2018年杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷

杭州市重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{}n a λ（λ为常数） B ．{}n n a b + C ．{}22n n a b - D ．{}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列；对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.2．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )A ．1167B ．365C ．36D ．75【答案】B 【解析】 【分析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差． 【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215x+++++=得x ＝4，∴5个分数的方差为： S 2=()()()()()222221361721242120212021242155⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选B 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（ ）A ．2BCD ．【答案】B 【解析】 【分析】先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(3,0)B C , 设()(),,,A x y D m n ，由225AB AD -=，则2222()()5x y x m y n +----=，所以22225xm yn m n +--=， 又1AC BD ⋅=-，所以13xm yn m +=+，22222(3)692252(1)96CD m n m n m xm yn xm yn =-+=+-+=+--+-+=，即6CD =故选：B.【点睛】本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题. 4．把函数cos 232y x x =的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：cos 2322sin 22sin 2612y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与2sin 2y x =比较可知：只需将cos 232y x x =+向右平移12π个单位即可考点：三角函数化简与平移5．直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A 35B 45C 5D 65【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相交的性质可知2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求AB ，只要求解圆心到直线2y x =-的距离.【详解】由题意圆226480x y x y ++-+=，可得圆心()3,2-，半径5r =，圆心到直线2y x =-的距离2655d -==.则由圆的性质可得2221695255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以AB =65. 故选：D 【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.6．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10 B ．3C ．5D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，求出点的坐标，进而利用两点之间距离公式求解. 【详解】根据题意，作图如下：已知直线AB 的方程为：2y x =-+，则： 点P 关于直线AB 的对称点为()100,P x y ，则：000122211y x y x +⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点()12,1P ，同理 可得点P 关于直线OB 的对称点为：()11,0P - 故光线的路程为1291?10PP =+=故选：A.【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解、斜率的求解、以及两点之间的距离，属基础题. 7．直线2320x y +-=的斜率是（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．32【答案】A 【解析】 【分析】一般式直线方程0Ax By C ++=的斜率为A k B=-． 【详解】直线2320x y +-=的斜率为2233k ==--. 故选A 【点睛】此题考察一般直线方程的斜率Ak B=-，属于较易基础题目 8．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A ．24B ．48C ．56D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解. 【详解】 由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=， 又前3个小组的频率之比为1:2:3，所以第二组的频率为20.750.256⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.9．若函数()()12,1,1,1,x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B．2 CD．2-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到20191()()22f f =，再计算1()2f 即可. 【详解】201920172015()()()222f f f ===……1()2f =，111221()222f --===. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.10．椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 16【答案】A 【解析】 【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-， 即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即1212932y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.11．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()3,0- B ．](3,0-C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()),30,⎡-∞-⋃+∞⎣【答案】A 【解析】 【分析】该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，2328y kx kx =+-的图象是开口向下且与x 轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果. 【详解】不等式为一元二次不等式，故0k ≠， 根据一元二次函数的图象与性质可得，2328y kx kx =+-的图象是开口向下且与x 轴没有交点，则22034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组，得30k -<<. 故本题正确答案为A. 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.12．已知数列{}n a 的通项公式()2019112nn n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 、{}n S 的极限，下面判断正确的是（）A ．数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B ．数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑{}n a 与{}n S 的极限，然后作比较. 【详解】因为20091lim lim()02n n x x a -→∞→∞==，又2019201912201911(1())122lim lim(...)lim[()]01212n n n x x x S a a a --→∞→∞→∞-=++++=-=-，所以数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等， 故选D. 【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解{}n S 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到. 二、填空题：本题共4小题13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.【答案】24π-【解析】 【分析】：设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，OC 平分AOB ∠, 可得阴影部分的面积. 