【精选】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课后集训新人教A版

2.3.1 平面向量基本定理
课后集训
基础达标

1.若=3e1,=5e1,且与的模相等，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．梯形C．等腰梯形D．菱形
解析：∵=3e1,=5e1,∴=,

∴、共线.∵、没有公共点，∴AB∥DC.又由于||≠||，
∴四边形ABCD是梯形.又∵||=||，
∴四边形ABCD为等腰梯形.
答案：C

2.设AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，且=a,=b,则等于（ ）
A．a+bB．a+bC．a-bD．-a+b
解析：设G为AD、BE的交点，则=+=b+a,所以
=a+b.
答案：B
3.设e1, e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．e1+e2和e1-e2B．3e1-2e2和4e2-6e1
C．e1+2e2和e2+2e1D．e2和e1+e2

解析：本题主要考查基底的条件：两向量不共线.而B中3e1-2e2=-（4e2-6e1）故两向量共
线.
答案：B
4.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,则向量a+2b与2a-b（ ）
A．一定共线B．不一定共线
C．仅当e1与e2共线时共线D．仅当e1=e2时共线
解析：a+2b=e1+e2+2（2e1-e2）
=e1+e2+4e1-2e2=5e1-e2,2a-b=2(e1+e2)-(2e1-e2)=2e1+2e2-2e1+e2=3e2,仅当e1,e2共线时a+2b与
2a-b共线，∴应选C.
答案：C

5.已知ABCD中，=，若=a,=b,则等于（ ）

A．a+bB．b-aC．a-bD．-a-b
解析：如右图所示，==b+（-）=b-a.
∴应选B.
答案：B
6.设e1、e2是不共线向量，而2e1-3e2与ke1+6e2共线，则实数k的值为______________.
解析：∵2e1-3e2与ke1+6e2共线，∴ke1+6e2=λ(2e1-3e2)

即：ke1+6e2=2λe1-3λe2.又∵e1与e2是不共线向量，∴
解得：λ=-2,k=-4.
答案：k=-4
综合运用
7.同一平面内的向量a，e1,e2,e3,e4,已知a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e3+μ2e4,且e1,e2不共线，e3,e
4

不共线，则（ ）

A.λ1=λ2,μ1=μ2B.λ1≠λ2,μ1≠μ2
C.λ1,λ2,μ1,μ2的取值与e1,e2,e3,e4有关D.以上说法都对
解析：深刻理解平面向量基本定理.平面内任一向量的表示与所选择的基底有关.
答案：C

8.(2003全国 )已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则等
于（ ）

A.λ(),λ∈(0,1)B.λ(),λ∈(0,)

C.λ(),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈(0, )
解析：由向量的运算法则，而点P在对角线AC上，所以与同向，
且||<||.∴=λ()(λ∈(0,1)).
∴应选A.
答案：A

9.如右图、不共线，且=t·（t∈R）,用、表示=___________.

解析：=+
=-=+t
=-t（-）
=（1-t）+t
答案：（1-t）+t
拓展探究
10.点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且=l,=m,=n,若

++=0.
求证：l=m=n.

思路分析：首先选出一组基底：=a,=b,再根据已知条件将、、都表示
出来，再使用向量基本定理证明.

证明：设=a,=b为基底，由已知得=la,=mb,∵=-a-b，

∴=n=-na-nb,
∴=+=(l-1)a-b,①
=+=a+mb,②
=+=-na+(1-n)b.③
将①②③代入++=0，得(l-n)a+(m-n)b=0.
∴l=m=n.
备选习题

11.如右图所示，△ABC中，若D、E、F依次是AB的四等分点，则以=e1,=e2为基底

时，=_________________.

解析：∵=e1, =e2,
∴=e1-e2.
∵=,∴=(e1-e2).
∵=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.
答案：e1+e2
12.已知如右图，两向量e1,e2,设a=3e1,b=2e2.求作：
（1）2a-b;

(2)(b-a).

作法：（1）如图甲，在平面内任取一点O，使得=2a=6e1,作=2e2,连结AB，则向量
即为所求作的2a-b向量.
（2）如图乙，在平面内任取一点O，使得=3e1,=2e2,连结MN，则向量为b-a,
取MN的三等份点P，使==(b-a).

13.如下图，P、Q分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，=a,=b,试用向量a、
b表示向量.

解：==+
=-+(-)
=-a-b=-(a+b).
14.如右图，梯形ABCD中，AB∥CD,M、N分别是、的中点，且=k,设 =e1,
=e2,以e1、e2为基底表示向量、.
解：∵=e2,且=k,
∴=k=ke2.
∵+++=0.
∴=---=-++=e1+(k-1)e2.
又∵+=0，
且=-,=,
∴=---=-++=.
15.如下图所示，梯形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD，E，F分别是AD，BC的中点.

（1）若设=e1,=e2,以e1,e2为基底表示；
（2）若设=z1,=z2,试以z1，z2为基底表示，.
解：(1)∵AB=2CD，且AB∥CD，∴=e1, =-e1.∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=（+）=（e1+e1）=e1, =+=e2+e1,
=e2+e1-e1=e2-e1.
(2)设=a,则=2a.∵=z1,
∴z1= (a+2a)=a.
∴a=z1,即=z1.
∴=-z1,=z1.
∵=+,
∴=-=z2-z1,=-= z2-z1.
16.△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线交DE于N.设
=a,=b,用a、b分别表示向量、、、、、.（如下图所示）

解：∵
==b-a，
由△ADE∽△ABC,得
==（b-a）.

由AM是△ABC的中线，DE∥，
得==（b-a）
而且AM=+=a+=a+(b-a)=(a+b).

== (a+b).