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微积分：不定积分的分部积分法

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不定积分的分部积分法迭代法

不定积分的分部积分法迭代法

不定积分的分部积分法迭代法
不定积分是数学中的一种重要积分，具有重要的实际意义。

由于
其积分不容易计算，因此提出了很多积分方法来解决这一问题。

其中，分部积分法迭代法也是一种常用的积分法，它也是一种有效而简单的
方法。

分部积分法迭代法是将不定积分划分为子问题，有利于分析，每
一部分的问题独立解决，最终把每部分解决后得到的结果累加起来，
就得到了最终的结果。

分部积分法迭代法的基本过程如下：
1、定义积分的区间[a,b]；
2、确定积分分割点，划分积分区间；
3、计算每个子区间上的积分值；
4、累计每个子区间的积分值，迭代计算，最终获得整个积分区间的积
分值；
简而言之，分部积分法迭代法就是把一个整体的积分问题分解成
若干独立的、互不影响的小积分问题，并依次计算出每个小问题的积
分值，最后把各个小的积分值累加求和，从而计算出原始积分的值。

分部积分法迭代法的计算方法简单明了，容易实现，能够很好地
解决复杂积分问题，它能够提高积分计算的效率和精度，所以在实际
中得到了广泛的应用。

不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法
2
两边同时对 x 求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
C.
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递 推公式 例13 求积分 x (ln x )n dx . ( n N * ) 解
( x 2 2 x ) sin x 2 cos x ( x 1) 2 sin x C ( x 2 x 2) sin x 2 cos x ( x 1) C .
2
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 解
x arctan xdx .
( x 2 1)e x 2( xe x e x ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
例4 求不定积分 解
2 ( x 2 x ) cos xdx .
2 2 ( x 2 x ) cos x d x ( x 2 x )d(sin x )
2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1 C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 12 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 求 xf ( x )dx .
x2
,
解
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx , 由已知可得 f ( x )dx e x C ,
x arctan x (1) dx . 2 1 x xe x ( 2) dx . 2 (1 x )

不定积分的基本性质与计算方法

不定积分的基本性质与计算方法

不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。

本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。

1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。

即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。

若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。

例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。

常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。

- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。

- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。

2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。

五大积分法

五大积分法

五大积分法积分是微积分的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在微积分中，有多种方法可以进行积分运算，其中比较常用的是五大积分法，包括定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。