【详解】解：设两个半圆交于点,O C ，连接OC BC 、,22111()42ππ⨯⨯=⨯, ∴直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC 平分AOB ∠, 故阴影部分的面积是：22111222[()(]22224S ππ-=⨯⨯-⨯=. 故答案为：24π-.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ=__________． 【答案】-3 【解析】由a b c λμ=+可知()()()()11?211222，，，，λμλμλμ-=-+=+-+ 2121λμλμ+=-⎧∴⎨-+=⎩，解得35λ=-，15μ=3λμ∴=- 15．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 7 【解析】 【分析】求出,,a b a b ⋅，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算． 【详解】由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.222cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172a b a a b b ∴+=+⋅+=+⨯+=，27a b ∴+=.故答案为：7． 【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算． 16．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解. 【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =, 故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

杭州市重点名校2018-2019学年高一下学期期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A ．24B ．48C ．56D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解. 【详解】 由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=， 又前3个小组的频率之比为1:2:3， 所以第二组的频率为20.750.256⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题. 2．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项. 【详解】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，则tan 0α<，cos 0α<，所以sin tan cos 0ααα=>， 则可知角α的终边在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下： 第一象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>； 第二象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<； 第三象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>； 第四象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <><.3．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是6，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．2π B ．4πC ．8πD ．16π【答案】B 【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大． 此时62AP PM =，63PM =，在直角△PBC 中，26··12PB PC BC PM PC PC PC =⇒=+⨯⇒=． 三棱锥P ABC -1122++=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=． 选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解． 4．函数1tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．{|2,}2x x k k Z ππ≠+∈ B ．{|4,}2x x k k Z ππ≠+∈C ．{|,}28k x x k Z ππ≠+∈ D ．{|,}8x x k k Z ππ≠+∈【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域． 【详解】 令x+（k ∈Z ）， 解得：x（k ∈Z ），故函数的定义域为{x|x ，k ∈Z}故选A ． 【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5．己知(2,0)A -，(2,0)B ，若x 轴上方的点P 满足对任意R λ∈，恒有2AP AB λ-≥成立，则P 点纵坐标的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先利用平面向量的坐标运算法则确定纵坐标的解析式，然后结合二次函数的性质确定点P 纵坐标的最小值即可. 【详解】设(),P x y ，则()2,AP x y =+，()4,0AB =， 故()24,AP AB x y λλ-=+-，2AP AB λ-≥恒成立，即24AP AB λ-≥恒成立，据此可得：()22244x y λ+-+≥，故()224244y x λ≥-+-≥， 当且仅当240x λ+-=时等号成立.据此可得2y 的最小值为4，则y 的最小值为2.即P 点纵坐标的最小值为2. 故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理，判断A 选项是否正确，根据锥体体积计算公式，判断BCD 选项是否正确. 【详解】对于A 选项，易得平面11AB D 与平面1C BD 平行，所以//AE 平面1C BD 成立，A 选项结论正确. 对于B 选项，由于EF 长度一定，所以三角形AEF 面积为定值.C 到平面11AB D 的距离，也即C 到平面AEF 的距离一定，所以四面体ACEF 体积为定值，故B 选项结论错误.对于C 选项，由于EF 长度一定，所以三角形AEF 面积为定值. B 到平面11AB D 的距离，也即B 到平面AEF 的距离一定，所以三棱锥A BEF -体积A BEF B AEF V V --=为定值，故C 选项结论正确.对于D 选项，由于三角形ACD 面积为定值，F 到平面ACD 的距离为定值，所以四面体ACDF 的体积为定值.综上所述，错误的结论为B 选项. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用面面平行证明线面平行，考查三棱锥（四面体）体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC 是（ ） A ．纯角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合条件，得到A B =，再由222c a b ab =+-，结合余弦定理，得到3C π=，从而得到答案. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=， 而cos cos a b A B =，所以得到sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =， ,A B 为ABC 的内角，所以A B =，因为222c a b ab =+-，所以222a b c ab +-=，由余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==.C 为ABC 的内角，所以3C π=，所以3A B C π===，ABC 为等边三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理判断三角形形状，属于简单题.8．为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数3sin y x =的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π.B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移12π.C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π. D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移12π.【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数()sin y A ωx φ=+的平移和伸缩变换的规律求出即可. 【详解】为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，先把函数3sin y x =图像的纵坐标不变， 横坐标缩短到原来的12倍到函数y ＝3sin2x 的图象， 再把所得图象所有的点向左平移12π个单位长度得到y ＝3sin （2x+6π）的图象. 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．9．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．