题型集训(13)——反比例函数图象与性质

专题12反比例函数的图象与性质综合问题（北京真题6道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率反比例函数（大题）2011.2012.2014.2017.2018 12年5考1.反比例函数的图象及性质（1）双曲线kyx=与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（2）对称性图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上．（3）k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx=上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|k|）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．图1 图22.反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（4）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分(x>0)的图象与直线y=x−2【例1】（2017·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，(x>0)的图象于点N.交函数y=kx①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【例2】（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k（x>0）的图象G经过点A（4，1），xx+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．直线l∶y=14（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；①若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2011·北京·中考真题）如图，已知反比例函数y1=k1x（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B两点，AC①x轴于点C. 若①OAC的面积为1，且tan①AOC＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值.2．（2012·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x(x>0)的图象与一次函数y=kx－k 的图象的交点为A（m，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足①PAB的面积是4，直接写出点P的坐标．3．（2011·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y=k的解析式；x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．4．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足34【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的图象与反比(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．例函数y=mx(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x<−4时，对于x的每一个值，反比例函数y=m的值大于一次函数y=k(x−1)+4(k>0)的值，直接x写出k的取值范围．2．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结合函数图象，直(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足m xp接写出OP长的取值范围．(k≠0)与一次函数y2=ax+4(a≠0) 3．（2022·北京·二模）图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图像只有一个公共点A（2，2），直线y3=mx(m≠0)也过点A．(1)求k、a及m的值；(2)结合图像，写出y1>y2>y3时x的取值范围．(k≠0)经过点A(2,−1)，直线l：4．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxy=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(k≠0)交于点C，与直线l交于点D．(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=kx①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；①当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．(x>0)的图象交5．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−k+4与函数y=mx于点A(1,4)．(1)求m的值；(x>0)的图象所围成的区域（不含边界）为W．点(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l与函数y=mxB(n,1)（n≥4，n为整数）在直线l上．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；①当区域W内恰有5个整点时，直接写出n和k的值．6．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+b与双曲线G：y=−12的x一个交点为A(−3,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx(k≠0)与双曲线G：y=−12有两个公共点，它们的横坐标分别为x1,x2(x1<x2)．直线xl1与直线l2的交点横坐标记为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．7．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=mx的值大于一次函数y=k(x−1)+6(k>0)的值，直接写出k的取值范围．8．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x−2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=kx (k≠0)的图象交于点B(3,m)，点P为反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点．(1)求m，k的值；(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．9．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函数y=mx．(1)当函数y=mx的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．10．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第二象限交于点M，①OBM的面积是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．11．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=k的图象上，求m的值；x(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；①当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．(k≠0)的两个交点分别为12．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kxA(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(k≠0)于点Q.当点Q位于点P的左侧时，(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=kx求点P的纵坐标n的取值范围.13．（2022·北京市第一六一中学分校一模）如图，在平面直角坐标系中，A(a,2)是直线l：y=x−1与函数(x>0)的图像G的交点．y=kx(1)①求a的值；(x>0)的解析式．