5.3第三节 不定积分分部积分法张培强

  • 格式:pdf
  • 大小:512.47 KB
  • 文档页数:9

二、分部积分法
1、分部积分公式
设u=u(x)、 v=v(x)具有连续导数,则有: ′ ′ uv = u v + uv′ ′ ′ 移向得 uv = uv − u′v ′ 两边积分 ������������ ������������ = ������������ − ������′������������������ 或写成下面的形式 ������������������ = ������������ − ������������������ 以上两个等价公式被称为分部积分公式.
则dx = tdt
原式 = = ������������ ������ − =
������������ ������ ������������ =
������������������ ������
������ ������ ������������ = ������������ ������ − ������ ������ + ������
课堂练习题1

x x e dx
注 被积函数为多项式与指数函数或三 角函数乘积时,选取多项式为u,目的是 尽快降低多项式的次数 例2
������������������������������ = ������������������������ − ������������������������������ = ������������������������ −
= ������������������������ − ������������ = ������������������������ − ������ + ������
1 ������ dx ������
例3 ������������������������������������������������������������ =
������ ������������������������ ′ ������������
= ������������������������������ −
������������������������������������ = ������������������������������ + ������������������������ + ������
注意:(1)公式适用被积函数为两个函 数u和v′的乘积 (2)应用公式成功的标志是右边的积分 ������������′������������比左边的积分 ������������′������������更容易求得 2、公式的应用及说明
例1
������������������������������������������ =
������ 2 ������������������������������������������ 2

1 2 1 = (������ + 1)������������������������������������������ − ������ + ������ 2 2
课堂练习题2 ������������������������������������������������������
2������−1
2������ − 1 − 1 ������
+ ������
再见
������������������������������(������ ������ ) = ������ ������ (������������������������ − ������������������������) −
1
������ ������ ������������������������������������ = 2 ������ ������ ������������������������ − ������������������������ + ������ ������������������ 2 ������������������
������������������������������ ������ ������ = ������ ������ ������������������������ − ������ ������ ������������������������������������ ������ ������ ������������������������������������
������ 2 ������������������������������������������( )′������������ 2 1 ������ 2 ������������ 2 2 1+������
=
课堂练习题3
(������ 2 +1) ������������������������������
注 被积函数为对数函数或反三角函数与其他函数乘积时, 选取对数函数或反三角函数为u, 目的是尽快消除对数函数或反三角函数
例4 ������ ������ ������������������������������������ = = ������ ������ ������������������������ − 移项解方程得
课堂练习题4
注 当所求积分经过一次或两次分部积分后, 重复出现,可以通过移项解方程,再加上任意常数c的方法求得积分
特别提示:在求积分时,往往单一方法达不到求解的目的,需要综合各种方法。 下面的例题兼用了换元法和分部积分法。
例5
������
2������−1 ������������
解 令 22/1
第五章 不定积分 第三节 分部积分法 一、引例 二、分部积分公式
三、分部积分公式的应用 及说明
1
一、引例
先看两个简单例子: 我们在复合函数求导法逆运算的基础上, 建立了换元积分法,但面对:
x cos xdx
x x e dx
这样简单的积分,无能为力, 为此我们引入分部积分法。