6-3 不定积分的分部积分法09.12.8
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不定积分的分部积分法
不定积分的分部积分法不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。
在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。
本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。
一、基本概念和原理分部积分法的思想来源于乘法公式：$$(uv)'=u'v+uv'$$将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。
二、具体步骤以下为分部积分法的具体求解步骤：1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。
2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。
常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。
3. 对$u$求导数，得到$du$。
4. 对$v$求导数，得到$dv$。
5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。
三、应用案例以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：1. 求解$\int x\ln x dx$解法：设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$2. 求解$\int e^x\cos x dx$解法：设$u=e^x,dv=\cos xdx$，则$du=e^x,dv=\sin x$，代入分部积分公式可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-\int e^x\sin x \,dx$$再次应用分部积分法，可得：$$\int e^x\cos x \,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos x \,dx$$两边移项，得到：$$\int e^x\cos x \,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$四、进一步拓展分部积分法是求解不定积分的常见方法之一，在实践中可以根据具体问题灵活运用。
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法
出现循环, 怎么办?
移项 , 两边除以2 , 并加积分常数,得
ex sin xdx ex (sin x cos x) C积分时, 我们是用解
方程的方法求出积分结果的.
内容小结：
1.合理选择 u,dv ，正确使用分部积分公式
uvdx udv uv vdu
谢谢
解 (3) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x) ex (sin x cos x) ex sin xdx
分部积分公式
例 求下列不定积分
(1) x cos xdx; (2) x2exdx;
(3) ex sin xdx.
解 (1) x cos xdx xd sin x
u dv
uv
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
例 求下列不定积分
解 (2) x2exdx x2dex
u dv
uv
再一次使用分 部积分法
x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx)
(x2 2x 2)ex C
当应用分部积分公式后，得到的积分还需用分部积分时, 可以继续使用，直到可以求出积分结果为止.
例 求下列不定积分
分部积分法
求解：两个不同类型函数之积的积分
vdxdv
udxdu
导数运算与积分运算为互逆运算，求积分能否考虑先求导数？
设函数u(x)和v(x)连续可导， (uv) uv uv
移项，得 uv (uv) uv
不定积分的分部积分法
?e???xxdexdxxex??e?cos?sinxxxdexe??cossinxdexxexxxcoscossin??????xdxexexexxxsincossin??????即xdxexsin2??xdxexsinc练习3
复习引入
（A)一.求下列不定积分：
1.sin xdx 2.sin5x cosxdx 3. xexdx
1 2
x
2
arc
2 tanx
1 2
x
2d
arc
tan
x
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 11 1 x2 dx
1 x2 arctanx 1 x 1 arctanx C
2
22
(B)练习1.求下列不定积分
x
c os x）
C（C1
2C)
(C)练习3：求不定积分 ex cosxdx
常用解题技巧
Ⅲ 与换元法相结合
(C) 例4. e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
(1) xexdx (2) x2 ln xdx
常用解题技巧
(Ⅰ)多次使用分部积分法则
(B)例2.求 x2 sin xdx
解： x2 sin xdx x2d(cosx)
x2 cosx cosxdx2 x2 cosx 2 x cosxdx
x2 cosx 2 xd sin x x2 cosx 2x sin x 2 sin xdx
复习引入
（A)一.求下列不定积分：
1.sin xdx 2.sin5x cosxdx 3. xexdx
1 2
x
2
arc
2 tanx
1 2
x
2d
arc
tan
x
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 11 1 x2 dx
1 x2 arctanx 1 x 1 arctanx C
2
22
(B)练习1.求下列不定积分
x
c os x）
C（C1
2C)
(C)练习3：求不定积分 ex cosxdx
常用解题技巧
Ⅲ 与换元法相结合
(C) 例4. e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
(1) xexdx (2) x2 ln xdx
常用解题技巧
(Ⅰ)多次使用分部积分法则
(B)例2.求 x2 sin xdx
解： x2 sin xdx x2d(cosx)
x2 cosx cosxdx2 x2 cosx 2 x cosxdx
x2 cosx 2 xd sin x x2 cosx 2x sin x 2 sin xdx
不定积分的分部积分法.