[3,1+C ．[1,122]-+D ．[122,3]-【答案】D 【解析】 【分析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出b 的取值范围 【详解】将曲线的方程234y x x =--化简为()()()2223413,04x y y x -+-=≤≤≤≤即表示以()23A ，为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：由圆心到直线y x b =+ 的距离等于半径22322b-+=解得122b =+或122b =-结合图象可得1223b -≤≤ 故选D 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题10．函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为（ ） A ．2πB ．32π C ．πD ．2π【答案】D 【解析】3sin ()(1)cos cos 32sin()6x f x x x x x π=+=+=+ ,函数()f x 的最小正周期为2π ，选D .【点睛】求三角函数的最小正周期，首先要利用三角公式进行恒等变形，化简函数解析式，把函数解析式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，然后利用周期公式求出最小正周期 ，另外还要注意函数的定义域. 11．在ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，23BC =ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC ，再利用余弦定理求得cos B 的值，即可判断三角形的形状. 【详解】在ABC 中，2222(23)222cos 60280AC AC AC AC =+-⋅⋅⋅⇒--=， 解得：4AC =；∵2222222(23)4cos 02AB BC AC B AB BC +-+-===⋅，∵0B π<<，2B π=，∴ABC 是直角三角形.故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 12．在区间[]1,6上随机选取一个数a ，则3a ≤的概率为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型概率公式直接求解可得结果. 【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率312615p -==- 本题正确选项：C 【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．若数列{}n a 的首项12a =，且112133n n S a ++=+（n z +∈），则数列{}n a 的通项公式是n a =__________． 【答案】【解析】n 1n 121S a 33++=+，得n n 21S a 33=+（2n ≥）,两式相减得112233n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-（2n ≥），25a =-，得25(2)(2)n na n -=-⨯-≥，经检验n=1不符合。

2018学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{1,2,3,4,5}U =，(1,2,5}A =，则U A =ðA.{1,5}B.{3,4}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5} 2.设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =，则(2)f -= A.4- B.14 C.14- D.4 3.函数1()2x f x x=-的零点所在的区间是 A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.3(1,)2 D.3(,2)24.已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是A.6π B.4π C.3π D.2π5.若1cos()63πα-=，则sin()3πα+=A.13-B.13D. 6.为了得到函数)32sin(π+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度C.向左平移3π个单位长度D.向右平移3π个单位长度7.设R ∈a ，若关于x 的不等式012≥+-ax x 在区间]2,1[上有解，则 A.2≤a B.2≥a C.25≥a D.25≤a 8.在ABC ∆中，若2cos sin sin 2CB A =，则ABC ∆是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.已知等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，n n T n S n )186()1(+=+.若Z b a nn∈，则n 的取值 集合为A.}3,2,1{B.}4,3,2,1{C.}5,3,2,1{D.}6,3,2,1{10. 设函数⎩⎨⎧>≤+=)0(|lg |)0(12)(x x x x f x ，若关于x 的方程02)()(2=+-x af x f 恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A.)22,2(B.)3,22(C.)4,3(D.)4,22(非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

杭州市2018届高三数学第一次教学质量检测（理含答案）
5
c
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1设集合，，则（）
A． B． c． D．
2若，则（）
A． B． c．2 D．-2
3某几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的侧面的面积是（）
A． B．2 c． D．
4命题“ 或”的否定是（）
A．且 B．或
c．且 D．或
5设，满足若函数存在零点，则（）
A． B． c． D．
6设点为有共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为若，则（）
A． B． c． D．
7在中，是直角，，，的内切圆交，于点，，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若，则的值可以是（）A．1 B．2 c．4 D．8
8记是各项均为正数的等差数列的前项和，若，则（）。

浙江省杭州市重点名校2018-2019学年高一下学期期末质量跟踪监视数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n n ＋＋，若{a n }前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625【答案】C 【解析】a n ＝1n n ＋＋＝－(1n n -＋)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)]＋…＋(1n n -＋)]＝1n ＋－1＝24，故n ＝624.故选C.2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】B 【解析】由题意不妨令棱长为2，如图1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，故23DA =由勾股定理得146433A D =-=过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC 所成角，且1263B E = 如图作1A S AB ⊥于中点S 13AS ∴=13923AB ∴=+=1AB ∴与底面ABC 所成角的正弦值12623sin 23B AE ∠==故答案选B点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．3．在ABC ∆中，3AB =，1AC =，30B =，32ABC S ∆=，则C =（ ） A ．60或120 B ．30C ．60D ．45【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解. 【详解】在ABC ∆中，3AB =，1AC =，30B =,132ABC S AB ACsinA ∆==，可得1sinA =，所以90A =， 所以180?60C A B =--= 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．6【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得，4y x x=+满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以4y x x=+，故选A考点：利用基本不等式求最值；5．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B 【解析】【分析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．6．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，将正方形面积代入运算即可． 