①求函数y=kx(2)过点P(n,0)（n>0）且垂直于x轴的直线与直线l和图像G的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．(k>0)的图象交于A，B 14．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=kx两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；①当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值15．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线y＝mx交于点Ax（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y=k（xx＞0）的图象于点N．①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；①若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝k（xx＞0）的图象交于点A（3，m）．(1)求m、k的值；(2)点P（xp，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝k（x＞0）的x（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝kxMN围成的区域（不含边界）为W．①当xp＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为_____；①若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出xp的取值范围．−3的图象与性质．小17．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）有这样一个问题：探究函数y=2x−1−3的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完亮根据学习函数的经验，对函数y=2x−1整：(1)函数y=2x−1−3中自变量x的取值范围是；(2)表格是y与x的几组对应值．x…−3−2−1012322345…y…−72−113−4−5−7m−1−2−73−52…直接写出m的值；(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象与直线x=1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．①请再写出此函数的一条性质：．(5)已知不等式kx+b<2x−1−3的解集为1<x<2或x>4，则k+b的值为．18．（2020·北京·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，4)，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是边OC上一点，当△FBC~△DEB时，求直线FB的解析式．19．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+b与双曲线G：y=2x的一个交点为A(2,n)．(1)求n和b的值；(2)若直线l2：y=kx（k≠0）与双曲线G：y=2x有两个公共点，它们的横坐标分别为x1，x2（x1<x2），直线l1与直线l2的交点横坐标为x3，若x1<x3<x2，请结合函数图象，求k的取值范围．20．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝−2k（k≠0）．x(1)当k＝1时，①求出两个函数图象的交点坐标；①根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；(2)请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；(3)若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5√2，求k值．21．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中已知双曲线y=k过点A（1，1），与直线yx＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．(1)求k的值；(2)求点B，C的坐标；(3)若直线x＝t与双曲线y=k，交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2）．当y1<y2时，直接写出tx的取值范围．22．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=m的图象于A(2,−4)，xB(a,−1)两点.(1)求反比例函数与一次函数解析式.(2)连接OA,OB，求ΔOAB的面积.(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？23．（2022·北京·二模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m的图象相交于A(2，3)，B(6，n)x两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQ的值MN24．（2022·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(0，－1)和点B(3，2)．（1）求直线y=kx+b(k≠0)的表达式；(m≠0)．（2）已知双曲线y=mx(m≠0)经过点B时，求m的值；①当双曲线y=mx①若当x>3时，总有kx+b>m直接写出m的取值范围．x(x>0)的图象上．25．（2021·北京·二模）如图，A、B两点在函数y=mx（1）求m的值及直线AB的解析式；(x>0)的图象（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数y=mx与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．26．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反比例函数y=k(k<4)的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．x（1）当k=−4时，求线段AC，BD的长；（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．27．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m与一次函数y=kx+b相交于A（3，x2）、B（－2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；交于点C，与一次函数y=kx+b交于（2）过P（p，0）（P≠0）作垂直于x轴的直线，与反比例函数y=mx点D，若SΔCOP=3SΔDOP，直接写出p的值．28．（2021·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P(2 , 2 )．x（1）求k的值；（x ＞ 0）的图象交于点N，过点M作x轴（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S△MNQ≤2时，通过画图，直接写出a的取的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当12值范围．(m≠0)的29．（2021·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx图象交于点A(−1,n)，B(2,−1)两点．（1）求m,n的值；(m≠0)（2）已知点P(a,0)(a>0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=mx的图象于点M,N，若线段MN的长随a的增大而增大，直接写出a的取值范围．(x>0)的30．（2021·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx−k+2(k>0)，函数y=2kx图象为F．(x>0)的图象F上，求直线l对应的函数解析式：（1）若A(2,1)在函数y=2kx（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线l:y=kx−k+2(k>0)，图象F和直线y=1围成的区域2（不含边界）为图形G．①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；①若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．。

