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3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典公开课比赛教案及练习解答)

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第5课时 课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1） 【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 【教学重难点】 用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学过程】 一.课题导入 1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第82页的“银行信贷资金分配问题” 教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识： 二.讲授新课 1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 uuuuur转化 数学问题： 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。 （把文字语言 uuuuur转化 符号语言） （资金总数为25 000 000元）25000000xy （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）(12%)x+(10%)y30000 即12103000000xy

（2） （用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）0,0xy （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 25000000121030000000,0xyxyxy





2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考 回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点； 第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。 设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第83页的表格， 横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P的纵坐标1y 点A的纵坐标2y 并思考： 当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 学生思考、讨论、交流，达成共识： 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。 因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论： 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】 例1 画出不等式44xy表示的平面区域。 解：先画直线44xy（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在44xy表示的平面区域内，不等式44xy表示的区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当0C时，常把原点作为此特殊点。 变式1、画出不等式1234yx所表示的平面区域。 变式2、画出不等式1x所表示的平面区域。

例2 用平面区域表示.不等式组3122yxxy的解集。 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不等式312yx表示直线312yx右下方的区域，2xy表示直线2xy右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式1、画出不等式04)(12(）yxyx表示的平面区域。 变式2、由直线02yx，012yx和012yx围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。 三.随堂练习

四.课时小结 1．二元一次不等式表示的平面区域． 2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域． 五.作业 课后反思：应用列取的方法帮助学生理解不等式的解是一个平面区域是一个好的方法。

第6课时 课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2） 【教学目标】 1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件； 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【教学过程】 一.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取特殊点（x0,y0)，从

Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特

殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。 随堂练习1 1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.

2、画出不等式组3005xyxyx表示的平面区域。 二.讲授新课 【应用举例】 例1 见书P85页例3 例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

B(-52,52)C(3,-3)

A(3,8)x=3

x+y=0

x-y+5=0063x

y41018156600xyxyxy







在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)((yxyx； (2) xyx2 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由xx2，得0x，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。

解：(1)10010yxyxyx或10yxyx矛盾无解，故点),(yx在一带形区域内（含边界）。 (2) 由xx2，得0x；当0y时，有020yxyx点),(yx在一条形区域内(边界)；当0y，由对称性得出。 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

例2、利用区域求不等式组015530632032yxyxyx的整数解 分析：不等式组的实数解集为三条直线032:1yxl，0632:2yxl，01553:3yxl所围成的三角形区域内部(不含边界)。设All21，Bll31，

Cll32，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y

的一元不等式组得出相应的y的整数值。 解：设032:1yxl，0632:2yxl，01553:3yxl，All21，

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高中数学《第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题信...》26PPT课件 一等奖名师

高中数学《第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题信...》26PPT课件 一等奖名师


2、所做平面区域的边界的实虚应如何确定？
2016/9/9
1、如何画出二元一次不等式表示的平面区域?
作线→取点→画区域
直线定界，特殊点定域
2、所做平面区域的边界的实虚应如何确定？
带等为实，反之为虚
2016/9/9
y 3x 12 例2 用平面区域表示不等式组 x 2 y
的解集。
• 一、小组交流讨论前置作业的内容 • 重点讨论—— • 1、前置作业第1题——如何用不等式模型 来刻画
2016/9/9
一家银行的信贷部计划年初投入 25000000元用于企业和个人贷款，希 望这笔资金至少可带来30000元的收 益，其中从企业信贷中获益12%，从 个人贷款中获益10%。那么，信贷部 如何分配资金呢？
• 一、小组交流讨论前置作业的内容 • 重点讨论—— • 1、前置作业第1题——如何用不等式模型 来刻画 • 2、前置作业第6题（填课本83页的表格） • 研究二元一次不等式x-y<6的解集所表示的 图形
2016/9/9
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集 所表示的图形。
2016/9/9
◆当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵
坐标有什么关系？点A的纵坐标大于点P的纵坐标
◆直线x-y-6=0左上方点的坐标是否都满足不等 式x-y-6<0？
是
◆直线x-y-6=0右下方点的坐标呢？
满足不等式x-y-6>0
2016/9/9
y
边界 x-y-6=0
左上方区域 x-y-6<0
2016/9/9
二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划第1、2课时精品教案

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划第1、2课时精品教案

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划【课题】：3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（1、2）【教学目标】：（1）知识目标：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式（组）。

（2）过程方法目标：从实际问题情境中抽象出二元一次不等式组，用类比的方法探究二元一次不等式(组)所表示的平面区域。

（3）情感与能力目标：通过银行信贷资金分配问题情境，激发学生探究热情和兴趣。

培养学生应用数学解决实际问题的意识和能力，探究过程有利于培养学生良好意志品质和探索钻研精神。

【教学重点】：如何刻画二元一次不等式(组)所表示的平面区域。

++的符号都相同”这一规律。

【教学难点】：发现“处于直线同侧的点式子Ax By C【教学突破点】：利用特殊点的坐标判断二元一次不等式(组)表示的平面区域。

【教法、学法设计】：类比探究法。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：第一课时变式220x y x y ++≥⎧⎪-≥【布置作业】1、106p A1、2 107p B1。

【思考题】1.（教材P107 B2）画出0)3)(12(>+--+y x y x 表示的平面区域.2．（教材P116 A4）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<<>++000834y x y x 表示的平面区域内的整点坐标是3．求不等式222≤-+-y x 所表示的平面区域的面积。