【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点， 其中落入白色部分的有484个点， 则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，又9S 正=， 可得605951089S =⨯≈黑，故选B ． 【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解. 7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①D 1C ∥平面A 1ABB 1 ②A 1D 1与平面BCD 1相交 ③AD ⊥平面D 1DB ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1 正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在①中，由11//D C A B ，得到1//D C 平面11A ABB ；在②中，由11//A D BC ，得到11A D ⊂平面1BCD ；在③中，由45ADB ∠=，得到AD 与平面1D DB 相交但不垂直；在④中，由BC ⊥平面11A ABB ，得到平面1BCD ⊥平面11A ABB ，即可求解． 【详解】由正方体1111ABCD A B C D -中，可得：在①中，因为11//D C A B ，1D C ⊄平面11A ABB ，1A B ⊂平面11A ABB ， ∴1//D C 平面11A ABB ，故①正确；在②中，∵11//A D BC ，BC ⊂平面1BCD ，11A D 平面11BCD D =，∴11A D ⊂平面1BCD ，故②错误；在③中，∵45ADB ∠=，∴AD 与平面1D DB 相交但不垂直，故③错误； 在④中，∵BC ⊥平面11A ABB ，BC ⊂平面1BCD ，∴平面1BCD ⊥平面11A ABB ， 故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．圆221:1O x y +=与圆222:222230O x y x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D 【解析】根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系. 【详解】由圆的方程可知圆1O 圆心为()0,0，半径11r =；圆2O 圆心为，半径21r =∴122r r ==+∴两圆的位置关系为：外切本题正确选项：D 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.9．把函数sin2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x = 的图象，则()g x 的解析式为（ ） A ．()sin(4)12g x x π=-B ．()sin(4)6g x x π=-C ．()sin(4)3g x x π=-D ．2()sin(4)3g x x π=- 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像变换的原则，即可得出结果. 【详解】先把函数sin2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，得到sin2)sin(2)263y x x πππ=-+=-（；再把sin(2)3y x π=-图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()sin(4)3g x x π=-.故选C 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记图像变换的原则即可，属于常考题型. 10．己知向量(1,2)a =，(3,)b m =，m R ∈，则“6m =”是“()//a a b +”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先由题意，得到(4,2)+=+a b m ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =，(3,)b m =，所以(4,2)+=+a b m ， 若6m =，则(4,8)4+==a b a ，所以()//a a b +； 若()//a a b +，则280+-=m ，所以6m =； 综上，“6m =”是“()//a a b +”的充要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.11．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，【答案】C 【解析】 试题分析：, ;,,故选C.考点：茎叶图.【易错点晴】本题考查学生的是由茎叶图中的数据求平均数和方差,属于中档题目.由茎叶图观察数据,用茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字,利用平均值公式及标准差公式求出两个样本的平均数和方差,一般平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名运动员的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名运动员的成绩越稳定.12．ABC ∆中，,4sin sin 3a Ab Bc C π===，则cos C （ ）A ．2B ．C ．或2D ．0【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把角化为边，可得2c b =，然后根据余弦定理，可得,b c ，最后使用余弦定理，可得结果. 【详解】由4sin sin b B c C =，所以224b c =，即2c b =由2222cos a b c bc A =+-，又3a A π==所以()222224cos3b b b π=+-，则1b = 故2c =，又222cos 02a b c C ab故选：D 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题. 二、填空题：本题共4小题13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则ab=_____________．【解析】 【分析】首先分析直线与圆的位置关系，然后结合已知可判断四边形OBFA 的形状，得出cb的比值，最后得到答案. 【详解】设切点为,A B ，根据已知两切线垂直，∴四边形OBFA 是正方形，,OF c OA b ==cb=222a b c =+，可得3ab=. 故填：3. 【点睛】本题考查了直线与圆的几何性质，以及椭圆的性质，考查了转化与化归的能力，属于基础题型. 14．如图，在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a ，若AB a ，2BC a =，则所有正方形的面积的和为___________.【答案】245a 【解析】 【分析】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =，依次计算2123a a =，3223a a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯构成是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，不难发现：边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯正方形的面积构成是公比为49的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和． 【详解】根据题意可知12AB BC =，可得123a a =， 依次计算2123a a =，3223a a =⋯，是公比为23的等比数列，正方形的面积：依次2149S a =，22149S a =⋯，边长依次为1a ，2a ，⋯，n a ，正方形的面积构成是公比为49的等比数列．所有正方形的面积的和22144941519naS S a q ===--． 故答案为：245a【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题． 15．已知()cot csc fααα=+，若角α的终边经过点()43P ,-，求()f α的值.【答案】13【解析】 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cot α和csc α的值，从而可得()f α的值. 【详解】因为角α的终边经过点()43P ,-，所以4cot =3α-=x y ， 225csc 3α+===x y ry ，则451()cot csc 333=+=-+=f ααα.故答案为：13【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入m 、n 的值分别为203、116，则执行程序后输出的m 的值为______．【答案】29【解析】 【分析】程序的运行功能是求203m =，116n =的最大公约数，根据辗转相除法可得m 的值． 【详解】由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求m 、n 的最大公约数， 当输入的203m =，116n =，203111687=⨯+； 11618729=⨯+， 873290=⨯+，可得输出的29m =． 【点睛】本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x = 3.下列计算正确的是（ ） A.2()m n m n -=-B. 222log 3log 5log 15⨯=C. 1099222-=D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 25.