平衡中的三力平衡问题

二力平衡、三力平衡及共线平行力平衡在通常情况下，建筑结构都在地面上处于静止不动的状态，相对于地球静止，并称这种状态为平衡状态。

在力学上把物体相对于地球静止或作匀速直线运动的两种状态叫做平衡状态。

因为在这两种情况下，物体的加速度都等于零，物体受到的力完全一样。

比如，用吊车起吊柱子，当匀速起吊时，绳索所受的拉力T就等于柱子的重量W，即T=W，吊运的物体处于平衡状态，如果T＞W，柱子产生向上的加速度，如果T<W，柱子产生向下的加速度，平衡状态就成为不可能。

如果作用在物体上的二力使物体维持平衡，则此二力必须大小相等，方向相反，作用在同一直线上。

这就是二力平衡条件。

二力平衡时，其合力必定为零。

二力平衡条件是力系(作用于同一物体上的一组力)的二力平衡中的两力和作用力与反作用力中的两力虽然都具有大小相等、方向相反、作用线相同的关系，但不要把二者混淆起来。

作用力与反作用力是沿着同一直线分别作用在两个物体上的力，根本谈不上相互平衡。

而二力平衡是二力作用在同一物体上，才有互相平衡的关系。

根据二力平衡原理和力的平行四边形法则，我们可以引出一个推论：当物体受三个互不平行力作用而处于平衡时，这三力的作用线必定相交于一点。

这就叫三力平衡原理。

当一个物体受多个共线力作用，其平衡条件又是什么呢?显然应使所有向左〈或向上的力与所有向右（或向下）的力相等时，物体才会处于平衡。

即∑x＝0〈或∑y＝0）规定一个特定方向作用力为正，那么相反方向的作用力则为负值，保证平衡状态时合力为零。

上式表明，物体在初等于其共线力系的作用下的平衡条件为备力沿作用线方向的代数等于零。

假如不考虑平衡状态，平移共线作用力到指定点，并附加力偶，在其他方向产生力的分量，该方向产生加速度，与物体匀速运动或静止运动不符，所以在平衡状态力的作用点平移不需要外加力偶。

三力动态平衡问题的分析作者：李鑫来源：《中国校外教育·理论》2007年第05期[摘要]在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列平衡状态。

文章分析了解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。

[关键词]三力动态平衡解析法图解法在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列平衡状态。

解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。

解析法的基本程序是对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况。

图解法的基本程序是对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化（一般为某一角），在同一图中作出物体的若干状态下的平衡力图（力的平行四边形或力的三角形），在由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。

在这个方法里做受力分析图的过程中比较繁琐浪费时间，经过大量的针对训练，本人慢慢摸索出一个特定的规律。

适用条件：三个力使物体处于平衡状态，其中一个力大小方向均不变化设为F，一个力方向始终不变化设为F1，第三个力方向发生改变设为F2。

问题特点：问F1F2的大小变化情况？规律内容：观察两个变化的力的夹角θ，方向不变化的力F1的大小随夹角变化而变化，即夹角增大则F1增大，夹角减小则F1减小；方向变化的力F2在夹角等于90°时最小。

这样只需要明确了夹角的变化就可以直接判断力的大小变化了，节省时间也提高了准确率。

例1．固定在水平面上的光滑半球，半径为R，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线的一端拴一个小球，另一端绕过定滑轮，如图1所示，现缓慢地将小球拉到B点，则此过程中，小球对半球的压力大小F N、细线的拉力大小F的变化情况是（）A．F N变大，F不变B．F N变小，F变大C．F N不变，F变小D．F N变大，F变小解析：（1）三角形法小球缓慢运动，合力为零。

用三角形法则求解三力平衡问题陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君物体在几个共点力作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，作用在物体上的这几个力的合力为零。

若物体在三个共点力的作用下处于静止或匀速直线运动状态，这三个力的合力必为零，此时可运用三角形法则进行分析与求解。

一、三角形法则三个共点力的合力为零时，若用平行四边形定则求出任意两力的合力，这个合力将代替原来的两个力，这样，三力平衡问题就变成了二力平衡问题，合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。

因此，若将表示三个力的矢量平行移动，使其依次首尾相接，将构成封闭三角形。

这就是求解与分析三个共点力平衡问题的三角形法则。

运用三角形法则作出表示力矢量的三角形后，可利用解三角形的知识与方法进行分析与求解。

例1．如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°。

则小球的质量比m2/m1为A． B． C． D．解析：选碗中的小球m1为研究对象，如图2所示，由于碗的内表面光滑，它受竖直向下的重力mg、从m1（质点）指向球心O的支持力N（弹力）、沿细线斜向上的拉力T（弹力）三个力的作用而处于静止状态，由力的平衡条件可知，它们的合力为零，故将表示这三个力的矢量平行移动依次首尾相接，将构成封闭三角形，如图3所示。

由正弦定理有：，由于碗边缘光滑，相当于定滑轮，故有：。

解两式得：。

本题选A。

二、求解动态平衡问题物体在三个共点力的作用下处于静止状态或匀速直线运动状态，若其中的一个力缓慢变化，而物体仍处于静止状态或匀速直线运动状态，这类问题就是动态平衡问题，变力变化过程中的每一个状态，三力的合力都等于零。

这类问题中至少有一个大小、方向均保持不变，三力矢量构成的封闭三角形中，至少有一个边保持不变，即三角形的两个顶点将保持不动，根据题中变力的变化情况，可确定出另一顶点的变化，由此可以判断出变力的变化情况。

三力平衡问题的解法探究作者：尹明德刘贵珍樊建峰来源：《中学教学参考·理科版》2014年第01期物体受三个互成一定夹角的共点力作用而平衡的问题，可用平衡条件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，还可用弦定理解答。

这类题的解答方法灵活多变，能有效考查学生的分析能力，有时是高考命题的重点。

当以学生熟知的二力平衡思想及初等数学知识为出发点思考时，常见方法有：（1）合成法：是将三力平衡变为二力平衡，如图1所示，将F1、F2合成为F12，则F12与F3是一对平衡力。

还有两种合成法这里不再列出。

（2）分解法：是将三力平衡变为两对平衡力，如图2所示，将F3沿另外两个力的反方向分解为F31和F32（当另外两力互相垂直时，F3的分解就是正交分解了！），则F31=F1，F32=F2是两对平衡力。

【例1】如图3所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。

一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则两小球m1、m2的质量大小之比是（）。

（4）相似三角形法：应用时，应先分析物体的受力，再由合成法或分解法画出力的矢量三角形，而后寻找与力的三角形相似的几何三角形，由两三角形相似，来建立对应边的比例关系求解。

【例2】如图5所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？解析：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象进行受力分析，如图6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻烦。

此时用相似三角形法就相当简单。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于准平衡状态，解答方法有，①图解法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡矢量图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况（要能熟练运用它）；②代数解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程和几何关系，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量的变化情况确定因变量的变化情况。