（人），本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为：600﹣180﹣60﹣240=120（人）；若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为：10000180600⨯=3000（人）．故答案为120人；3000人．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．17．y(x-2)2【解析】【分析】先提取公因式y ，再根据完全平方公式分解即可得.【详解】原式=2(44)y x x -+=2(2)y x -， 故答案为2(2)y x -．18．90°或30°．【解析】【分析】分两种情况讨论求解：顶角比底角大45°；顶角比底角小45°．【详解】设顶角为x 度，则当底角为x°﹣45°时，2（x°﹣45°）+x°=180°，解得x=90°，当底角为x°+45°时，2（x°+45°）+x°=180°，解得x=30°，∴顶角度数为90°或30°．故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等即分类讨论的数学思想，解答本题的关键是分顶角比底角大45°或顶角比底角小45°两种情况进行计算.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）平均数为800升，中位数为800升；（2）12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升．【解析】试题分析：（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；（2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；（3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．试题解析：解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为（815+780+800+785+790+825+805）÷7=800（升），将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，∴用水量的中位数为800升；（2）100800×100%=12.5%． 答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升．20．【解析】试题分析：可证明△ACD ∽△ABC ，则AD AC AC AB=，即得出AC 2=AD•AB ，从而得出AC 的长． 试题解析：∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴AD AC AC AB =，∵AD=2，AB=6，∴26ACAC =．∴212AC =．∴AC=考点：相似三角形的判定与性质．21．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）欲证明AE 是⊙O 切线，只要证明OA ⊥AE 即可；（2）由△ACD ∽△CFD ，可得DF CD CD AD =，想办法求出CD 、AD 即可解决问题. 详解：（1）证明：连接CD ．∵∠B=∠D ，AD 是直径，∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，∵∠B=∠EAC ，∴∠EAC+∠1=90°，∴OA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．（2）∵CG ⊥AD ．OA ⊥AE ，∴CG ∥AE ，∴∠2=∠3，∵∠2=∠B ，∴∠3=∠B ，∵∠CAG=∠CAB ，∴△ABC ∽△ACG ， ∴AC AB AG AC=， ∴AC 2=AG•AB=36，∴AC=6，∵tanD=tanB=22，在Rt△ACD中，tanD=ACCD=22CD=2=62，AD=()22662+=63，∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，∴△ACD∽△CFD，∴DF CD CD AD=，∴3点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）证明见解析；（2）当t=3时，△AEQ932；（3）（3，0）或（6，3）或（0，3【解析】【分析】（1）由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF，进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED 全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE，即可得证；（2）先表示出三角形AEC面积，根据EQ与AB平行，得到三角形CEQ与三角形ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积，进而表示出AEQ面积，利用二次函数的性质求出面积最大值，并求出此时Q的坐标即可；（3）当△AEQ的面积最大时，D、E、F都是中点，分两种情形讨论即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵C（6，0），∴BC=6在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，由题意知，当0＜t＜6时，AD=BE=CF=t，∴BD=CE=AF=6﹣t，∴△ADF≌△CFE≌△BED（SAS），∴EF=DF=DE，∴△DEF是等边三角形，∴不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形；（2）如图②中，作AH ⊥BC 于H ，则AH=AB•sin60°=33，∴S △AEC =12×33×（6﹣t ）=33(6)t -， ∵EQ ∥AB ，∴△CEQ ∽△ABC ，∴CEQABC S S V V =（CE CB ）2=2(6)36t -，即S △CEQ =2(6)36t -S △ABC =2(6)36t -×93=23(6)t -， ∴S △AEQ =S △AEC ﹣S △CEQ =33(6)2t -﹣23(6)4t -=﹣34（t ﹣3）2+93， ∵a=﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，有最大值，∴当t=3时，△AEQ 的面积最大为93cm 2， （3）如图③中，由（2）知，E 点为BC 的中点，线段EQ 为△ABC 的中位线，当AD为菱形的边时，可得P1（3，0），P3（6，33），当AD为对角线时，P2（0，33），综上所述，满足条件的点P坐标为（3，0）或（6，33）或（0，33）．【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．23．（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.24．6×10+4=8248×52+4【解析】【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（2）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（3）根据题目中的式子的变化规律可以写出第n个等式，并加以证明．【详解】解：（1）由题目中的式子可得，第⑥个等式：6×10+4=82，故答案为6×10+4=82；（2）由题意可得，48×52+4=502，故答案为48×52+4；（3）第n个等式是：n×（n+4）+4=（n+2）2，证明：∵n×（n+4）+4=n2+4n+4=（n+2）2，∴n×（n+4）+4=（n+2）2成立．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．25．（1）m=﹣12，n=25；（2）18，W最大=968；（3）12天.【解析】【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．【详解】（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m，解得m=12 -，当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，则n=25，故答案为m=12-，n=25；（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16，当1≤x＜20时，W=（4x+16）（12-x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968，∴当x=18时，W最大=968，当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112，∵28＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952，∵968＞952，∴当x=18时，W最大=968；（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x＜20，∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元，当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥271 14，∴27114≤x≤30∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元，∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键.26．（2）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）2秒或2秒．【解析】【分析】（2）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=2-4=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．【详解】解：（2）如图2，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=2，AB=6，∴AE=BE=3∴2253-，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=2-4=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（2）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=2×2，∴t=2或t=2，∴t的值为2秒或2秒．【点睛】本题考查圆的综合题．27．隧道最短为1093米．【解析】【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵tan30°=BDAD，即40033AD=，∴3（米），在Rt△BCD中，∵tan45°=BDCD，即4001CD=，∴CD=400（米），∴3（米），答：隧道最短为1093米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.。