这节课学习了不定积分的分部积 分法，要求大家一定要掌握一个公 式，熟记一个口诀。
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
不定积分的分部积分法
x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
分部积分法顺序口诀
1.有关不定积分用分部积分法做不定积分,有个口诀叫反对幂指三,这个口诀是指的是遇到不定积分，用分部时，按照反对幂指三的顺序来处理，就是类似与加减乘除中，如果同时出现，就先乘除后加减，被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
2.所谓的“反对幂指三”：反三角函数,对数函数,幂函数,指数函数,三角函数.说明白点就是这五种函数都可以在分部积分法中当做是v`（x）dx中的v`(x).因为将它们五种函数放到d中很容易,一般ln, log, e, 和tan, sec, cos, sin，cot, cosec的单数幂的时候优先考虑分部
3.被积函数是幂函数或指数函数或对数函数或三角函数或反三角函数的乘积，优先考虑使用分部积分法。
不定积分-不定积分的分部积分法
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
不定积分的分部积分法 ppt课件
而 I1xln x d xlnxd(x22)
x2
lnx 2
x 22d(lx n)x22lnx
xdx 2
x2lnxx2C
2
2
所以对任 n意 1,由 确 递 定 推 的 公I式 n. 都
例10 求不定积分 ex(1xlnx)dx.
解 ex(1 xlnx)dxexxdxexlnxdx
exxdxln xd(ex)
再次使用 分部积分法
(x 2 1 ) e x 2x x d x e
( x 2 1 ) e x 2 x d ( e x )
( x 2 1 ) e x 2 ( x x e e x ) C .
(x 2 2 x 3 )ex C .
例4 求不定积分 xarctxd ax.n 解 xarcxtdx anarcxtd(ax 22n )
x 2 2arx c tx 2 2 a 1 1 n x 2d x
x 2 2arx ct1 2 a (1 n 1 1 x 2)d x
x 2arx c 1 t(x a a nrx c ) t积分 arcsxdixn. 解 arcsxidn xxarx cs x id (narx)csin
第三节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
问题 xexdx?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数, ( u ) v u v u v , u v ( u ) v u v ,
u v d x u v u v d x , 分部积分公式 u d vu v vd u .
x2 six n dx
2
2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行.
解 xcoxd sxxd(sx i)n
不定积分的分部积分法课件
第三节
分部积分法
1
微分运算中有两个重要法则:
复合函数微分法和乘积的微分法. 在积分运算中, 与它们对应的是上节的
换元积分法和本节的分部积分法
基本积分法 (两种).
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
2
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
即即
(x2
dx a2)n1
(x2
x a2)n1
2(n
1)
(x2
x2 a2)n
dx
(x2
x a2)n1
2(n1)[
(x2
1 a2)n1
(x2
a2 a2)n
]dx
,
In1
(x2
x a2)n1
2(n
1)(In1
a2
In
)
,
回归
于是
In
1 2a2(n
1)
[(x2
x a2)n1
(2n 3)In1]
所以
sec3 xdx
1 (secxtan xln |secxtan x|)C 2
.
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
14
例9 推导以下递推公式:
cosn x dx 1 sin x cosn1 x n 1 cosn2 x dx.
n
n
解 cosn x dx cosn1 x d sin x sin x cosn1 x sin x (n 1) cosn2 x ( sin x)dx
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
12
分部积分法
1
微分运算中有两个重要法则:
复合函数微分法和乘积的微分法. 在积分运算中, 与它们对应的是上节的
换元积分法和本节的分部积分法
基本积分法 (两种).
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
2
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
即即
(x2
dx a2)n1
(x2
x a2)n1
2(n
1)
(x2
x2 a2)n
dx
(x2
x a2)n1
2(n1)[
(x2
1 a2)n1
(x2
a2 a2)n
]dx
,
In1
(x2
x a2)n1
2(n
1)(In1
a2
In
)
,
回归
于是
In
1 2a2(n
1)
[(x2
x a2)n1
(2n 3)In1]
所以
sec3 xdx
1 (secxtan xln |secxtan x|)C 2
.
