三力动态平衡问题的几种解法

处理平衡问题的八种方法一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；力的合成法是解决三力平衡问题的基本方法。

二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y合＝0。

为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法；当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法。

隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(或连接体)系统中隔离出来实行分析的方法。

研究系统(或连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法。

【典例1】如下图，有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1所示，现将P环向左移一小段距离，两环将再达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和细绳拉力F T的变化情况是( )A．F N不变，F T变大 B．F N不变，F T变小C．F N变大，F T变大 D．F N变大，F T变小【解析】采取先整体后隔离的方法。

以P、Q、绳为整体研究对象，受重力、AO给的向上的弹力、OB给的水平向左的弹力、AO给的向右的静摩擦力，由整体处于平衡状态知AO对P的向右的静摩擦力与OB对Q的水平向左弹力大小相等；AO给P的竖直向上的弹力与整体重力大小相等，当P环左移一段距离后，整体重力不变；AO对P竖直向上的弹力也不变；再以Q环为隔离研究对象，受力如下图，Q环所受重力G、OB对Q的弹力F、绳的拉力F T处于平衡，P环向左移动一小段距离的同时F T移至F′T位置，仍能平衡，即F T竖直分量与G大小相等，F T应变小，B准确。

三力动态平衡问题的处理技巧一、教学笔记1．动态平衡问题通过控制某些物理量，使物体状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体始终处于平衡状态．2．解决动态平衡问题的关键抓住不变量，确定自变量，依据不变量与自变量的关系来确定其他量的变化规律．3．常用的分析方法(1)解析法：正弦定理(2)图解法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量(一般为某一角度)的变化，在同一图中作出物体在若干状态下力的平行四边形或三角形，再由力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况．（它一般适用于研究对象受三个力作用情况，且其中一个力大小、方向不变，另一个力方向不变，第三个力大小、方向均变化．4．用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：(1)若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一分力F2的最小值条件为F1⊥F2；(2)若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一分力F2的最小值条件为F2⊥F）5．临界问题：(1)定义：由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，解题的关键是确定“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．(2)解题方法：解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解．二、随堂练习1.如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中( )A ．F N1始终减小，F N2始终增大B 、F N1始终减小，F N2始终减小C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大2.半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN .在半圆柱体P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于平衡状态，如图8所示是这个装置的截面图．现使MN 保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q 滑落到地面之前，发现P 始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是( )A ．MN 对Q 的弹力逐渐减小B 、地面对P 的摩擦力逐渐增大C ．P 、Q 间的弹力先减小后增大D ．Q 所受的合力逐渐增大3.如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千，某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F 1表示木板所受合力的大小，F 2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )A ．F 1不变，F 2变大B ．F 1不变，F 2变小C ．F 1变大，F 2变大D ．F 1变小，F 2变小4.如图所示，用一根长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为m 的小球A ，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A 处于静止，对小球施加的最小的力是( )A.3mgB.32mgC.12mgD.33mg 5.如图3所示，放置在斜劈上的物块受到平行于斜面向上的力F 的作用，整个装置保持静止．现在使力F 增大，但整个装置仍保持静止，则下列说法正确的是( )A ．物块对斜劈的压力可能增大B ．物块受到的合外力可能增大C ．地面对斜劈的摩擦力可能减小D ．斜劈对物块的摩擦力可能减小6.如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是()A．F N保持不变，F T不断增大B．F N不断增大，F T不断减小C．F N保持不变，F T先增大后减小D、F N不断增大，F T先减小后增大7．如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，轻杆B端吊一重物G，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉(均未断)，在AB杆达到竖直前，以下分析正确的是()A．绳子越来越容易断B．绳子越来越不容易断C．AB杆越来越容易断D．AB杆越来越不容易断8．(多选)如图10所示，形状和质量完全相同的两个圆柱体a、b靠在一起，表面光滑，重力为G，其中b的下半部刚好固定在水平面MN的下方，上边露出另一半，a静止在平面上．现过a的轴心施加一水平作用力F，可缓慢的将a拉离平面一直滑到b的顶端，对该过程分析，则应有()图10A．拉力F先增大后减小，最大值是GB．开始时拉力F最大为3G，以后逐渐减小为0C．a、b间的压力开始最大为2G，而后逐渐减小到GD．a、b间的压力由0逐渐增大，最大为G。