反比例函数及其图象和性质（4大考点9大题型）课程标准学习目标结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k>0和k<0时反比例函数ky x= (k ≠0)图象的整体特征．1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。

2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。

3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

5、理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

知识点一：反比例函数的概念及表达式如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.知识点二：反比例函数图象的画法（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点三：反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.2.反比例函数的性质（1）当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；（3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线y x =±对称；知识点四：反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，与两条坐标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．题型01 用反比例函数表示数量关系1．下列说法正确的是（ ）A ．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；B ．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；C ．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；D ．圆的周长与直径成正比例关系．2．已知压力F 、受力面积S 、压强P 之间的关系是FP S=．则下列说法不正确的是（ ）A ．当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系；B ．当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大；C ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成正比例函数关系；D ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系．3．若某城市市区人口x 万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为．4．计划修建铁路1200km (d)y 是每日铺轨量(km /d)x 的反比例函数吗？题型02 根据反比例函数定义求参数5．若函数2n y nx -=是反比例函数，n 的值是（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．不能确定6．若函数1m y x -=为反比例函数，则m 的值是 ．7．若函数()232m y m x -=-是反比例函数，则m =．8．已知()322m y m m x -=+是关于x 的反比例函数，则()20232m -= ．题型03 求反比例函数的自变量或函数值9．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增加它的12时，y 将（ ）A ．减少它的12B ．减少它的13C ．增加它的12D ．增加它的1310．在反比例函数5y x=中，当10x =时，y = ．11．反比例函数6y x=中，2x =，则y = ．12．某蓄电池的电压为60V ，使用此蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）的函数表达式为60I R=，当12R =W 时，I 的值为 A ．13．已知反比例函数12y x =-的图象经过点()1,4A a +，则a = ．14．已知反比例函数12y x=-．(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．(2)求当3x =-时函数的值．(3)求当y =时自变量x 的值．题型04 利用反比例函数求解析式15．已知12y y y =-，并且1y 与x 成正比例2y 与(2)x -成反比例，当2x =-时，7y =-；当3x =时，13y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)求当5x =时的函数值．16．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成正比例，2y 与(1)x +成反比例，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-．(1)求y 的表达式；(2)求当2x =-时y 的值．17．已知函数12y y y =+，1y 与1x +成正比例函数，2y 与x 成反比例函数，当1x =时，7y =，当3x =时，9y =．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当=1x -时，y 的值．18．已知 121y y y y =+，与 x 成正比例，2y 与 23x -成反比例． 并且当 2x =时，5y =；当 12x =，74y =-求 y 与 x 之间的函数关系式．题型05 反比例函数图象与参数之间的关系19．若反比例函数21m y x -=的图像在第二、四象限，则m 的最大整数值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-20．若反比例函数21m y x-=的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．12m £B ．12m ³C ．12m <D ．12m >21．如图是反比例函数(0)ky x x=>的图像，写出一个符合要求的整数k 的值是 ．22．如图是反比例函数2m y x-=的图象，那么实数m 的取值范围是 ．题型06 反比例函数的增减性与参数之间的关系23．在函数()0ky k x=<的图象上有三点()11,x y ，()23,x y ，()33,x y ，已知1230x x x <<<，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>24．若点()()()122331,,,,,A x y B x y C x y 都在反比例函数21k y x +=的图象上，若1230x x x <<<则123,,y y y 的大小关系是．（请用“<”号连接）25．反比例函数3y x=的图象，当0x >时，y 随x 的增大而 ．26．如果反比例函数34ay x-=的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，那么a 满足的条件是 ．27．反比例函数||3(1)k y k x -=-+，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则k = 28．已知点()()121,,2,A y B y 都在反比例函数1m y x+=的图象上，且12y y <，则m 的取值范围为 ．题型07 利用图形面积求比例系数k29．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，过点A 作AC y ^轴于点C ，过点B 作BD x ^轴于点D ，AC BD =，若3OC =，AOB V 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．430．如图，过反比例函数ky x=()0x <图象上的一点A 作AB x ^轴于点B ，连接AO ，若4AOB S D =，则k 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-31．如图，点A 是函数3y x =-（0x <）图象上一点，点B 是ky x =（0k >，0x >）图象上一点，点C 在x轴上，连结AB ，CA ，CB ．若AB x ∥轴，4ACB S =△，则k =（ ）．A ．4B ．2C ．2.5D ．532．如图，在平面直角坐标系中，若将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数ky x=的图象上，已知点()4,0B ，连接AB 、A B ¢，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式ky x=中的k 值是（ ）A ．