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
14
例9 推导以下递推公式:
cosn x dx 1 sin x cosn1 x n 1 cosn2 x dx.
n
n
解 cosn x dx cosn1 x d sin x sin x cosn1 x sin x (n 1) cosn2 x ( sin x)dx
分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
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x
E 指数函数 x x 方法1) 解(方法 I = ∫ 方法 de x [ ]′ ( x + 1)2 ( x + 1) ( x + 1) 1 x x ]′ = [ x x ( x + 1) e ∫ e [ ]′ d x = 2 2 1 1 ( x + 1) ( x + 1) ]′ = [ x + 1 ( x + 1) x 1 2 x x e ∫ e [ ]d x = + 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x 1 ex ex + ∫ dex 2∫ dx = 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
= ln(sec t + tant ) + C = ln( x + 1+ x2 ) + C
∴
∫
xarctan x 1 + x2
dx
= 1+ x2 arctan x ln( x + 1 + x2 ) + C.
例5
I = ∫ e x cos x dx= ∫ cos xde x dv = e x cos x ∫ e x dcos x vdu x + ∫ sin xe x dx = e cos x
例2
1 2 ? 分析 取 u== ? x, xd x = d x = dv = u cos 2 x2 x2 ∫ xcos xd x = 2 cos x + ∫ 2 sin xd x 更不易积分
显然,u 选择不当,积分更难进行 显然, 选择不当,积分更难进行. 解
u dv
= ∫ xdsin x dv
2
∫
解
( ) ( ) = (x2 + 6)sin x 2∫ xsin xd x = (x2 + 6)sin x + 2∫ xdcos x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2∫ cos xd x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2sin x + c
= x2 + 6 sin x ∫ sin xd x2 + 6
( x2 + 6)cos xd x = ∫ ( x2 + 6)dsin x ∫
例2-1 求 x e 解
∫
2 x
dx
x2 e x d x= ∫ x2 de x ∫
2 x
= x2 e x + ∫ e x d x2 = x e + 2∫ xe
x
dx
= x2 e x 2∫ xde x = x2 e x 2xe x + 2∫ e x d x
综合题 例8
令t = x 2 te t dt ∫
= 2(t e t e t ) + C = 2e
x
( x 1) + C
例9
= ∫ lncos xdtan x udv
= tan x lncos x + ∫ tan2 xdx = tan x lncos x+ ∫ (sec2 x 1) dx = tan x lncos x+ tan x x + C
= x e
2 x
2x e
x
2e
x
+C
例3-1
udv
= xarcsin x ∫
x 1 x2
简化
dx
1 1 2 = xarcsin x + ∫ (1 x ) 2d(1 x2 ) 2
= xarcsin x+ 1 x2 + C
xe E 例6-1 求 I = ∫ d x. 2 ( x + 1) A
∫ uv′ dx = uv ∫ u′v dx ∫ udv = uv ∫ v du
—— 分部积分公式
二,典型例题 例1 ( I = ∫ x e x dx 1 1 )
= ∫ x de u dv
x
x
= xe ∫ e x dx v du uv = xe x e x + C
问: 能否取 u = e x ? 不行. 不行.
(第二次分部积分 第二次分部积分) 第二次分部积分
两次所选u的 两次所选 的 函数类型不 变!
= e x sin x + ∫ e x dcos x
u
= e x sin x + e x cos x ∫ e x cos xd x
= e x sin x + e x cos x I
ex I = (sin x cos x) + C. 2
第6章 章
第三节 不定积分的分布积分法
一,分部积分公式 二,典型例题
引例
∫e
x
令 x=t dx 2∫ t et dt
(换元法无法解决) 换元法无法解决)
一,分部积分公式 由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′ 积分得
uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′ dx
公式的作用: 公式的作用: 改变被积函数
ex = + C. x +1
( x + 1) 1 x (方法 方法2) I = ∫ 方法 e dx 2 ( x + 1)
ex ex dx ∫ dx =∫ 2 x +1 ( x + 1)
ex 1 x dx + ∫e d =∫ x +1 ( x + 1)
x ex ex ex e dx + dx = =∫ ∫ + C. x +1 x +1 x +1 x +1
= 1 + x2 arctan x ∫ 1 + x2 d(arctan x)
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1+ x dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1 + x2
d x 令 x = tant
∫
1 1 + x2
dxห้องสมุดไป่ตู้= ∫
1 1 + tan2 t
sec2 t dt = ∫ sect dt
例6-2
udv
= x x +a ∫
2 2
x2 x +a
2 2
dx
迎合分母
= x x +a ∫
2 2 2 2
( x2 +a2 )a2 x +a
2 2
dx
dx x2 +a2
+ a2 ∫ = x x + a ∫ x + a dx
2 2
= x x2 + a2 I+ a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2 2 2
选 u 的 优 先 顺 序
L 对数函数 I 反三角函数 A 代数函数 T 三角函数
x 1 ex I= ex + ∫ dex 2∫ dx 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
x ex (2) x ex ex + [ e dx] 2∫ dx = 2 2 ∫ 3 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
2
简化
1 2 1 = x arctan x ( x arctan x) + C 2 2
∫ arcsin xdx = ? ∫ arctan xdx = ?