2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次质检数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x >−2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤1}2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1D 1所成的角的大小是( )A. 90ºB. 45ºC. 30ºD. 60º3. cos34°cos26°−cos56°sin26°=( ) A. 12 B. −12 C. √32 D. −√324. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a ⃗ −b ⃗ )，且A 、B 、D 三点共线，则λ的值为( )A. 3B. −3C. 2D. −2 5. 已知α为第二象限角，且sinα+cosα=15，则cosα−sinα=( )A. 75B. −75C. ±75D. 2525 6. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为棱PC ，PB 上的点，若PM ∶MC =3∶1，且AN//平面BDM ，则PN ∶NB = ( )A. 4∶1B. 3∶1C. 3∶2D. 2∶17. 如图，一个水平放置的面积是2+√2的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中A′D′ //B′C′，则等腰梯形面积为( )A. 12+√22B. 1+√22 C. 1+√2 D. 2+√28. 已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是( )A. 4+√2B. 2+√2C. 3+√2D. 69. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P,Q,R 分别是AB,AD,B 1C 1的中点，那么正方体的过P,Q,R 的截面图形是( )A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形10. 在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段BC 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 52 B. 54 C. 12 D. 14 11. 已知函数f(x)满足2f (x )+f (−x )=3x +2，则f (2)=( )A. −163B. −203C. 163D. 203 12. 已知函数f(x)=|x −1|−1，且关于x 方程f 2(x)+af(x)−2=0有且只有三个实数根，则实数a 的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(9)= ______ ． 14. 已知向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)，向量b ⃗ =(1,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则sinθ+cosθsinθ−cosθ的值是______ ． 15. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为√6，则这个球的表面积是__________．16. 设函数是偶函数，则实数a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD −A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403．(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1,C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．18. 已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ,cosθ)，O 为坐标原点．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求sinθ+2cosθsinθ−cosθ的值；(2)若(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求sinθ·cosθ的值； (3)若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求的值．19. 已知α,β为锐角，tan α=34，cos (α+β)=−√1010． (1)求cos2α的值；(2)求tanβ的值．20. 已知向量a ⃗ =(√3,cos 2ωx)，b ⃗ =(sin 2ωx,1)(ω>0)，令f(x)=a ⃗ ·b ⃗ ，且函数f(x)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若x ∈[0,π2]时，f(x)+m ≤3，求实数m 的取值范围．21.已知某个公司生产某产品的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款产品x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万元，且．(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a是奇函数2x+1(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)设m为常数，且m>0，若对任意的t∈[1,2]，不等式f(−m+2t)+f(−mt2+1)⩾0恒成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．2.答案：D解析：本题考查两异面直线的夹角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是基础题．由B1D1//BD，得∠A1BD是A1B与B1D1所成的角，由A1D=BD=A1B，得∠A1BD=60°，由此能求出A1B与B1D1所成的角的大小．解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1D1//BD，∴∠A1BD是A1B与B1D1所成的角，∵A1D=BD=A1B，∴∠A1BD=60°，∴A1B与B1D1所成的角的大小为60°．故选：D．解析：解：cos34°cos26°−cos56°sin26°=cos34°cos26°−sin34°sin26°=cos(34°+26°)=cos60°=12，故选：A ．利用两角和差的余弦公式、诱导公式，吧要求的式子化为cos60°，从而得到结果．本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题． 4.答案：A解析：本题考查三点共线，考查向量知识的运用，比较基础．由题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−2)a ⃗ +(8−λ)b ⃗ ，利用A 、B 、D 三点共线，可得方程，即可得出结论．解：由题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−2)a ⃗ +(8−λ)b ⃗ ，∵A 、B 、D 三点共线，∴1×(8−λ)=5×(λ−2)，∴λ=3，故选A ．5.答案：B解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 把已知等式两边平方求得2sinαcosα，再由cosα−sinα=−√(cosα−sinα)2求解．解：由sinα+cosα=15，两边平方得2sinαcosα=−2425，∵α为第二象限角，∴cosα−sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinαcosα=−√1+2425=−75．故选：B ．解析：本题考查了线面平行的性质和中位线定理，以及平行线的性质，属于基础题．如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点，由题意可得G为CN的中点，作HN//BM，可得PH=HC，即可求出答案．解：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接CN，设CN交BM于点G，连接OG．由AN//平面BDM，平面ANC∩平面BDM=OG，AN⊂平面ANC，可得AN//OG，∵OA=OC，∴NG=CG，∴G为CN的中点．在△PBC中，作HN//BM，设HN∩PC=H，易知M为CH的中点，∴CM=HM，∵PM∶MC=3∶1，∴PH=HC，∴PN∶NB=PH∶HM=2∶1，故选D．7.答案：A解析：本题考查了斜二测画法画直观图的应用问题，解题的关键是还原出原平面图形，是基础题．根根据斜二测画法还原出原平面图形，求出它的面积即可．解：根据题意，画出图形，如图所示，则原来的平面图形上底是1，下底是1+√2，高是2，可得等腰梯形的高为√22，上低为1，下底为1+√2，∴它的面积是12×(1+1+√2)×√22=12+√22．故选A．8.答案：B解析：解：由三视图判断几何体为直三棱柱，其底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，∴几何体的侧面积S=(1+1+√2)×1=2+√2．故选：B．由三视图判断几何体为侧棱长为1的直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，根据棱柱的侧面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的侧面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．9.