下面将分别对这五种积分法进行介绍。

一、定积分定积分是对函数在一个区间上的积分运算。

它的定义是将函数在该区间上的取值乘以区间的长度，并对乘积进行求和。

定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

定积分的计算需要确定积分上下限和被积函数，然后进行积分运算。

定积分的结果是一个数值，表示函数在给定区间上的总体积或面积。

二、不定积分不定积分是对函数的积分运算，它的结果是一个含有积分变量的表达式。

不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx 表示积分变量。

不定积分的计算需要找到被积函数的原函数，即原函数的导数等于被积函数。

不定积分的结果可以看作是原函数的一个特定形式，有时也被称为不定积分的通解。

三、换元积分法换元积分法是一种通过变量替换来简化积分运算的方法。

它的基本思想是将被积函数中的变量进行代换，使得积分变得更简单。

换元积分法的步骤是先选择适当的代换变量，然后计算出新的被积函数和积分变量，最后进行积分运算。

换元积分法在解决一些复杂的积分问题时非常有用，可以大大简化计算过程。

四、分部积分法分部积分法是一种通过对积分变量进行分部处理，将复杂的积分转化为简单的积分的方法。

它的基本思想是将被积函数进行分解，然后对分解后的每一项进行积分运算。

分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是两个函数，u'(x)和v'(x)分别是它们的导数。

分部积分法可以多次使用，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。

五、特殊函数积分法特殊函数积分法是一种通过使用特殊函数的性质来进行积分运算的方法。

高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法

高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法

出现循环, 怎么办?
移项 , 两边除以2 , 并加积分常数,得
ex sin xdx ex (sin x cos x) C积分时, 我们是用解
方程的方法求出积分结果的.
内容小结：
1.合理选择 u,dv ，正确使用分部积分公式
uvdx udv uv vdu
谢谢
解 (3) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x) ex (sin x cos x) ex sin xdx
分部积分公式
例 求下列不定积分
(1) x cos xdx; (2) x2exdx;
(3) ex sin xdx.
解 (1) x cos xdx xd sin x
u dv
uv
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
例 求下列不定积分
解 (2) x2exdx x2dex
u dv
uv
再一次使用分 部积分法
x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx)
(x2 2x 2)ex C
当应用分部积分公式后，得到的积分还需用分部积分时, 可以继续使用，直到可以求出积分结果为止.
例 求下列不定积分
分部积分法
求解：两个不同类型函数之积的积分
vdxdv
udxdu
导数运算与积分运算为互逆运算，求积分能否考虑先求导数？
设函数u(x)和v(x)连续可导， (uv) uv uv
移项，得 uv (uv) uv

微积分：不定积分的分部积分法讲解

微积分：不定积分的分部积分法讲解

2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解
u

ln x,
x 3dx

d

x4 4


dv,
x3 ln xdx 1 x4 ln x 1 x3dx
4
4
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
L最大 L(q) 400 200 (200 )2 15000 25000 (元）
(3)由：MC(q) C(q) 100 q
MC(q) 100 q 100 200 300 (元 kg)
MR(q) R(q) (500q 1 q2 ) 500 q 2
C(0) 2 e0.20 C 10 C 90 0.2
所以，C=80. 总成本函数的表达式为
C(q) 10e0.2q 80
例2 已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是 64q-q2 (单位：万元／百台)，其中q是售出的产品数量 （单位：百台），求其收入函数。
解：收入函数一般形式
C(q) 2e0.2q (单 位 ： 万 件 ／ 千 件 ）
且固定成本为90万元，求总成本函数。
解：总成本函数一般形式：
C(q) C(q)d q 2e0.2q d q
2 e0.2q C 10e0.2q C 0.2
总成本等于可变成本与固定成本之和，当产 量为零时，可变成本为零，此时总成本为固 定成本90,即C（0）＝90.代入总成本函数的 一般形式，有
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx

22 不定积分的分部积分法

22 不定积分的分部积分法
4
分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫
x2exdx. 例2 求 ∫
解
x2exdx = ∫ x2dex ∫
降
x
= x e − ∫ e dx = x e − 2∫ xe dx
2 x x 2
2 x
幂 降 幂
x
= x e − 2∫ xde = x e − 2(xe − ∫ e dx)
∴
∫ xf ′(x)dx = xf (x) − ∫ f (x)dx
2 −x2 −x2
= −2x e −e
20
+C
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思考题2 求积分 ∫ sin(ln x)dx. 解
∫sin(ln x)dx = xsin(ln x) − ∫ xd[sin(ln x)]
1 = xsin(ln x) − ∫ x cos(ln x) ⋅ dx x
1 1+ x ⋅ dx 2 1+ x 1 dx 2 1+ x
∫ xln xdx
1 2 xdx = dx 2
1 ln xdx2 xdx = ∫ 2
= 1 x2 ln x − 1 ∫ x2⋅ 1 dx x 2 2 x
= 1 x2 ln x− 1 ∫ xdx 2 2 xdx = 1 x2 ln x− 1 x2 +C . 2 4
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分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫ 例4
9
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不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法

例4 求不定积分 x arctan xdx.
解
x arctan
x dx
arctan
x
d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2
1
1 x2
dx
x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例5 求不定积分 arcsin xdx.
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C.
xe x
(2) (1 x)2 dx.
解
(1
xe x x
)2
dx
xe xd( 1 ) 1 x
xe x 1 d( xe x ) 1 x 1 x
xe x e xdx 1 x
xe x e x C e x C
n 2
I n1
,(n N * ,n 1),
而
I1 x ln xdx
ln
x
d(
x2 2
)
x2
ln x 2
x2 d(ln x)
2
x2 ln x 2
x dx 2
x2
x2
ln x C
2
2
所以对任意确定的n 1 ,由递推公式都可求得In .
例10
求不定积分
e
x
(
1 x
ln
x
)dx
1 x
1 x
(3)
(
x
1
1)e
x
1 x
dx
.
x
解
原式
(x
1

