分部积分法求不定积分(口诀 例题)

分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。

一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。

将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。

（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

不定积分公式口诀摘要：一、引言二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义2.基本积分公式三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式2.三角函数的积分公式3.指数函数与对数函数的积分公式4.反三角函数的积分公式5.其他常见函数的积分公式四、记忆口诀与技巧1.口诀一：奇偶函数积分规律2.口诀二：高阶导数求积分3.口诀三：分部积分法五、总结正文：一、引言在微积分学习中，不定积分是重要的基础知识之一。

掌握好不定积分的方法和技巧，对于后续学习定积分、微分方程等课程具有重要意义。

本文将为大家介绍一些常用的不定积分公式，并通过口诀形式帮助大家记忆。

二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义：设函数f(x) 在区间[a, b] 上有界，F(x) 是f(x) 在[a, b] 上的一个原函数，则称F(x) 在[a, b] 上关于x 的不定积分。

通常用∫(a~b)f(x)dx 表示。

2.基本积分公式：对于一些基本的初等函数，我们可以直接查表或记忆其不定积分公式。

例如：∫(x^n)dx = x^(n+1)/(n+1)、∫(sinx)dx = -cosx +C、∫(ex)dx = ex + C 等。

三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式：对于幂函数f(x) = x^n，其不定积分为F(x) =x^(n+1)/(n+1) + C。

2.三角函数的积分公式：对于正弦函数f(x) = sinx，其不定积分为F(x) = -cosx + C；对于余弦函数f(x) = cosx，其不定积分为F(x) = sinx + C。

3.指数函数与对数函数的积分公式：对于指数函数f(x) = ex，其不定积分为F(x) = ex + C；对于自然对数函数f(x) = lnx，其不定积分为F(x) = xlnx - ln(x) + C。

4.反三角函数的积分公式：对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其不定积分为F(x) = -√(1-x^2) + C；对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其不定积分为F(x) = √(1-x^2) + C。

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。

不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。

就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。

今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。

别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。

分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。

想象一下，你在吃一个超大汉堡。

最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。

但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。

这就是分部积分法的魅力。

公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。

听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。

选取 (u) 和 (dv) 是关键。

就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。

选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。

这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。

对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。

没错，这就是我们要的材料。

举个简单的例子。

想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。

这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。

所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。

把这些放回公式里，咱们就能得出结论。

这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。

把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。

看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。

简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。

听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。

分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。

这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。

这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。

数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。

1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。

2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。