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ-B. (cos ,sin )θθ-C. (cos ,sin )θθ-D. (sin ,cos )θθ-6.2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 47.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ= B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间D. ()f x 向左移12π可变为偶函数8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ） A .2339323二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若23()3f a =-，则a =_____. 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 14.在平面上，正方形ABCD 2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +r r与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f kα=+且(0,)απ∈，求tan α. 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+- （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð．【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð． 故选：B ．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ）A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x =【解析】 【分析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1lnln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 3.下列计算正确的是（ ） m n =- B. 222log 3log 5log 15⨯= C. 1099222-= D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．【详解】对于选项A m n =-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ- B. (cos ,sin )θθ- C. (cos ,sin )θθ- D. (sin ,cos )θθ-【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6.边长为2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r11122222221212222⎛⎫⎪⎝⎭++-=+-=．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题．7.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ=B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D. ()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A.B.3【答案】B 【解析】 【分析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解．【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |＝. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____.【答案】12- 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==， 1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭．故答案为：12-． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.【答案】(1). (2). 3(0,)2【解析】 【分析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标．【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C 点坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若()f a =a =_____. 【答案】 (1). 29- (2). 12- 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f -=-=-，计算可得答案；对于()3f a =-，分0a >与0a <两种情况讨论，求出a 的值． 【详解】根据题意，函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数， 则()()2222239f f -=-=-=- ；若()f a = 当0a >时，()23a f a ==当0a <时，()()233af a f a -=--=-=-，解可得12a =-， 故若()3f a -＝，则12a =-. 故答案为：(1). 29-； (2). 12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值即可求出()2f -的值；再根据三角函数的周期性结合特殊角的三角函数值，即可求出(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+的值．【详解】由()sin3f x x π=，得()22sin 3f π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭函数()sin3f x x π=的周期为2 63ππ=，()()()()()()245123456sinsinsin sin sin sin 203333f f f f f f ππππππ+++++=+++++=Q ()()()()()()()12320193360123f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯+++=故答案为：(1). ；(2). ．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查函数周期性的应用，是基础题．13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 【答案】±1【解析】 【分析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1．【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.【答案】4 【解析】 【分析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC ⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u ur 的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果．【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题． 15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.【答案】6c ≤-或2c ≥ 【解析】 【分析】 令4cos 3cos 3ct a a =+++，利用整体代换，原不等式等价于：存在实数t 使得{}max ,410t t +≥，易得10t ≤-，或6t ≥，令[]cos 324m a =+∈,，则4ct m m=+，问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立，利用分离参数法，易得c 的范围．【详解】令4cos 3cos 3ct a a =+++，存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立， 转化为：存在实数t 使得max ,}1{40t t +≥成立，易得10t ≤-，或6t ≥，因为a 实数，[]cos 32,4a +∈，令[]cos 324m a =+∈,， 则4ct m m=+， 问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立； 当10t ≤-时，可得410cm m+≤-，可得[]2410,2,4c m m m ≤--∈ ，可得6c ≤-； 当6t ≥时，可得46cm m+≥，即246,24[,]c m m m ≥-∈，可得2c ≥； 所以c 的范围为6c ≤-或2c ≥． 故答案为：6c ≤-或2c ≥．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数能成立问题的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用．