动态平衡问题 类型一 动态平衡问题1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态.2.常用方法 (1)解析法对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化. (2)图解法此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.一般按照以下流程分析： 受力分析―――――――→化“动”为“静”画不同状态下的平衡图――――――→“静”中求“动”确定力的变化 (3)相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例求解(构建三角形时可能需要画辅助线).题型例析1 图解法例1 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )A.斜面对球的支持力逐渐增大B.斜面对球的支持力逐渐减小C.挡板对小球的弹力先减小后增大D.挡板对小球的弹力先增大后减小 题型例析2 解析法例2 (2020·广东中山市月考)如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为F N1，木板对球的压力大小为F N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计一切摩擦，在此过程中( )A.F N1先增大后减小，F N2始终减小B.F N1先增大后减小，F N2先减小后增大C.F N1始终减小，F N2始终减小D.F N1始终减小，F N2始终增大题型例析3相似三角形法例3(2020·山西大同市开学考试)如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.此过程中，轻杆BC所受的力()A.逐渐减小B.逐渐增大C.大小不变D.先减小后增大变式训练1(单个物体的动态平衡问题)(多选)(2020·广东惠州一中质检)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是()A.F1减小B.F1增大C.F2增大D.F2减小变式训练2(多个物体的动态平衡问题)(多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态.现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中()A.水平拉力的大小可能保持不变B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加类型二平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.(3)刚好离开接触面，支持力F N＝0.2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.3.解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.例4(2020·广东茂名市测试)如图所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa 细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为()A.2.4mgB.3mgC.3.2mgD.4mg例5如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2)这一临界角θ0的大小.跟踪训练1.(2020·河南驻马店市第一学期期终)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示.设绳OA段拉力的大小为F T，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中()A.F先变大后变小，F T逐渐变小B.F先变大后变小，F T逐渐变大C.F先变小后变大，F T逐渐变小D.F先变小后变大，F T逐渐变大2.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O 点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为F T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为F T2，弹簧的弹力为F2.则下列关于F T1与F T2、F1与F2大小的比较，正确的是()A.F T1＞F T2B.F T1＝F T2C.F1＜F2D.F1＝F23.(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则()A.绳OO′的张力也在一定范围内变化B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化4.(2020·安徽黄山市高三期末)如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环.现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是()A.F1和F2都变大B.F1变大，F2变小C.F1和F2都变小D.F1变小，F2变大5.(2020·广东高三模拟)如图所示，竖直墙上连有细绳AB，轻弹簧的一端与B相连，另一端固定在墙上的C 点.细绳BD与弹簧拴接在B点，现给BD一水平向左的拉力F，使弹簧处于伸长状态，且AB、CB与墙的夹角均为45°.若保持B点不动，将BD绳绕B点沿顺时针方向缓慢转动，则在转动过程中BD绳的拉力F的变化情况是()A.变小B.变大C.先变小后变大D.先变大后变小6.(2020·河南信阳市高三上学期期末)如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A.平板AP受到的压力先减小后增大B.平板AP受到的压力先增大后减小C.平板BP受到的最小压力为0.6mg7.(2020·黑龙江哈尔滨市三中高三模拟)如图所示，斜面固定，平行于斜面处于压缩状态的轻弹簧一端连接物块A，另一端固定，最初A静止.在A上施加与斜面成30°角的恒力F，A仍静止，下列说法正确的是()A.A对斜面的压力一定变小B.A对斜面的压力可能不变C.A对斜面的摩擦力一定变大D.A对斜面的摩擦力可能变为零8.(多选)如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜劈的斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的定滑轮1固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态.若将固定点c向右移动少许，而物体a与斜劈始终静止，则()A.细线对物体a的拉力增大B.斜劈对地面的压力减小C.斜劈对物体a的摩擦力减小D.地面对斜劈的摩擦力增大9.(多选)(2019·河北唐山一中综合测试)如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行.现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有()A.轻绳对小球的拉力逐渐增大B.小球对斜劈的压力先减小后增大C.竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小D.对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大10.(多选)如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F1、CB绳的拉力F2的大小变化情况是()A.F1先变小后变大B.F1先变大后变小C.F2一直变小D.F2最终变为零11.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施加一水平力F，如图所示.设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2C.1D.0.512.(2020·山西“六校”高三联考)跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，与A相连的轻绳和斜面平行，如图所示.已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).参考答案类型一动态平衡问题题型例析1图解法例1【答案】BC【解析】对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力F N1和挡板的弹力F N2，如图，当挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，F N1和F N2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力F N1逐渐减小，挡板对小球的弹力F N2先减小后增大，当F N1和F N2垂直时，弹力F N2最小，故选项B、C正确，A、D错误.故选BC。

