第四章 弯曲应力知识总结

D
3m
K
1m
Me=5kN·m B FBy
0.5m 在平面任意力系情形下，矩心应该取在多个未知力的交点上，而坐
标轴应当与尽可能多的未知力垂直
Fx 0
FAx 0
Fy 0 MA 0
FAy 50 20 3 29 0
FAy 81kN
M A 50103 1 5103 20103 4 3 0 M A 96.5kN m
M1
MC1 0 M1 F a 0
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
12 a
FA 截面3—3
12
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
梁 ——以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。
§4-1 弯曲的概念和实例
最基本常见的弯曲问题
§4-1 弯曲的概念和实例
§4-1 弯曲的概念和实例
常见弯曲构件截面
圆截面
T型截面
工字型截面
槽型截面
Ⅱ、梁的计算简图 1、支座的基本形式
约束特征：水平和竖直方向不能平动，但可以自由转动
约束特征：竖直方向不能发生位移，但是可以在水平 方向发生位移，也可以自由转动

F
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A

0:
y
A
N dA E
A

dA
E

A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E


y 2 dA 令： y 2 dA I Z A



C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4

FS
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
FBy 横截面的内力系的 合力偶矩
目录
FS
§4-3 剪力和弯矩
M FN FN FS FBy M
FAy
FS
截面上的剪力对所选梁 段上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为 负。 截面上的弯矩 使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
D
E
F
2kN
B
FBY
例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。
1.5m
1.5m
解：1．B
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN 2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 建立 F S 一x 和 M一x 坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图 与弯矩图。
目录
§4-5
A
FAY
1.5m
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
C
dF qdx
a S a
b
b
dM
a
b
b
a
FSdx
b a
FS b FS a Aq
b a
M b M a AFS
目录
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。

2、这些切应力沿 y方向的分量
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max

FS
S
* z
Izd

FS

1 2

πd 2 4

2d
3π

πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz

Iz ymax

75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10