分部积分法求不定积分(口诀 例题)

分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。

一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。

将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。

（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

不定积分公式口诀摘要：一、引言二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义2.基本积分公式三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式2.三角函数的积分公式3.指数函数与对数函数的积分公式4.反三角函数的积分公式5.其他常见函数的积分公式四、记忆口诀与技巧1.口诀一：奇偶函数积分规律2.口诀二：高阶导数求积分3.口诀三：分部积分法五、总结正文：一、引言在微积分学习中，不定积分是重要的基础知识之一。

掌握好不定积分的方法和技巧，对于后续学习定积分、微分方程等课程具有重要意义。

本文将为大家介绍一些常用的不定积分公式，并通过口诀形式帮助大家记忆。

二、不定积分的概念与基本公式1.不定积分的定义：设函数f(x) 在区间[a, b] 上有界，F(x) 是f(x) 在[a, b] 上的一个原函数，则称F(x) 在[a, b] 上关于x 的不定积分。

通常用∫(a~b)f(x)dx 表示。

2.基本积分公式：对于一些基本的初等函数，我们可以直接查表或记忆其不定积分公式。

例如：∫(x^n)dx = x^(n+1)/(n+1)、∫(sinx)dx = -cosx +C、∫(ex)dx = ex + C 等。

三、常用初等函数的积分公式1.幂函数的积分公式：对于幂函数f(x) = x^n，其不定积分为F(x) =x^(n+1)/(n+1) + C。

2.三角函数的积分公式：对于正弦函数f(x) = sinx，其不定积分为F(x) = -cosx + C；对于余弦函数f(x) = cosx，其不定积分为F(x) = sinx + C。

3.指数函数与对数函数的积分公式：对于指数函数f(x) = ex，其不定积分为F(x) = ex + C；对于自然对数函数f(x) = lnx，其不定积分为F(x) = xlnx - ln(x) + C。

4.反三角函数的积分公式：对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其不定积分为F(x) = -√(1-x^2) + C；对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其不定积分为F(x) = √(1-x^2) + C。

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。

不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。

就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。

今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。

别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。

分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。

想象一下，你在吃一个超大汉堡。

最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。

但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。

这就是分部积分法的魅力。

公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。

听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。

选取 (u) 和 (dv) 是关键。

就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。

选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。

这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。

对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。

没错，这就是我们要的材料。

举个简单的例子。

想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。

这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。

所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。

把这些放回公式里，咱们就能得出结论。

这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。

把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。

看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。

简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。

听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。

分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。

这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。

这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。

数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。

1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。

2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。

分部积分法不定积分例题分部积分法不定积分例题是数学中非常常见的一类问题，它由一个或多个变量表示的函数在一定范围内变化，从而得到一个或多个函数的定积分。

它要求求解这些变量的变化，以达到某一目的的解法。

本文将以一个具体的例子来讲解分部积分法不定积分的求解过程，以期带领读者对不定积分的概念有更深入的了解。

首先，我们来看一个例子：求$ displaystyleint_{0}^{2}frac{1}{1+x}dx$。

为了求解这个不定积分，我们不妨使用分部积分法，首先它要求我们把积分区间[0,2]分解为n个小积分区间，这里n不定，由用户决定。

例如，如果我们指定n = 4，则我们可以把[0,2]分解成[0,1/2],[1/2,1],[1,3/2],[3/2,2]四个小积分区间。

每个小积分区间的积分值可以用某一点的函数值乘以该小积分区间的宽度来近似表示，这里我们取每个小积分区间的中点作为该小积分区间的函数值。

因此，对于上述例子，我们可以将其分解为：$I_1=frac{1}{1+1/2} timesfrac{1}{2}=frac{1}{3}$，$I_2=frac{1}{1+1}timesfrac{1}{2}=frac{1}{2}$,$I_3=frac{1}{1+3/2}times frac{1}{2} = frac{1}{4}$,$I_4=frac{1}{1+2}timesfrac{1}{2}=frac{1}{3}$。

有了所有的$I_i$ ，最后的结果可以表示为：$ displaystyle int_{0}^{2}frac{1}{1+x}dx approxI_1+I_2+I_3+I_4=frac{2}{3}+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{3} =frac{7}{6}$。

从上面的例子可以看出，分部积分法不定积分求解过程具有较高的效率，只要指定n，就可以得到准确的答案。

当n变大时，小积分区间越来越小，近似值越来越接近正确的答案，这是分部积分法不定积分的优点。

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

分部积分法不定积分例题不定积分是积分计算中较为复杂的一块领域，有时候在积分计算中，由于待积函数的复杂性，原本的定积分无法求解，则使用不定积分来解决。

所以，在学习积分计算中，不定积分也是一个重要的部分。

本文将利用分部积分法，结合实例来进行不定积分的计算，以期能够帮助大家对不定积分有一个更加全面的理解。

一、什么是分部积分分部积分也叫分段积分，是指在一定的区间上，将其划分成N个子区间，以近似的方式求解无法取得精确答案的积分，可以将复杂的积分问题分割成许多容易求解的积分问题，以达到快速精确求解的思想。

二、分部积分法不定积分实例例1：求下列不定积分：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx$$解：首先，将区间[2,3]划分为N段，即将[2,3]划分为[2,2.5]和[2.5,3]两段，则可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx+int_{2.5} ^{3}3x^2+2x+1dx$$设此时此刻区间[2,2.5]及[2.5,3]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=2.5，且求得：$$int_{2}^{2.5}3x^2+2x+1dx=int_{2}^{2.5}(9.375+5+1)dx=83.125$$$$int_{2.5}^{3}3x^2+2x+1dx=int_{2.5}^{3}(14.0625+7.5+1)dx=1 49.0625$$则最后，可得：$$int_{2}^{3}3x^2+2x+1dx=83.125+149.0625=232.1875$$ 例2：求下列不定积分：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$解：同样，将区间[-2,4]划分为N段，即将[-2,4]划分为[-2,1]和[1,4]两段，则可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx+int_{ 1}^{4}4x^3+3x^2+1dx$$设此时此刻区间[-2,1]及[1,4]最左端的点分别为$a_i$和$b_i$，此时取$a_i$=$b_i$=1，且求得：$$int_{-2}^{1}4x^3+3x^2+1dx=int_{-2}^{1}(4+3+1)dx=-22$$ $$int_{1}^{4}4x^3+3x^2+1dx=int_{1}^{4}(64+12+1)dx=63$$ 则最后，可得：$$int_{-2}^{4}4x^3+3x^2+1dx=-22+63=41$$三、实例总结通过上述两个实例，我们更好的理解了分部积分法的手段，也更加清楚了它的计算流程，即将一个复杂的不定积分，利用区间划分的方法分割成小的不定积分，最终求得总的不定积分的值。

分部积分口诀
分部积分是求解积分的一种方法，它可以将一个函数分解成两个函数的乘积形式，从而使得原来的积分可以转化为更容易求解的形式。

下面是分部积分的口诀：
第一项积第二，第二项积导一，
再减一积第一，积完别忘归，
对于两项积分，首项u，次项dv，
积完别忘归，积得少少离析。

以上是分部积分的基本口诀，其中第一行是对一般情况的概括，第二行是对两项积分的概括。

这些口诀可以帮助我们更好地理解分部积分的方法和流程，并减少出错的概率。

当然，要真正掌握分部积分，还需要多做一些练习，熟练掌握不同情况下的具体操作方法。