答案：D解析：解析：解：通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D．学生复原图形，可以连接各边的中点，则可以确定图形的形状．本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力．10.答案：B解析：解：取AB 的中点F ，连CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF//AD ，且CF =AD因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=34，μ=12，λ+μ=54故选：B ．利用平面向量的几何运算，将AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，根据平面向量基本定理得λ，μ 本题考查了平面向量的基本定理．属中档题． 11.答案：D解析：本题主要考查了函数值的求法，抽象函数的应用，考查计算能力．通过x =2与x =−2代入已知条件，解方程组即求出f(2)．解：函数f(x)满足2f(x)+f(−x)=3x +2，则2f(2)+f(−2)=3×2+2=8，2f(−2)+f(2)=3×(−2)+2=−4，消去f(−2)可得3f(2)=20．解得f(2)=203．故选D ．12.答案：B解析：本题考查了方程的根与函数的图象的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题． 作出f(x)=|x −1|−1的图象，令t =f(x)，对于方程t 2+at −2=0，有一个根为−1，即可得出结论．解：作出f(x)=|x−1|−1的图象，如图：由图象可知，令t=f(x)，则关于方程t2+at−2=0的两个根t1=−1，t2∈(−1,+∞)，代入可得a=−1，检验得三个实数根为1，−2，4，满足题意，故选：B．13.答案：13解析：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．利用幂函数的定义，用待定系数法设出f(x)的解析式，即可求出f(x)，将x=9代入即可得．解：设幂函数f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，∴√22=2α，解得α=−12．∴f(x)=x−12，∴f(9)=9−12=13，故答案为13．14.答案：2解析：此题考查了平面向量共线(平行)的坐标表示，熟练掌握基本关系是解本题的关键．由两向量的坐标，根据向量平行的条件列出关系式，变形后得到sinθ=3cosθ，代入原式计算即可得到结果．解：∵向量a⃗=(cosθ,sinθ)，向量b⃗ =(1,3)，且a⃗//b⃗ ，∴cosθ1=sinθ3，显然cosθ≠0，即sinθ=3cosθ，则原式=3cosθ+cosθ3cosθ−cosθ=2．故答案为2．15.答案：16π解析：正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．解：正四棱锥P−ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．PO=AO=R，PO1=3，OO1=3−R，在Rt△AO1O中，AO1=√22AC=√3，由勾股定理R2=3+(3−R)2得R=2，∴球的表面积S=16π，故答案为16π．16.答案：−1解析：本题考查偶函数的性质，属于基础题．解：因为函数是偶函数，所以f(1)=f(−1)，所以，解得a =−1． 故答案是−1．17.答案：解：(1)设AA 1=x ，依题意可得403=2×2⋅x −13×12×2×2⋅x ，解得x =4，故棱AA 1的长为4．(2)依题意可知，经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球， 这个球的直径就是长方体的体对角线，∴球的直径2R =√22+22+42=2√6，∴R =√6， 所以所求球的表面积为4πR 2=24π，体积为43πR 3=8√6π.解析：本题考查了球的体积和表面积．属于中档题． (1)根据体积关系列式可求出AA 1=4；(2)经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，根据长方体对角线长定理可得球的半径R ．18.答案：解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2sinθ,cosθ)，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，有，得，则sinθ+2cosθsinθ−cosθ=sinθ+2×(−2)sinθsinθ−(−2sinθ)=−1．(2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，由(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得，即sinθ+cosθ=12，所以(sinθ+cosθ)2=14， 所以1+2sinθcosθ=14，所以sinθcosθ=−38；(3)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√(2sinθ−1)2+(cosθ−0)2=√(2sinθ−0)2+(cosθ−1)2 化简得：，从而得tanθ=12．解析：本题考查了向量共线的坐标运算、数量积的坐标运算及正切函数的二倍角公式，属中档题． (1)由向量共线的坐标运算得：易得cosθ=−2sinθ，则sinθ+2cosθsinθ−cosθ=sinθ+2×(−2)sinθsinθ−(−2sinθ)=−1；(2)由数量积的坐标运算得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，由(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得sinθ+cosθ=12，所以(sinθ+cosθ)2=14，所以sinθcosθ=−38；(3)由正切函数的二倍角公式及|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√(2sinθ−1)2+(cosθ−0)2=√(2sinθ−0)2+(cosθ−1)2化简得：：cosθ=2sinθ，所以tanθ=12．19.答案：解：(1)因为α为锐角，tanα=34，∴{sinαcosα=34,sin 2α+cos 2α=1,,消去sinα得：cos 2α=1625．所以cos2α=2cos 2α−1=2×1625−1=725． (2)因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)， 因为cos (α+β)=−√1010，所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−110=3√1010． 所以tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=−3．所以tanβ=tan [(α+β)−α]=tan (α+β)−tan α1+tan (α+β)⋅tan α =−3−341+(−3)×34=3.解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用和同角三角函数的基本关系，是基础题． (1)由{sinαcosα=34,sin 2α+cos 2α=1,，消去sinα得cos 2α=1625，由二倍角公式可得结果；(2)由同角三角函数的基本关系可得tan (α+β)的值，由tanβ=tan [(α+β)−α]展开可得结果．20.答案：解：(1)f(x)=a⃗·b⃗ =√3sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π6)．∵函数f(x)的最小正周期为π，∴ω=1，∴f(x)=2sin(2x+π6)．(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，∴f(x)∈[−1,2]．由f(x)+m≤3，得f(x)max+m≤3，∴2+m≤3，∴m≤1．解析：本题主要考查了向量的数量积、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．(1)根据向量数量积坐标运算公式，结合辅助角公式化简整理可得f(x)=2sin(2ωx+π6)，用三角函数周期公式即可得到ω=1，从而得到函数f(x)的解析式；(2)利用正弦函数的图象与性质，得到当x∈[0,π2]时f(x)+m的最大值为2+m，结合不等式恒成立的等价条件，即可解出实数m的取值范围．21.答案：解：(1)当0<x⩽40时，W=xR(x)−(16x+40)=−6x2+384x−40，当x>40时，W=xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360，所以，W={−6x2+384x−40,0<x⩽40−40000x−16x+7360,x>40；(2)①当0<x≤40,W=−6(x−32)2+6104，所以当x=32时，W max=6104，②当x>40时，W=−40000x−16x+7360≤−2√40000x·16x+7360=5760，当且仅当x=50时等号成立，W取最大值为5760．综合①②知，当x=32(万只)时，W取最大值为6104(万元).解析：本题考查分段函数模型的构建，考查利用二次函数性质和基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；(2)分别利用二次函数性质和基本不等式，分段求出函数的最大值，比较可得结论．22.