求不定积分的方法总结

求不定积分的方法总结

求不定积分的方法总结在数学中，不定积分是微积分的一个重要概念，它是定积分的逆运算。

求不定积分的方法有很多种，包括换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数的积分等等。

本文将对这些方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的求解方法。

首先，我们来看看换元积分法。

换元积分法是一种通过代换变量的方法来简化不定积分的求解过程。

通常情况下，我们会选择一个合适的变量代换，将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。

换元积分法的关键在于选择合适的代换变量，这需要一定的技巧和经验。

一般来说，我们会选择与被积函数形式相关的变量进行代换，以便简化积分的计算。

其次，分部积分法也是求不定积分的常用方法之一。

分部积分法是利用积分的乘积法则，将一个复杂的积分转化为两个简单的积分之和。

通过适当选择被积函数和积分函数，我们可以将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。

分部积分法的关键在于选择合适的被积函数和积分函数，以及正确地进行积分计算。

除了换元积分法和分部积分法，还有一些特殊类型的不定积分需要特殊的方法来求解。

比如，有理函数的积分可以通过部分分式分解来简化求解过程；三角函数的积分可以通过三角恒等式来转化为简单的形式。

这些方法都需要我们对不同类型的函数有一定的了解和掌握，才能够灵活地运用到实际的求解过程中。

总的来说，求不定积分的方法有很多种，每一种方法都有其适用的范围和特点。

在实际的求解过程中，我们需要根据具体的情况选择合适的方法，以便更高效地求解不定积分。

同时，我们也需要不断地练习和积累经验，才能够更加熟练地运用这些方法。

希望本文对大家有所帮助，能够更好地掌握不定积分的求解方法。

不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法
x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =

§4.3 不定积分的分部积分法

§4.3 不定积分的分部积分法
2
不能这样选择
u
和
dv .
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
由此可见, 运用分部积分法的关键在于恰当地选择 u 和 dv 一般选择 u 和 (1)
.
dv
的原则是:
v
要容易求得;
(2) 积分 vdu 要容易计算. 按“反函数，对数函数，幂函数， 通常根据被积函数的表达式，
指数函数，三角函数”的顺序， 排前者取为 u
（4.3.1）
udv uv vdu
udv
或
uvdx uv vudx
公式(4.3.1)称为不定积分的分部积分公式.
当求 有困难, 而求
vdu
比较容易时, 分部积分法就
可以发挥作用了.
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
例1
解
x xe dx 求
e x cos x e x sin x e x sin xdx
移项有
2 e x sin xdx e x cos x e x sin x C1
1 x e sin xdx 2 e (sinx cos x ) C
x
从而
有些不定积分需要综合运用换元积分法与分部积分法 才能求出结果.
1 2 1 1 1 2 1 x2 x arctan x ( 1 )dx x arctanx dx 2 2 2 2 1 x 2 2 1 x 1 2 x 1 x arctanx arctanx C 2 2 2
微积分 第4章 不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
x sinx ( cos x ) C x sin x cos x C .

求不定积分的几种基本方法

求不定积分的几种基本方法

求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。

下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。

这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。

分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。

3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。

换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。

换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。

4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。

幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。

5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。

三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。

6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。

以上是一些常见的不定积分的基本方法。

在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。

同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。

不定积分分部积分法

不定积分分部积分法

dx x2 a2
10
3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部 积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。

3.3 不定积分的分部积分法

3.3 不定积分的分部积分法

4. 凡多项式与对数函数乘积的积分可使用分部积分法.
例5 求 ∫ x 3 ln xdx .
1 4 解：令u = ln x , 则dv = x dx = d x . 4 4 x 3 x ∫ ln xdx = ∫ ln xd 4 1 4 x4 = x ln x − ∫ d (ln x ) 4 4 1 4 1 3 = x ln x − ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − x + C 4 16
设函数u = u( x )和v = v ( x )具有连续导数,
( uv )′ = u′v + uv′, uv′ = ( uv )′ − u′v
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx 或 ∫ udv = uv − ∫ vdu. ∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx ∫ udv = uv − ∫ vdu
2
1 1 + x2
dx
= 1 + x 2 arctan x − ln x + 1 + x 2 + C
原题 I = ∫
解2：设 x = tan t , 则
∴∫ x arctan x 1 + x2
x arctan x 1 + x2
dx .
t tan t sec 2 t dx = ∫ dt sec t
= ∫ t tan t sec tdt = ∫ t d sec t = t sec t − ∫ sec tdt = t sec t − ln sec t + tan t + C
x
x e = e (sin x − cos x ) − ∫ sin xdx 1 x x ∴ ∫ e sin xdx = e (sin x − cos x ) + C 2