三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<≤（2）12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）若0a =，化简A ，即可求A B I ；（2）由已知条件，可得213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，由此求出a 的取值范围．【详解】（1）若0a =，则{}03|A x x =≤≤，–1{|}1B x x x =<>或，故{}|13A B x x ⋂=<≤.（2）因为集合{|23}A x a x a =≤≤+，–1{|}1B x x x =<>或，A B R =U ，所以213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，解得12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查集合的运算，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4- 【解析】 【分析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-．（2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos 3α==-，tan 4α=-；所以tan 4α=或4-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题． 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】 【分析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式；（2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-. 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤⋃⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦，设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆， 当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥. （3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程(*)化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x+=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<，综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =.（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()6622f g p q ππ--=-+⋅，1()()()6622f g p q ππ=+⋅， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠.故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数. （2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增.理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 又14p q p +-在112p ≤≤时递增， 所以151,44p q q q p ⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max 1()24H x p q p =+-=， 可得1224p q p p +=+-，在112p ≤≤递增，可得11,24p q ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p -<-，即102p <<时， max ()max{(1),(1)}12H x H H q =-=-=，即1q =-， 可得11(1,)2p q p +=-∈--，综上可得，11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。

杭高2018学年第一学期期末考试高一（数学）试题卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,3A B x R x ==∈≥，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．已知α的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．33．在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ） A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上4．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，设()()13,,22a f b f c f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>5．函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点()()()2,3,5,4,7,10A B C ，有()AP AB AC R λλ=+∈，若点P 在第三象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．3,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞7．已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．若函数()()sin 20,0f x A x A ωω=>>在1x =处取得最大值，则函数()1f x +为（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是（ ）A ．1B ．2425-C ．725D ．725-10．函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如y x =是[]2,2-上的“平均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()2,0-C ．()0,2D ．(二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分．）11．计算：(22lg5+_________________．12．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为_________________．13．平面向量()()1,1,1,2AB n =-=，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅=_________________．14．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ-=_________________．15．已知()()[]3sin 3,0,f x x x φπ=+∈，则()y f x =与2y =的交点个数最多有_________________个．16．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论中正确的是_________________．（1）a 为单位向量；（2）b 单位向量；（3）a b ⊥；（4）//b BC ；（5）()4a b BC +⊥．17．若函数()22f x x a x =+-在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是_________________．三、解答题：（本大题共个5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本大题10分）设全集是实数集R ，{}{}22430,0A x x x B x x a =-+≤=-≤． （1）当4a =时，求AB 和A B ；（2）若R B C A ⊆，求a 的取值范围．19．（本大题10分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．20．（本大题10分）已知ABC ∆中，点()()()0,3,0,1,1,1A B C -．（1）以AC 为对角线作正方形AMCN （点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）若E 为BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求AD AE ⋅．21．（本大题12分）已知二次函数()216,f x x x k k R =-+∈． （1）若函数()f x 在[],2m m +上单调，求实数m 的取值范围；（2）是否存在常数()010t t ≤<，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间[],a b 且12b a t -=-？ （3）若()f x 在[](),m n n g ≤上的值域为[],m n ，求实数k 的取值范围．。