答案：解：(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=0∴−20+a20+1=−1+a2=0，得a=1当a=1时，f(x)=−2x+12x+1，f(−x)=−2−x+12−x+1=−1+2x1+2x=−f(x)满足题意，综上所得：a=1(2)函数f(x)在R上单调递减证明：任取x1、x2∈R，且x1<x2则f(x1)−f(x2)=−2x1+12x1+1−−2x2+12x2+1=(−2x1+1)(2x2+1)−(−2x2+1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)因为x1、x2∈R，且x1<x2，所以2x1+1>0，2x2+1>0，2x2−2x1>0所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减(3)因为对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)+f(−mt2+1)⩾0恒成立所以对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)⩾−f(−mt2+1)恒成立因为函数f(x)为定义在R上的奇函数所以对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)⩾f(mt2−1)恒成立又因为函数f(x)在R上单调递减所以对任意的t∈[1,2]，−m+2t⩽mt2−1恒成立所以对任意的t∈[1,2]，mt2−2t+m−1⩾0恒成立令g(t)=mt 2−2t +m −1，即g(t)min ⩾0，其中t ∈[1,2] 因为m >0，所以g(t)=mt 2−2t +m −1开口向上 当1m ⩽1，即m ⩾1时，g(t)在[1,2]上单调递增， 所以g(t)min =g(1)=2m −3⩾0，所以m ⩾32 当1<1m <2，即12<m <1时，g(t)在[1,1m ]上单调递减，[1m ,2]上单调递增， 所以g(t)min =g(1m )=−1m +m −1⩾0， 所以m ⩽1−√52或m ⩾1+√52，又因为12<m <1，所以无解当1m ⩾2，即0<m ⩽12时，g(t)在[1,2]上单调递减， 所以g(t)min =g(2)=5m −5⩾0，所以m ⩾1 又因为0<m ⩽12，所以无解 综上所得：m ⩾32解析：本题主要考察了函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间以及函数的最值问题，属于中档题． (1)利用函数f(x)为定义在R 上的奇函数，f(0)=0 ，f (x )=−f (x )，即可求得a ．(2)求函数f(x)的单调性，则任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2 ，然后比较f (x 1)−f (x 2)与0的大小，即可判断明函数f(x)的单调性．(3)由题意知，以及根据(1}(2)所得，可以对任意的t ∈[1,2]，mt 2−2t +m −1⩾0恒成立，则令g(t)=mt 2−2t +m −1，即g(t)min ⩾0，然后便分类讨论g(t)d 的单调性，并求出g(t)min ，综和即可求得m 的取值范围．。

2019-2020学年岳阳市岳阳县一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )A. 30B. 25C. 20D. 152.已知a =log 94，b =ln3，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b3.要得到函数g(x)=sin(3x +π4)的图象，可以将函数f(x)=cos(3x +π4)的图象( )A. 向左平移π2个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度4.某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x(百件)与单位成本y(元)满足回归直线方程y ̂=100.36−14.2x ，则以下说法正确的是( )A. 产量每增加100件，单位成本约下降14.2元B. 产量每减少100件，单位成本约上升100.36元C. 产量每增加100件，单位成本约上升14.2元D. 产量每减少100件，单位成本约下降14.2元5.已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y ≥m 2+2m 恒成立．则实数的取值范围是( )A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. [−2,4]D. [−4,2]6.直线x −√3y +a =0与圆x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则a =( )A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±√37. 给定下列三个式子：①sin15°cos15°； ②cos 2π8−sin 2π8；③tan22.5°1−tan222.5°．其运算结果是12的有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个8.若a>−2，则a+16a+2的最小值为()A. 8B. 6C. 4D. 29.某人朝正东方走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好√3km，那么x等于()A. √3B. 2√3C. √3或2√3D. 310.已知数列{a n}是等比数列，若a1⋅a5=9，则a3=()A. ±3B. −3C. 3D. √311.设椭圆x216+y212=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9，则|PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A. 8B. 10C. 12D. 1512.函数y=12sin(2x+π3)−sinxcosx的单调减区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [kπ−7π12,kπ−π12](k∈Z)C. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) D. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数48910人数分布112114.已知数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的通项公式为 _______15.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，c=√3，B=30°，则a=______．16.已知A(1,−1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB//AD，则D点坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈(−π6,π4)时，函数g(x)=f2(x)−2mf(x)+m2−116有四个零点，求实数m的取值范围．18.已知数列，分别为等比，等差数列，数列的前n项和为，且，，成等差数列，，数列中，，(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若数列的前n项和为，求满足不等式的最小正整数。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41B ．42C ．43D ．442．已知向量a ，b 满足(,1)a m m =+，(3,4)b =-，且a 在b 方向上的投影是－1，则实数m =（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－23．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，函数()8g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 与()g x 的图象均关于直线4x x π=-对称C ．函数()f x 与()g x 的图象均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 与()g x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上均单调递增 4．如图，ABC 中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =（ ）A ．1122AB AC + B ．1233AB AC + C ．1133AB AC +D ．2133AB AC +5．已知向量(2,3)a =，(,4)b m =，若a ，b 共线，则实数m =（ ） A ．6-B ．83-C ．83D ．66．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A ．若,,//m n m n αα⊄⊂，则//m α B ．若,m n αα⊥⊥，则//m n C ．若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥D ．若//,//m m αβ，则//αβ7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是A ．若//n α，//m β，则//αβB ．若l αβ=，且m l ⊥，则m β⊥C ．若//m n ，//m β，则//αβD ．若l αβ=，且//m l ，则//m β8．已知ABC 中，3013B AC AB =︒==，，，则角A =（ ） A ．60°或120°B ．30°或90°C ．30°D ．90°9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．155C ．35D ．4510．平面内任一向量m 都可以表示成(,)λμλμ+∈a b R 的形式，下列关于向量,a b 的说法中正确的是（ ）A ．向量,a b 的方向相同B ．向量,a b 中至少有一个是零向量C ．向量,a b 的方向相反D ．当且仅当0λμ==时，0a b λμ+=11．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为1330a b c a b A ︒===，，，，．则该三角形（ ）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定12．两圆22(2)1x y+-=和22(2)(1)16x y+++=的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切二、填空题：本题共4小题13．若点()5,1P-为圆2260x y x+-=的弦MN的中点，则弦MN所在的直线的方程为___________.14．数列{}n a满足：(),210.5,2nn nq n kan k⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*k N∈，{}n a的前n项和记为n S，若lim1nnS→∞≤，则实数q 的取值范围是________15．在ABC∆中，D为BC边中点，且5AD=，10BC=，则AB AC⋅=______.16．函数1()arccos(1)2f x x x=<<的值域是__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年湖南省岳阳一中高一下学期统考模拟数学试题一、单选题1．