总结不定积分知识点

总结不定积分知识点

总结不定积分知识点一、不定积分的概念1.1 不定积分的定义在微积分中，不定积分是定积分的一个重要概念，它是函数的一个原函数。

给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x) dx =F(x) + C，其中C为积分常数。

1.2 不定积分的符号表示不定积分一般用∫f(x) dx表示，其中f(x)为被积函数，dx为积分变量的微元，∫表示积分的符号。

1.3 不定积分的意义不定积分的意义在于求解函数的原函数。

也就是说，通过不定积分，我们可以得到函数f(x)的原函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，并且这个原函数不唯一，因为在不定积分的结果中，需要加上一个常数C。

1.4 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是紧密相关的，它们之间的关系可以通过牛顿-莱布尼茨公式来描述。

牛顿-莱布尼茨公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。

二、不定积分的性质2.1 基本性质不定积分具有以下基本性质：（1）线性性质：即∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。

（2）积分的可加性：即∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。

（3）不定积分的性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数。

2.2 函数的原函数和不定积分在求解不定积分时，我们需要寻找函数的原函数。

要注意的是，不一定所有的函数都有原函数，而且对于一些函数，它的原函数不唯一。

2.3 被积函数的连续性与不定积分存在性要进行不定积分，被积函数需要满足一定的连续性条件，例如在不定积分的区间上是连续的。

2.4 替换积分变量法在不定积分中，有时会通过替换积分变量的方法来简化积分计算。

不定积分的基本积分公式与性质

不定积分的基本积分公式与性质

不定积分的基本积分公式与性质不定积分是微积分中的重要概念，是求解函数的原函数的过程。

本文将介绍不定积分的基本积分公式和性质。

一、基本积分公式1.定积分求导与不定积分定积分和不定积分是互为逆运算的，即对一个函数进行积分再求导，或者先求导再积分，所得到的结果是相同的。

这个性质表现为两个基本定理：（1）定积分的基本定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。

（2）不定积分的基本定理：若函数f(x)在区间I上连续，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，F(x)为f(x)的一个原函数。

2.基本积分公式（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数。

（2）幂函数：∫x^ndx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C。

（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。

（5）反三角函数：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arctanx + C。

二、不定积分的性质对于任意常数a、b，函数f(x)和g(x)，有以下性质：（1）∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

（2）∫f'(x)dx = f(x) + C。

2.替换性质：对于一个可导函数u(x)和原函数f(u)，有以下性质：∫f'(u)u'(x)dx = ∫f'(u)du。

3.分部积分法：对于可导函数u(x)和v(x)，有以下积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。

4.换元积分法：对于函数f(u)和可导函数u(x)，有以下积分公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx。

用分部积分法求不定积分 ∫lnxdx

用分部积分法求不定积分 ∫lnxdx

用分部积分法求不定积分∫lnxdx
是微积分中的一类积分办法。

对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。

的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。

一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。

一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。

分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。

2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。

3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。

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x arctan xdx .
x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
例4 求积分 x ln xdx .
3
4 x 3 解 u ln x , x dx d dv , 4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx
例3 设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的 最大需求是1000（即当p=0时，Q＝1000）。已知需 求量的变化率(边际需求)为
1 p Q( p) 1000 ln 3 ( ) 3
求需求量Q与价格p的函数关系。 解：已知需求量的变化率 Q( p) ，求需求量 函数，即求不定积分。有

解（二） 令 u x , cos xdx dsin x dv
x cos xdx xdsin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
例2 解
2 x x 求积分 e dx .
u x2 ,
e xdx de x dv ,
2
L(q) 400 2q, L(q) 2 0
L (q) 400 2q 0 q 200(kg)
q 200 (kg)就是最大利润产量。
L最大 L(q ) 400 200 (200)2 15000
25000 (元）
(3)由：MC(q) C(q) 100 q
2x ( x 1) ln( x 1) ( x 1) 2 dx x 1
2 2 2
ln( x 2 1)d (x 2 1)
( x 2 1) ln( x 2 1) 2 xdx
( x 2 1) ln(x 2 1) x 2 C.
Q( p)
1 1 p 1 p 1000 ln 3 ( ) C 1000 ( ) C 1 3 3 ln 3
1 p Q( p) d p ( 1000ln 3 ( ) ) d p 3
由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得 到需求对价格的函数
1 p Q( p) 1000 ( ) 3
解题技巧: 把被积函数视为两类函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 v . 顺序, 前者为 u 后者为 对: 对数函数 例5. 求 幂: 幂函数 解: 令 u arccos x , v 1 , 则 u 1 2 , v x 原式 = x arccos x