注 2° 分部积分小结(1) ° 分部积分小结(1)
(1) ∫ xneαx d x xn sin xd x ∫
设u = xn (例1,例2) , )
I L 对数函数 选 xarctan x u I 反三角函数 d x. 例4 求积分 ∫ 的 1 + x2 A A 代数函数 优 T 三角函数 先 x 2 ′ 顺 解 ∵ ( 1+ x ) = , E 指数函数 2 序 1+ x xarctan x ∴ ∫ d x = ∫ arctan xd 1 + x2 u 1 + x2
例11 求 I = ∫
e
arctan x
3
(1 + x2 )
dx .
2
先换元, 解 先换元 后分部 令 x = tant , et I = ∫ 3 sec2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t
= e t sin t ∫ e t sint d t
= e sin t + e cos t ∫ e t cos t d t
设 u = ln x
(例3(1)) )
(2)
xn ln xd x ∫
dv = xn d x
(3)
xn arcsin xd x 设 u = arcsin x ∫
(例3(2)) )
3° 选 u 的优先原则: ° 优先原则 原则: "对反代三指" 法 对反代三指" 对反代三指 ( 或称为" LIATE " 法). 或称为" 选 u 的 优 先 顺 序 L I A T E 对数函数 反三角函数 代数函数 三角函数 指数函数
简化
= xsin x ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C uv v du
dv
= ∫ x dcos x dv
2
vdu
I1
简化
+ 2( x sin x + cos x) + C
E 指数函数 x x 方法1) 解(方法 I = ∫ 方法 de x [ ]′ ( x + 1)2 ( x + 1) ( x + 1) 1 x x ]′ = [ x x ( x + 1) e ∫ e [ ]′ d x = 2 2 1 1 ( x + 1) ( x + 1) ]′ = [ x + 1 ( x + 1) x 1 2 x x e ∫ e [ ]d x = + 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x 1 ex ex + ∫ dex 2∫ dx = 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
= ln(sec t + tant ) + C = ln( x + 1+ x2 ) + C
∴
∫
xarctan x 1 + x2
dx
= 1+ x2 arctan x ln( x + 1 + x2 ) + C.
例5
I = ∫ e x cos x dx= ∫ cos xde x dv = e x cos x ∫ e x dcos x vdu x + ∫ sin xe x dx = e cos x
例2
1 2 ? 分析 取 u== ? x, xd x = d x = dv = u cos 2 x2 x2 ∫ xcos xd x = 2 cos x + ∫ 2 sin xd x 更不易积分
显然,u 选择不当,积分更难进行 显然, 选择不当,积分更难进行. 解
u dv
= ∫ xdsin x dv
2
∫
解
( ) ( ) = (x2 + 6)sin x 2∫ xsin xd x = (x2 + 6)sin x + 2∫ xdcos x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2∫ cos xd x 2 = (x + 6)sin x + 2xcos x 2sin x + c
= x2 + 6 sin x ∫ sin xd x2 + 6
( x2 + 6)cos xd x = ∫ ( x2 + 6)dsin x ∫
例2-1 求 x e 解
∫
2 x
dx
x2 e x d x= ∫ x2 de x ∫
2 x
= x2 e x + ∫ e x d x2 = x e + 2∫ xe
x
dx
= x2 e x 2∫ xde x = x2 e x 2xe x + 2∫ e x d x
综合题 例8
令t = x 2 te t dt ∫
= 2(t e t e t ) + C = 2e
x
( x 1) + C
例9
= ∫ lncos xdtan x udv
= tan x lncos x + ∫ tan2 xdx = tan x lncos x+ ∫ (sec2 x 1) dx = tan x lncos x+ tan x x + C
= x e
2 x
2x e
x
2e
x
+C
例3-1
udv
= xarcsin x ∫
x 1 x2
简化
dx
1 1 2 = xarcsin x + ∫ (1 x ) 2d(1 x2 ) 2
= xarcsin x+ 1 x2 + C
xe E 例6-1 求 I = ∫ d x. 2 ( x + 1) A
∫ uv′ dx = uv ∫ u′v dx ∫ udv = uv ∫ v du
—— 分部积分公式
二,典型例题 例1 ( I = ∫ x e x dx 1 1 )
= ∫ x de u dv
x
x
= xe ∫ e x dx v du uv = xe x e x + C
问: 能否取 u = e x ? 不行. 不行.