已知{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A ．{5}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{2,4,5,6}【答案】A【解析】本题根据交集的运算直接计算即可. 【详解】集合{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，则{5}A B =，故选：A. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．4D ．4-【答案】D【解析】由//a b 得：()122m ⨯=⨯-，即可得答案. 【详解】 因为//a b ，所以()122m ⨯=⨯-，解得：4m =-， 故选：D 【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.3．如果圆C ：(x -a )2+(y -3)2=5的一条切线的方程为y =2x ，那么a 的值为（ ） A ．4或1 B ．-1或4C ．1或-4D ．-1或-4【答案】B【解析】根据圆心到直线的距离等于半径可求得答案. 【详解】因为圆C ：(x -a )2+(y -3)2=5的圆心为()3C a ，，半径r =所以圆心为()3C a ，到直线y =2x=，解得a =-1或4，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.4．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( ) A ．－2 B ．－7C ．3D ．1【答案】C【解析】由已知条件可知线段AB 的中点1(,0)2m+，在直线220x y +-=上， 把中点坐标代入直线方程，解得3m =，故选C .5．已知函数25,1,()21,1,x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩则(1)f =（ ）A ．3B ．13C ．8D ．18【答案】A【解析】将1x =代入221y x =+即可求得()f x 的值. 【详解】将1x =代入221y x =+，得()212113f =⨯+=，故选：A 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于基础题. 6．sin 210︒的值为（ ） A ．12B ．12-CD ． 【答案】B【解析】由诱导公式可得1sin210302sin ︒=-︒=-，故选B. 7．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ） A ．2x y = B ．2yxC ．2log y x =D ．21y x =+【答案】D【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x-=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.8．如下图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1423B．2843C．2803D．1403【答案】B【解析】由已知条件和三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、4的长方体，砍去的一个角是三条侧棱长都为2的三棱锥后剩下的几何体．据此即可计算出原几何体的体积．【详解】解：由已知条件和三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、4的长方体，砍去的一个角是三条侧棱长都为2的三棱锥后剩下的几何体．∴该多面体的体积11284 644222323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故答案为2843．【点睛】由三视图弄清原几何体的形状是解题的关键．9．函数f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(10,100)D ．(100，＋∞)【答案】B【解析】函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增，∵()()1f 110f 101010=-=-，， ∴在（1，10）内函数f （x ）存在零点， 故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．10．已知2log 0.3a =， 0.32b =， 20.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】【详解】2log 0.30a =<，0.312b =>，200.31c <=<，∴b c a >>.故选：D ．11．与直线2:10l mx m y --=垂直于点(2,1)P 的直线的一般方程是 （ ） A ．30x y +-= B ．30x y ++= C ．30x y --=D ．210m x my +-=【答案】A【解析】由已知可得22101111(2)30m m m k y x x y --=⇒=⇒=⇒-=--⇒+-=这就是所求直线方程，故选A.12．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM ED②//EF CD③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥以上四个命题中，正确的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．②③④【答案】D【解析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断. 【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确. 故选:D 【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.二、填空题13．已知集合{}1,2A =,{}1,B x =-.若{}2A B ⋂=，则x ＝______. 【答案】2.【解析】根据交集的运算分析即可. 【详解】因为{}2A B ⋂=,故{}21,B x ∈=-,故2x =.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据集合的交集结果求参数的问题,属于基础题. 14．函数sin 2cos2y x x =+的最小正周期T =________． 【答案】π【解析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】2sin 2cos2)42y x x x T πππ=++∴==故答案为π 【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．函数2()log (1)f x x =-的零点为_____________. 【答案】2【解析】令2()log (1)0f x x =-=，解方程即可. 【详解】令2()log (1)0f x x =-=，即11x -=，解得：2x =， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.16．若圆锥的侧面展开图是半径为1cm ，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的轴截面面积等于_______.2【解析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，可得答案． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得：2πr 23=π×1，解得r 13=．故圆锥的高h ==∴这个圆锥的轴截面面积S 21223=⨯=．2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．属于基础题.三、解答题17．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+. （1）当()f x 为奇函数时，求a 的值；（2）证明：对于任意 ,()a f x 在R 上为增函数. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可以有()00f =，代入得：02021a -=+，解之并验证为奇函数； （2）利用单调性定义证明()f x 为R 上的增函数，首先取值：设12,x x 为R 上任意两个不等实数，且12x x <，作差，判断()()1212112121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭的符号，可得证． 【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，所以有()00f =， 代入得：02021a -=+，解得1a =， 此时221()12121x x x f x -=-=++， 2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，所以1a =；（2）任取1212,,x x R x x ∈<， 则12()()f x f x -1222()()2121xx a a =---++ 21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++，由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <，所以1222x x <，即12220x x -<， 又由20x >，得1120x +>，2120x +>， ∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 【点睛】本题主要考察函数的奇偶性和函数单调性的定义、证明．利用定义证明函数的单调性，一般步骤是：取值--作差--变形--定号--下结论．属于中档题． 18．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间.【答案】（1）,8x k k Z ππ=+∈时，max ()f x =（2）3(,),88k k k Z ππππ-++∈.【解析】（1）利用倍角公式对函数进行化简得：())4f x x π=+，进而得到函数的最大值及对应的x 的值; （2）将24x π+代入sin x 的单调递增区间(2,2)22k k ππππ-++，即可得答案；【详解】解：（1）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，当22,42x k k Z πππ+=+∈，即,8x k k Z ππ=+∈时，max ()f x =（2）由题意得：24222,2k x k k Z πππππ-+<+<+∈，∴函数()f x 的单调增区间为3(,),88k k k Z ππππ-++∈. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的最值和单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）由中位线定理可得EF ∥CD ，故EF ∥平面BCD ； （2）以BCD 为底面，则棱锥的高为AB ，代入体积公式计算即可． 【详解】（1）∵点E ，F 分别是AC ，AD 的中点，∴EF ∥CD ，又∵EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴//EF 平面BCD ； （2）∵AB ⊥平面BCD ，∴∠ADB 为直线AD 与平面BCD 所成的角，45,4ADB AB BD ∴∠=︒∴==，∵BC ⊥BD ，162BCDBC SBD ∴=⨯⨯=, ∴三棱锥A ﹣BCD 的体积183BCDV s AB =⋅=．20．已知圆22:414450C x y x y +--+=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长； （2）若直线7:2l y x =与圆C 相交于A B 、两点，求AB 的长； 【答案】（1）()2,7C ，22r =（2）42【解析】（1）将圆的方程化为标准形式即可得圆心和半径； （2）经检验圆心()2,7C 在直线7:2l y x =上，所以AB 即为直径，即可求出AB 的长. 【详解】（1）由22414450x y x y +--+=得()()22278x y -+-=，所以圆心为()2,7C ，半径为r = （2）圆心()2,7C 在直线7:2l y x =上， 所以AB 即为圆C 的直径，所以AB 的长为【点睛】本题主要考查了由圆的一般方程求圆的圆心与半径以及直线与圆相交所得的弦长，属于基础题.21．已知点(1,2),(1,4),(5,2)A B C -，求ABC ∆的边AB 上的中线所在的直线方程． 【答案】5150x y +-= 【解析】【详解】设边AB 的中点(,)D x y ,则由中点公式可得：()()11240,322x y -+==== ,即点D坐标为()0,3 所以边AB 上的中线先AB 的斜率321055k --==- 则由直线的斜截式方程可得：1351505y x x y =-+⇒+-= 这就是所求的边AB 上的中线所在的直线方程.22．在ABC 中，设BC CA CA AB ⋅=⋅. （1）求证：ABC 为等腰三角形； （2）若2BA BC +=且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC ⋅的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）BC CA CA AB ⋅=⋅ ，知()0CA BC AB ⋅-=，由0AB BC CA ++=，知()CA AB BC =-+，所以220AB BC -=，即可证明ABC 为等腰三角形；（2）由2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设AB BC a ==，由2BA BC +=，知2222cos 4a a a B ++=，所以221cos a B=+，由此能够求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】（1）因为BC CA CA AB ⋅=⋅，所以()0CA BC AB ⋅-=，因为0AB BC CA ++=，所以()CA AB BC =-+，所以()AB BC -+()0BC AB ⋅-=，所以220AB BC -=， 所以AB BC =，故ABC 为等腰三角形， （2）因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设AB BC a ==， 因为2BA BC +=，所以24BA BC +=，所以2222cos 4a a a B ++=，所以221cos a B=+， 又因为2cos BA BC BA BC B a ⋅==2cos 2cos 21cos 1cos B B B B ==-++， 11cos 22B -≤≤，22221cos 3B -≤-≤+，即22,3BA BC ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了向量的加法和线性运算，是向量的综合应用，属于中档题.。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，那么( )A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，满足6210·a a a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若972b a =，则17S =（ ）A ．34B ．39C ．51D ．683．已知12log 3a =，0.32b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设你往圆内随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）A ．12πB ．1πC ．13πD ．1π5．已知α为锐角，()4sin 455α+︒=，则sin2α=（ ） A ．725B ．1425 C ．1425±D ．725-6．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．567．在△ABC 中，AC 2=BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°8．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则下列结论正确的是A ．a b =B ．2a b ⋅=C ．a b -与a 垂直D ．a b9．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞10．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24πB ．86πC ．6πD ．6π11．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥-B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位．A 32316π3+B ．16π833C ．36π3+ D ．836π二、填空题：本题共4小题13．如图所示，隔河可以看到对岸两目标,A B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的两点,C D ，测得,75,4530,45ACB BCD ADC ADB ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=（,,,A B C D 在同一平面内），则两目标,A B 间的距离为_________km .14．若tan 3α=-，则21sin 2cos =+αα__________． 15．方程2sin 10x +=的解集是______.16．两平行直线1:310l ax y ++=与2:(2)10l x a y +--=之间的距离为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019年岳阳县一中高一第二学期期中测试数 学 试 题本卷满分150，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,3,5,7,9U =，{}7,5,2-=a A ，{}5,9U C A =，则a 的值为 （ ）A. 2B. 8C.2或8D. 2-或82.已知数列2,5,2,11,5，则2在这个数列中的项数为( )A. 6B. 7C. 19D. 113.在等差数列{23}n -中，公差d 等于 （ ） A.2 B.3 C ．－1 D.－34.若α为第三象限角，221sin 1cos αα+-- （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-5.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD = （ ）A.2133+b c B.5233-c b C.2133-b c D. 1233+b c6.1sin cos ,,cos sin 842ππααααα=<<-若且则的值为 ( )A ．32 B ．32-．34 D ．34- 7.在ABC ∆中,1,45a B ==︒,ABC ∆的面积2S =，则ABC ∆的外接圆的直径为( )A. 5B.53C.42 D ．528.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( )A ．5B ．3C ．2D ．49.将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π610.在ABC ∆中，D BC 是的中点，||3AD ，P AD 点在上，且满足12APPD ，则 =+⋅)(PC PB PA （ ）A ．4B ．2C ．2D ．4 11.已知函数|1|)(||ln xx e x f x --=（其中e 为自然对数的底数），则函数)1(+=x f y 的大致图象为 ( )12．已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为 （ ） A ． -5 B ．-6 C ．-7 D ．-8第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = . 14．已知三条直线123:41,:0,:23l x y l x y l x my +=-=-=，若1l 关于2l 对称的直线与3l 垂直，则实数m 的值是 .15.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1l y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 . 16.在锐角ABC ∆中， 1BC =,2B A ∠=∠，则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 .三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知(2,1),(1,7),(5,1),OPOAOB设R 是直线OP 上的一点，其中O 是坐标原点.