x arctan x 1 x2
dx
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
练习 求
e
2 x 1
dx.
解 令 t 2x 1, 则 1 2 x (t 1), dx tdt , 2
e
2 x 1
dx e t t d t t d e t
分部积分(integration by parts)公式 1)v 容易求得 ; 容易计算 .
例1 求积分 x cos xdx .
1 解（一） 令 u cos x , xdx d x 2 dv 2 x2 x2 x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx u, v 选择不当，积分更难进行. 显然，
2 x 2 x x x e d x x e 2 xe dx
（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x 2e x 2( xe x e x ) C .

总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分
x2 解 令 u arctan x , xdx d dv 2 2 2 x x x arctan xdx 2 arctan x 2 d(arctan x ) x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
例7 解
x e 求积分 sin xdx .
x x sin x d e e sin x d x

e x sin x e x d(sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xd e x e x sin x (e x cos x e x dcos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx
1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.
1 1 ln( x 1) dx d( ) dx. 练习 求 2 2 x x x ln( x 1) 解 x 2 dx 1 ln( x 1)d ( ) x ln( x 1) 1 1 dx x x x 1 ln( x 1) 1 1 ( )d x x x 1 x ln( x 1) ln( x 1) ln x C. x
例6 求积分 解
sin(ln x )dx .
x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
sin(ln x )dx
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
1 1 2 (这是收入 R(q) qp q(500 q) 500 q q 函数） 2 2
利润函数： L(q) R(q) C (q)
1 2 1 2 (500 q q ) (15000 100 q q ) 2 2
400q q 15000
2
(2)由：L(q) 400q q 15000
解：
由：C(q) 100 q
有： C (q) C (q)dq (100 q)dq
由条件：C(0) 15000 , C0 15000
1 2 C (q) 100 q q 15000 2
1 2 100 q q C0 2
1 由： q 1000 2 p p 500 q 2
第二十四节 法
分部积分
一、基本内容 二、小结
三、思考题
一、基本内容
问题
xe dx ?
x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数,
uv uv uv,

uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
tet et dt tet et C
( 2x 1 1)e
2 x 1
C.
例 11 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解

xf ( x )dx xd f ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
2 tan x ln cos x tan 原式 = x dx
tan x ln cos x (sec 2 x 1) dx tan x ln cos x tan x x C
练习 求 2 x ln( x 2 1)d x.
解
2 2 x ln( x 1)d x
总成本等于可变成本与固定成本之和，当产 量为零时，可变成本为零，此时总成本为固 定成本90,即C（0）＝90.代入总成本函数的 一般形式，有
2 0.20 C ( 0) e C 10 C 90 0.2
所以，C=80.2q
80
例2 已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是 64q-q2 (单位：万元／百台)，其中q是售出的产品数量 （单位：百台），求其收入函数。
解：收入函数一般形式
3 q R(q ) R(q ) d q (64q q 2 ) d q 32q 2 C 3
销售量为0时，收入为0,即R(0)=0.代入收入函 数的一般形式，有 3 0 得，C=0 R(0) 32 02 C 0 3 3 q 2 21 收入函数的表达式为：R(q ) 32q 3
23
数为：q 1000 2 p 例4. 设某产品的市场需求函 元 ), (q表示需求量，单位： kg; p表示价格，单位： kg
边际成本函数为： C(q) 100 q,固定成本为 15000 .
试求： (1)该产品的成本函数，收 入函数和利润函数。 (2)该产品的最大利润产量 和最大利润。 (3)在最大利润产量时的边 际成本和边际收入。
f ( x ), f ( x )dx e
x2
f ( x )dx
C,
两边同时对 x求导, 得
f ( x ) 2 xe
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 x e
2 x2
e
x2
C.
二、不定积分在经济分析中的应用
x
x
注意循环形式
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
例8 求积分

x arctan x 1 x