4B ．8C ．4-D ．8-33．如图，平行四边形的顶点B 在x 轴上，点A 在()0ky k x=<上，且AB x ^轴，对角线DB 的延长线交y 轴于点E ，若3BCE S =V ，则k =（ ）A ．3-B ．6-C ．―8D ．9-题型08 利用比例系数k 求图形面积34．如图，两个反比例函数5y x=和3y x =在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ^轴于点A ，交2C 于点B ，则POB V 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法计算35．如图，反比例函数6y x-=，点A 位于反比例函数图像上，AB 垂直于x 轴，点C 在y 轴从上往下运动的过程中，三角形ABC 的面积变化情况是（ ）A ．不变B ．一直变大C ．先变大后变小D ．先变小后变大36．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在y 轴、x 轴上，BD x ^轴，与双曲线()160y x x=-<交于点B ，与双曲线()220y x x=-<交于点C ，若四边形OABC 为平行四边形，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．437．如图，反比例函数()0ky k x=≠经过A 、B 两点，分别过A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若AEO △的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（ ）A ．2B ．32C ．3D ．138．如图，点,A B 均在反比例函数()00ky k x x=≠>，的图象上，AC x ^轴于点,C BD x ^轴于点D ，连接BC ，若()24,6A CD =，，则BCD △的面积为 ．题型09 反比例函数图象和性质的综合判断39．对于反比例函数1y x=，下列说法错误的是（ ）A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的两支图象关于原点对称C ．当120x x <<时，则210y y <<D ．y 随x 的增大而减小40．已知反比例函数 2y x=，则下列描述不正确的是（ ）A ．图象位于第一、三象限B ．图象必经过()1,2C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小41．已知反比例函数3y x =-，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点()1,3-B ．在每一象限内，y 随x 的增大而增大C ．若1x >，则3y >-D ．图象位于第二、四象限内42．下列说法中不正确的是（ ）A ．函数5y x =的图象经过原点B ．函数3y x=的图象位于第一、三象限C ．函数32y x =-的图象不经过第二象限D ．函数2y x=-的值随x 值增大而增大43．下列关于函数说法错误的个数为（ ）（1）已知反比例函数ky x=的图像在第一象限，则k 的取值范围是0k >且0x >；（2）单曲线不是反比例函数（3）只要满足xy k =且自变量k 为不为0的常数的函数，就是反比例函数（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定（5）直线1y =是常值函数，常值函数不是函数（6）直线1x =不是函数A ．1B ．2C ．3D ．444．如图：点P 、Q 是反比例函数k y x=图象上的两点，PA y ^轴于点A ，QN x ^轴于点N ，作PM x ^轴于点M ，QB y ^轴于点B ，连接PB 、QM ，ABP V 的面积记为1S ，QMN V 的面积记为2S ，则1S 与2S 的大小关系是（ ）A ．12S S <B ．12S S =C ．12S S >D ．122S S =45．如图，点P ，Q ，R 为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x 轴，y 轴的垂线，与y 轴的交点分别为点C ，B ，A 123S S S ，，，其中::1:2:3OA AB BC =，若26S =，则13S S +=（ ）A ．15B ．12C ．10D ．1846．如图，已知点()63P ，，过点P 作PM x ^轴于点M ，PN y ^轴于点N ，反比例函数k y x=的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ，若四边形OAPB 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．6B ．6-C ．12D ．1-47．在函数231m y x --=-（m 为常数）的图象上有三点()()()1234,,2,,1,y y y --，则函数值123,,y y y 的大小关系为（ ）A ．213y y y <<B ．123y y y <<C ．321y y y <<D ．312y y y <<48．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，15OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到OA D ¢△，若反比例函数k y x=（0k ≠）的图象经过A ¢点，则k 的值为（ ）A ．27B ．48C ．54D ．10849．如图，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB Ð．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．50．从2-，1-，3，6四个数中任意取一个数作点P 的横坐标，记为m ，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n ，则点(),P m n 落在反比例函数6y x=-图象上的概率是 ．51．如图，点A 在反比例函数()100y x x =-<的图象上，AB x ^轴于点B ，C 是点B 关于原点O 的对称点，连接AC ，则ABC V 的面积为 ．52．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC BC ，分别落在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a 个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A B ，两点恰好都落在函数6y x=的图象上，则a 的值为 ．53．如图，点A 是反比例函数()0k y x x=>的图象上一点，过点A 作AC x ^轴，垂足为点C ，延长AC 至点B ，使2BC AC =，点D 是y 轴上任意一点，连接AD ，BD ，若ABD △的面积是9，则k 的值是 ．54．如图，在ABC V 中，AB AC =，点A 在反比例函数(00)ky k x x=>>，的图象上，点B C 、在x 轴上，4BC OC =，若ABC V 的面积等于8，则k 的值为 ．55．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的边AC x ∥轴，边∥BC y 轴，且点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数k y x =（k 为大于0的常数，0x>）的图象上．若212,x x ABC =△的面积是2，则k 的值是 ．56．如图，点A ，B 在反比例函数()0k y k x=>的图象上，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，线段AB 交x 轴于点E ，连接AD BC ，．若DE EO OC ==，四边形ADBC 的面积为9，则k 的值为 ．57．已知函数1k y x =，()20k y k x=->，当13x ££时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为 ．58．如图，点A ，B 分别在函数()0a y a x=>图像的两支上（A 在第一象限），连结AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数()0,0b y b x x=<<图像上，AE x P 轴，BD y ∥轴，连结DE ，BE ．若2AC BC =，ABE V 的面积为12，四边形ABDE 的面积为15，则a b -的值为 ．59．如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D 都在函数)0y x =>的图象上，BE x ⊥轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OF 的值为 ，点F 的坐标为 ．。