(Ⅰ)求使OR RB RA 取得最小值时⋅的坐标； (Ⅱ)对于(1)中的点R ，求RA RB 与夹角的余弦值.18.(本小题满分12分)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(Ⅰ)求渔船甲的速度； (Ⅱ)求αsin 的值.19.(本题满分12分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 是直角梯形,其中AB AD ⊥,1AB BC ==,且12AD ==.(Ⅰ)求证:直线1C D ⊥平面1ACD ； (Ⅱ)试求三棱锥1A -1ACD 的体积.20．（本小题满分12分）已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且12()25f ， (Ⅰ)确定函数()f x 的解析式； (Ⅱ)证明:()f x 在)1,1(-上是增函数； (Ⅲ)解不等式0)()1(<+-t f t f ．21.( 本小题满分12分)已知)(x f x x 2cos 222sin 3++=．(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；(Ⅱ)在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A B C 、、的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值．22.(本题满分12分)已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为(,3)6M π.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)先把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，试写出函数()y g x =的解析式；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若总存在02[]33x ππ∈-，，使得不等式03()2log g x m +≤成立，求实数m 的最小值.2019年岳阳县一中高一第二学期期中考试答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. C2. B3. D4. B5. A6.B7. D8.D9. B10. D 11. A 12. C 。

湖南省岳阳县一中2019-2020学年第二学期3月考试高一数学时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。

） 1、下列关系式中正确的是（ ） A. 0∈∅ B. {0}⊂∅≠ C. 0{0}⊆ D. 0{0}∈ 2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．3、下列各命题正确的是 （ ）A ．终边相同的角一定相等；B ．第一象限的角都是锐角；C ．锐角都是第一象限的角；D ．小于090的角都是锐角。

4．若01690,α=θ与α的终边相同，且00360θ<<，则θ=（ ）A 、300B 、250C 、200D 、1505、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ） A 、35- B 、35 C 、45- D 、456、已知cos 0α<，sin 0α>，那么α的终边所在的象限为（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限7、已知1cos()3πα+=，2παπ<<，则sin α的值是（ ）A 、3-B 、3C 、23- D 、238、把函数sin(2)3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A 、sin(2)3y x π=- B 、sin(2)3y x π=+ C 、cos 2y x = D 、sin 2y x =-9、若(cos )sin 3f x x =，则(sin 30)f =（ ）A ．－1 B. 0 C. 1 D.2110、长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )．A.7π B．14π C．56π D．64π11、下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ）A.AB BC CA ++B.OA OC BO CO +++C.AB AC BD CD -+-D.NQ QP MN MP ++-12、对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列说法中①函数图象关于直线12x π=-对称; ②函数图象关于点(125π,0)对称; ③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个6π单位而得到; ④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的说法的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省岳阳市临湘五里中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，若,则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B2. 设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．[4，6] B．（4，6）C．[﹣1，3] D．（﹣1，3）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】做出函数f（x）的图象，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，求出x1的范围，最后结合图象求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：先做出函数f（x）的图象，如图所示：当x≥0时，f（x）=|2x﹣6|=2|x﹣3|，此时函数关于x=3对称，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且﹣2＜x1＜0，则x1+x2+x3=6+x1，∵﹣2＜x1＜0，∴4＜6+x1＜6，即x1+x2+x3∈（4，6）．故选：B3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题求f（0）的值，要用奇函数的定义来求它的值，先用奇函数的性质得到关于它的方程再求值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（0）+f（0）=0，∴f（0）=0．故选A．4. 在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A．与共线B．与共线C．与相等D．与相等参考答案：B5. 设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 下列命题正确的是( )A．很小的实数可以构成集合B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合C．自然数集N中最小的数是1D．空集是任何集合的子集参考答案：D【考点】集合的含义；子集与真子集．【专题】计算题．【分析】根据集合的确定性可知判定选项A，根据点集与数集的区别进行判定选项B，根据自然数的概念进行判定选项C，根据空集是任何集合的子集进行判定选项D即可．【解答】解：选项A，很小的实数可以构成集合中很小不确定，故不正确选项B，集合{y|y=x2﹣1}是数集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是点集，不是同一个集合，故不正确选项C，自然数集N中最小的数是0，故不正确，选项D，空集是任何集合的子集，故正确，故选D．【点评】本题主要考查了集合的含义，集合的子集，以及自然数的概念和点集与数集的区别，属于基础题．7. 已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－ ;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：解析：从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1) (※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1) =2x－x ,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①②得 ,又f( )= ,∴f()≠f(－ )∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f( )=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.8. 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．2参考答案：D【考点】基本不等式．【分析】根据对数的运算性质和基本不等式即可求出．【解答】解：设x，y∈R，a＞1，b＞1，a x=b y=3，a+b=6，∴x=log a3，y=log b3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质和对数的运算性质，属于基础题．9.对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，p n)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…s n、的算术平均值，其中s k=p1+p2+…p k(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为（）A．2007 B．2008 C．2006 D．1004参考答案：A10. 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞） B．[2，4] C．[﹣1，5] D．[2，5]参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】由函数的解析式可得函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=﹣1或x=5时，函数值等于10，结合题意求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=﹣1或x=5时，函数值等于10．且f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，5]，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）∪（1，2）【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x ＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x ＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）【点评】本题考查利用奇函数图象的对称性解不等式，解题的关键是先研究奇函数y=f （x）函数值为负的自变量的取值范围，再解f（x﹣1）＜0的x的取值范围，函数的奇函数的对称性是高考的热点，属于必考内容，如本题这样的题型也是高考试卷上常客12. 已知是奇函数，且当时，，则的值为．参考答案：-213. 在等比数列中, 若是方程的两根，则--=___________.参考答案：解析：14. 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是▲参考答案：15. 函数y=x－2+的最小值是________;最大值是________.参考答案：16. 若，则的值是_________参考答案：【分析】直接运用诱导公式即可。