略解：原不等式222≤-+-y x 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥+≥≤-≥-≤≥≤-≥≥≤+)2,2(2)2,2(2)2,2(2)2,2(6y x y x y x y x y x y x y x y x 作出以上不等式组所表示的平面区域，它是边长为22的正方形，其面积等于8。

第二课时生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷车皮乙种肥料需要的主要原料是磷．现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，画并分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面略解：0,0,101,(1),(1)x y x yx y x y y x y x x x y y >>-->+>--+-->+--> 0,0,y>>30y ≥1． 如图ABC ∆中，(3,1)A -、(1,1)B -、(1,3)C ，写出ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组2． 求不等式2x y +≤表示的平面区域的面积3． 【2007武汉调研（文）】已知点(,)M x y 满足：22221y x x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，则点M 的集合所构成的图形的面积为（ ） （A ）π （B ）2π （C ）4π（D ）2π4．实数,x y 满足(6)(6)014x y x y x -++-≥⎧⎨≤≤⎩，则yx 的最大值是（ ）（A ）52 （B ）7 （C ）5 （D ）125．（思考题）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【补充练习答案与提示】1． 根据两点式写出直线方程:210AB x y +-=，:20BC x y -+=，:250AC x y +-=；可得不等式组： 21020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩2． 2x y +≤可化为：002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或002x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或002x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或002x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，不等式组表示的平面区域 面积为14482S =⨯⨯= 3．B4．(6)(6)014x y x y x -++-≥⎧⎨≤≤⎩606014x y x y x -+≥⎧⎪⇒+-≥⎨⎪≤≤⎩或606014x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩得不等式组表示的平面区域（如图），其中点(1,7)A ；设(,)P x y ，原(0,0)O ，则OP yk x=，由图知OP k 最大值是7 5．（思考题）设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，则100.30.1 1.800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩盈利（目标函数）为0.5z x y =+，不等式组表示的平面区域（如图）当4,6x y ==时，0.5z x y =+取最大值为7（万元）作者介绍：梁贵烈（1965－ ），男，湖南吉首人，1985年毕业于吉首大学数学系，研究生学历，中学数学高级教师。

高中数学《第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题信...》28PPT课件 一等奖名师

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顶点C在第一象限，若点（x,y）在△ABC内部，则z=-x+y的 取值范围是＿＿＿＿。
A.(1-,2) B.(0,1+ 3) C.( 3 -1,2) D.(0,2)
3 2x y 9
3.（2011课标卷.14）若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为＿＿＿＿。
6
x
y
9
2x y - 2 0
• 练习2：若实数x,y满足约束条件 x - y 1 0 ，则z=x²+y²的
x - 2y -1 0
取值范围为＿＿，z= y 1的最小值为＿＿＿。
x 1
变式：
• 已知实数x,y满足 x - y 1 0
x y - 2 0 x 0 y 0
（1）、若z=x-2y,求z的取值范围。 （2）、若z=x²-2x+y²+4y,求z的取值范围。 （3）、若z= y ,2求z的取值范围。
x 1
归纳小结：
• （1）、求z=ax+by(ab≠0)的最值（或取值范围），将函数 z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-a x+ z ,通过求直线的截距 的最值（或取值范围）间接求出z的b 最b值（或取值范围）。
• （2）、求z=(x-a)²+(y-b)²的最值（或取值范围），即求可 行域中的点（x,y）与(a,b)两点间距离的平方的最值（或 取值范围）。
x 2
（1）、若z=2x+y,求z的最大值和最小值。 （2）、若z=x²+y²,求z的最大值和最小值。 （3）、若z= y , 求z的最大值和最小值。
x
练习：
x y - 2 0
• 练1：若实数x,y满足约束条件 x - 2y 1 0 ，则z=3x+y的
专题3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(课件)高二数学同步精品课堂(提升版)(必修五)

专题3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(课件)高二数学同步精品课堂(提升版)(必修五)

等式组．
满足二元一次不等式（组）的有序实数对 (x, y) 构成的集合称作二元一次不等式组的解集．
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【问题1】二元一次不等式（组）的解集用 什么图形表示呢？
一元一次不等 式(组)的解集
实数x构 成的集合
数轴上的 一个区间
二元一次不等 式(组)的解集
有序实数对
（x，y）构
成的集合
若C≠0,特殊点取原点;
若C=0,特殊点(0,1) 或(1,0).
【3】二元一次不等式组表示的平面区域是各个不 等式表示的平面区域的公共部分. 【4】本节课的学习应用了什么数学思想?
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1.课本P.93 A2, B1 学案
2.预习课本 P87~90
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x＋y＝12， 2x＋y＝19
确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900 元．
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【1】二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平 面区域.
【2】画二元一次不等式Ax+By+C>0的解集表示的 平面区域的步骤： ➢直线定界，注意虚实；
➢特殊点定域.
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解析 设派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，获得的利润为 z 元，z＝450x＋350y，
x＋y≤12， 2x＋y≤19， 由题意，x、y 满足关系式 10x＋6y≥72， 0≤x≤8， 0≤x≤7， x，y∈N.
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作出 相应 的平 面区域 ， z ＝ 450x＋ 350y＝ 50(9x ＋7y) ，在 由
平面直角 坐标系内的
一个区域
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【问题2 】在平面直坐标系中，x-y-6<0 的