专题01 反比例函数的概念、图像和性质【思维导图】◎考点题型1反比例函数的概念一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

表现形式：xk y =还可以写成kx y =1- 和 xy= k 的形式.【注意】反比例函数xky =的自变量x≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点。

反比例函数解析式的特征:1.等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.2.比例系数0≠k 3.自变量x 的取值为一切非零实数。

4.函数y 的取值是一切非零实数。

例．（2020·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）．A ．正方形的边长和面积B ．圆的周长一定，它的直径和圆周率C ．速度一定，路程和时间D ．总价一定，单价和数量变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．21y x =+B ．22y x =C ．2y x =D ．15y x=-变式2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）已知()24m y m x+=+是反比例函数，则函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第三、四象限变式3．（2022·辽宁丹东·九年级期末）若反比例函数的图象经过()2,2-，()1,a ，则=a （ ）A ．1B ．－1C ．4D ．－4◎考点题型2 反比例函数的图像图像的画法：描点法1.列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）2.描点（由小到大的顺序）3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征：1.函数的图像是双曲线．2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线y = x 或y= -x 对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．例．（2021·湖南永州·九年级期中）在同一直角坐标系中，反比例函数ky x=与一次函数2y kx k =+的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．变式1．（2021·陕西·榆林市第一中学分校九年级期中）若函数()221m y m x -=-的图象是双曲线，则m 的值为（ ）A ．±1B ．1C D ．1-变式2．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线y ＝4x相交于A 、C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2变式3．（2022·河南驻马店·一模）如图，直线AB 经过原点O ，且交反比例函数ky x=的图象于点B ，A ，点C 在x 轴上，且12BC BA =．若12BCA S =△，则k 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．6-D ．6◎考点题型3 已知双曲线分布的象限，求参数的取值范围反比例函数的性质：k 的取值图像所在象限函数的增减性k>0一、三象限在每个象限内，y 值随x 的增大而减小k>0二、四象限在每个象限内，y 值随x 的增大而增大【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

9.2反比例函数的图象与性质
问题情境
（１）反比例函数的图象是什么？ （２）反比例函数图象有何性质？ （３）反比例函数与正比例函数的图象有何区别？
填空
任意写出 一个反比 例函数
k的符 号
图象所在的 增减性 象限
KK<>00 一 二、三 四象限 每个分支y随x的
的 增增大大而而减增小大
一次函数y=kx-k与反比例函数y k 在同一直角
坐标系内的图象大致是
x （ C）
A
B
C
D
例 如图，是反比例函数 y 2 m 的图象的一
支．
x
(1)函数图象的另一支在第几象限？
(2)试求常数m的取值范围；
(3)点A(-3,y1) 、B(-1,y2)和C(2,y3)都在这个反比例 函数的图象上，比较y1、y2、y3的大小．
随堂练习 k
1、已知：反比例函数 y x 与一次函数y mxb
（１）求点A、B、D的坐标； （２）求一次函数和反比例函数的解析式．
拓展练习
的图已象知都反过比点例Ｐ函（数a,y21 a） ．2xa 和一次函数 y2 kx2
(1)求a与k的值； (2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象； (3)若两函数图象的另一个交点是Q(0.5,4)，利用图 象指出：当x为何值时，有y1>y2？
的图象交于P(-2,1)和Q(1,n)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求n解析式．
2、已知：一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、
y轴交于A、B两点，且与反比例函数
y
m (m 0) x
的图象在第一象限交于点C，CD⊥X轴于D，且
OA=OB=OD=1．