2.1.1合情推理预习案一、【教材知识梳理】1．合情推理包括 和 ．2．归纳推理：（1）概念：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理叫做归纳推理。
（2）特点：归纳推理是从 到 的过程。
（3）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．类比推理：（1）概念：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的推理，叫做类比推理． （2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 二、【预习检测】 1、从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 ． 2．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理 3．球心到球面上每一点的距离相等。
类比到平面，有_______________ _____ ４．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为________________探究案一、【典例解析】例1 已知数列{}n a 的第1项11a =，且()11,2,1n n na a n a +==+…，试归纳出这个数列的通项公式．例2．观察下面几个算式，找出规律：1+2+1=4； 1+2+3+2+1=9； 1+2+3+4+3+2+1=16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…利用上面的规律，请你算出1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
2.1.1推理与证明：合情推理2.1.1合情推理当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时,我们会得到一个判断：天要下雨了 问题：什么叫推理?根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.一、合情推理1、归纳推理：【1】1742年哥德巴赫(Goldbach ，1690～1764， 是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到：哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.猜想的过程：具体的材料—————>观察分析——————>猜想出一般性的结论【2】统计初步中的用样本估计总体通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断.【3】成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹633,835,1055,=+=+=+1257,1477,16511,=+=+=+1002100013299786,1,93=+=+推理.由：22431==+，239531==++，24167531==+++，252597531==++++，……猜想：前n 个连续奇数的和等于n 的平方，即：()212....531n n =-++++例题1、已知数列{}na 的第一项11=a，且121+=+n nn a a a(*N n ∈)，试归纳出这个数列的通项公式.例题2、已知数列{}na 的各项为正,前n 之和满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n na a S121(*N n ∈).(1)求出321a a a ，，，(2)猜想{}na 的通项.探究：法国数学家费马观察到51212=+，171222=+，2571232=+，655371242=+，费马猜想：任何形如122+n(*N n ∈)都是质数. 反例：6700417641429496729712525⨯==+=F.点评：事实上由归纳推理获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.不一定正确!1、 类比推理【1】先把火星与地球作类比,发现火星存在一些与地球类似的特征,然后从地球的一个已知特征（有生命存在）出发,猜测火星也可能具有这个特征, 用表格的形式把空上过程表示出来. 地球火星 行星，围绕太阳运行，绕轴自转 行星,围绕太阳运行,绕轴自转 有大气层 有大气层 一年中有季节的变更一年中有季节的变更温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 有大气存在 有大气存在 有生命存在 可能有生命存在 【2】试根据等式的性质猜想不等式的性质.等式的性质 猜想不等式的性质： c b c a b a +=+⇒= c b c a b a +<+⇒< bc ac b a =⇒=bc ac b a <⇒<22b a b a =⇒= 22b a b a <⇒<显然：同归纳推理获得的结论一样，这样猜想出的结论未必可靠.不一定正确! 1、类比推理的特征由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理. (1)类比推理是由特殊到特殊的推理;(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象. 2、类比推理的特点(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以旧有知识为基础,类比出新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性. (3)类比的结果具有猜测性.利用“平面向量的性质”类比得“空间向量的性质” 平面向量的性质 空间向量的性质 若()()2121,,b b b a a a ==，则：(1)()2211,b a b ab a ±±=± (2)()R a a a ∈=λλλλ，21, (3)2211b a b a b a +=⋅(4)2211//b a b ab a λλ==⇔，，R ∈λ (5)02211=+⇔⊥b a b a b a(6)2221a a a +=若()()321321,,,,b b b b a a a a ==，则：(1)()332211,,b a b a b ab a ±±±=±(2)()R a a a a ∈=λλλλλ，321,, (3)332211b a ba b a b a ++=⋅(4)332211,//b a b a b a b a λλλ===⇔，，R ∈λ(5)0332211=++⇔⊥b a ba b a b aAB Ca b c D P E (6)232221a a a a ++=例1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．由222b a c+=，猜想：PDFDEF PDE PEFS S S S∆∆∆∆++=分析：两个类比对象的相似特征 ︒=∠90C ︒=∠=∠=∠90EDF PDE PDF2条直角边b a 、和1条斜边c3个“直角面”和1个“斜面” 三条边的长度c b a 、、的关系 4个面的面积DEFPDFPDES S S ∆∆∆，，的关系点评：事实上类比推理由特殊到特殊的推理；以旧的知识为基础，推测新的结论；具有发现的功能；结论不一定成立!类比推理的过程：从具体问题出发————>观察分析、比较联想————>归纳类比————>提出猜想例2、传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.要求：1、每次只能移动1个圆环；2、较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你试着推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次?例3、四色猜想：每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.猜想来源：1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时，发现了四色猜想.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.例4、哥尼斯堡七桥问题猜想来源：18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