(第二次分部积分 第二次分部积分) 第二次分部积分
两次所选u的 两次所选 的 函数类型不 变!
= e x sin x + ∫ e x dcos x
u
= e x sin x + e x cos x ∫ e x cos xd x
= e x sin x + e x cos x I
ex I = (sin x cos x) + C. 2
第6章 章
第三节 不定积分的分布积分法
一,分部积分公式 二,典型例题
引例
∫e
x
令 x=t dx 2∫ t et dt
(换元法无法解决) 换元法无法解决)
一,分部积分公式 由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′ 积分得
uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′ dx
公式的作用: 公式的作用: 改变被积函数
ex = + C. x +1
( x + 1) 1 x (方法 方法2) I = ∫ 方法 e dx 2 ( x + 1)
ex ex dx ∫ dx =∫ 2 x +1 ( x + 1)
ex 1 x dx + ∫e d =∫ x +1 ( x + 1)
x ex ex ex e dx + dx = =∫ ∫ + C. x +1 x +1 x +1 x +1
= 1 + x2 arctan x ∫ 1 + x2 d(arctan x)
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1+ x dx 2 1+ x
2
= 1 + x arctan x ∫
2
1 1 + x2
d x 令 x = tant
∫
1 1 + x2
dxห้องสมุดไป่ตู้= ∫
1 1 + tan2 t
sec2 t dt = ∫ sect dt
例6-2
udv
= x x +a ∫
2 2
x2 x +a
2 2
dx
迎合分母
= x x +a ∫
2 2 2 2
( x2 +a2 )a2 x +a
2 2
dx
dx x2 +a2
+ a2 ∫ = x x + a ∫ x + a dx
2 2
= x x2 + a2 I+ a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2 2 2
选 u 的 优 先 顺 序
L 对数函数 I 反三角函数 A 代数函数 T 三角函数
x 1 ex I= ex + ∫ dex 2∫ dx 2 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
x ex (2) x ex ex + [ e dx] 2∫ dx = 2 2 ∫ 3 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
2
简化
1 2 1 = x arctan x ( x arctan x) + C 2 2
∫ arcsin xdx = ? ∫ arctan xdx = ?
注 2° 分部积分小结(1) ° 分部积分小结(1)
(1) ∫ xneαx d x xn sin xd x ∫
设u = xn (例1,例2) , )
I L 对数函数 选 xarctan x u I 反三角函数 d x. 例4 求积分 ∫ 的 1 + x2 A A 代数函数 优 T 三角函数 先 x 2 ′ 顺 解 ∵ ( 1+ x ) = , E 指数函数 2 序 1+ x xarctan x ∴ ∫ d x = ∫ arctan xd 1 + x2 u 1 + x2
例11 求 I = ∫
e
arctan x
3
(1 + x2 )
dx .
2
先换元, 解 先换元 后分部 令 x = tant , et I = ∫ 3 sec2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t
= e t sin t ∫ e t sint d t
= e sin t + e cos t ∫ e t cos t d t
设 u = ln x
(例3(1)) )
(2)
xn ln xd x ∫
dv = xn d x
(3)
xn arcsin xd x 设 u = arcsin x ∫
(例3(2)) )
3° 选 u 的优先原则: ° 优先原则 原则: "对反代三指" 法 对反代三指" 对反代三指 ( 或称为" LIATE " 法). 或称为" 选 u 的 优 先 顺 序 L I A T E 对数函数 反三角函数 代数函数 三角函数 指数函数
简化
= xsin x ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C uv v du
dv
= ∫ x dcos x dv
2
vdu
I1
简化
+ 2( x sin x + cos x) + C