湖南省岳阳市银杯中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列四个函数中，在(0，+∞)上为增函数的是（）A． B. C.D参考答案：A略2. 三个数a=0.292，b=log20.29，c=20.29之间的大小关系为( )A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＞a=0.292＞0，b=log20.29＜0，c=20.29＞1，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=﹣对称参考答案：B【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】函数解析式提取，利用两角差的正弦函数公式化简，利用正弦函数图象的性质即可做出判断．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则函数的图象关于直线x=﹣对称．故选：B．【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式，考查正弦函数图象的性质，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题．4. 设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A. 1，3B. －1，1C. －1，3D. －1，1，3参考答案：A【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件.当时，，为奇函数，值域为R，满足条件.当时，为偶函数，值域为，不满足条件.当时，为奇函数，值域为R，满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题．5. 已知平面向量，，且//，则（）A. B. C. D. 5参考答案：B【分析】由向量平行的坐标运算求得参数的值，计算出两向量的和后再由模的坐标表示求得模【详解】∵//，∴，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，考查向量模的坐标运算，解题基础是掌握向量运算的坐标表示．6. 有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（）．A．指数函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数参考答案：C随着自变量每增加1函数值大约增加2，函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．故选．7. cos240°的值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】将240°表示成180°+60°，再由诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选C．【点评】本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号．8. 函数在区间上的最小值为（）A. B. C. D. 不存在参考答案：C略9. 已知函数满足，且时，,则A．B．C．D．参考答案：D10. 若非空数集A = {x｜2a + 1≤x≤3a－5 }，B = {x｜3≤x≤22 }，则能使成立的所有a的集合是（）A．{a｜1≤a≤9} B．{a｜6≤a≤9} C．{a｜a≤9} D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线恒过定点参考答案：（-2，1）略12. 1_________。

2019-2020学年湖南省岳阳市城南中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误．【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误；对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在[0，]上为增函数，∴选项C的正确；对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查．2. 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不经过第四象限。

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0参考答案：C仅逆否命题为真命题。

∴选(C)。

3. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)是增函数的是（）A． B.C．D．y=|x﹣1|参考答案：B【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，即可判断既是奇函数又在区间上单调递增的函数．【详解】对于A，定义域为不关于原点对称，故不为奇函数，故A错．对于B，，则f(x)为奇函数，在区间上单调递增，故B对；对于C，为非奇非偶函数，故C错误；对于D，的图象关于对称，为非奇非偶函数，故D错误，故选B.4. 若集合,，且，则的值为A． B． C．或D．或或参考答案：D5. 已知函数，则（）A. 0B.C. 1D. 0或1参考答案：C略6. 5分）已知，若与平行，则k的值为（）A．B．C．19 D．﹣19参考答案：A考点：平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：由已知中已知，若与平行，我们分别求出向量，的坐标，然后根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零的原则构造关于k的方程，解方程即可求出答案．解答：∵，∴=（k﹣3，2k+2），=（10，﹣4）∵与平行∴（k﹣3）（﹣4）﹣10（2k+2）=0解得k=故选A点评：本题考查的知识点是平行（共线）向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零的原则构造关于k的方程，是解答本题的关键．7. 已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q=2，则log2a1+log2a2+…+log2a11=（）A．50 B．35 C．55 D．46参考答案：C【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先利用等比数列的性质得出a1a11=a62=a1q5=25，再由对数的运算性质可知log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2255，即可得出结果．【解答】解：∵{a n}是等比数列a1=1，公比q=2∴a1a11=a62=a1q5=25∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2（a1a11）5=log2（a6）11=log2255=55故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的运算性质，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．8. 函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1?lncosx≤0排除C，故选A．9. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )A．3年 B．4年 C．5年D．6年参考答案：C略10. 已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是A. B. C． D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两条直线，之间的距离为，则参考答案：12. 在中，，，且在上，则线段的长为．参考答案：113. 若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．参考答案：（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．14. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，若△ABC有两解，则x的取值范围是__________．参考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.15. 已知则.参考答案：略16. 下列命题：①始边和终边都相同的两个角一定相等.②是第二象限的角.③若，则是第一象限角. ④相等的两个角终边一定相同.⑤已知，那么.其中正确命题是.（填正确命题的序号）参考答案：④⑤17. 以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，则a、b、c的大小关系为________．参考答案：a<c<b三、解答题：本大题共5小题，共72分。