动态平衡问题苗贺铭动态平衡问题是高中物理平衡问题中的一个难点，学生不掌握问题的根本和规律，就不能解决该类问题，一些教学资料中对动态平衡问题归纳还不够全面。

因此，本文对动态平衡问题的常见解法梳理如下。

所谓的动态平衡，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，物体在任意时刻都处于平衡状态，动态平衡问题中往往是三力平衡。

即三个力能围成一个闭合的矢量三角形。

一、图解法方法：对研究对象受力分析，将三个力的示意图首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形的边长，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1如图所示,一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为F N1,球对木板的压力大小为F N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦,在此过切程中( )A.F N1始终减小B. F N2始终减小C. F N1先增大后减小D. F N2先减小后增大解析：以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、墙面的支持力和木板的支持力，如图所示：由矢量三角形可知：始终减小，始终减小。

归纳：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

二、解析法方法：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，得到自变量与应变量的函数关系，由自变量的关系确定应变量的关系。

例题2.1倾斜长木板一端固定在水平轴O上，另一端缓慢放低，放在长木板上的物块m 一直保持相对木板静止状态，如图所示．在这一过程中，物块m受到长木板支持力F N和摩擦力F f的大小变化情况是（） A. F N变大，F f变大B. F N变小，F f变小C. F N变大，F f变小D. F N变小，F f变大解析：设木板倾角为θ根据平衡条件：F N=mgcosθF f=mgsinθ可见θ减小，则F N变大，F f变小；故选：C例题2.2 如图所示，轻绳OA 、OB 系于水平杆上的A 点和B 点，两绳与水平杆之间的夹角均为30°，重物通过细线系于O 点。

【高一物理：图解法、整体法的应用】三力动...
【高一物理：图解法、整体法的应用】
三力动态平衡的问题，解决方法，常见的有三种，一个是图解法，它的适用条件是：一个力大小方向都恒定，还有一个力的方向不变。

另一个是相似三角形法，有两个力方向都变化，还有一个是解析法，它的适用条件就是，变化过程中，始终存在直角三角形。

下面这道题，物块的平衡，就是三力动态平衡问题，就需要用到解析法，同学们做做。

地面对半球体的支持力和摩擦力，可以把二者看作一个整体，受到四个力，然后采用正交分解法解决。

同学们试试做，看能否做对？答案在评论区里。

1．三力动态平衡常用图解法、相似三角形法、正弦定理法、等效圆周角不变法等，三个力中重力一般不变：(1)若还有一个力方向不变，第三个力大小方向都变时可用图解法；(2)若另外两个力大小方向都变，且有几何三角形与力的三角形相似的可用相似三角形法；(3)若另外两个力大小方向都变，且知道力的三角形中各角的变化规律的可用正弦定理；(4)若另外两个力大小方向都变，且这两个力的夹角不变的可用等效圆周角不变法或正弦定理．2．多力动态平衡问题常用解析法．3．涉及到摩擦力的时候要注意静摩擦力与滑动摩擦力的转换．1．(2019·重庆市沙坪坝等主城六区第一次调研抽测)如图1，轻绳一端系在小球A上，另一端系在圆环B上，B套在粗糙水平杆PQ上．现用水平力F作用在A上，使A从图中实线位置(轻绳竖直)缓慢上升到虚线位置，但B仍保持在原来位置不动．则在这一过程中，杆对B的摩擦力F1、杆对B的支持力F2、绳对B的拉力F3的变化情况分别是()图1A．F1逐渐增大，F2保持不变，F3逐渐增大B．F1逐渐增大，F2逐渐增大，F3逐渐增大C．F1保持不变，F2逐渐增大，F3逐渐减小D．F1逐渐减小，F2逐渐减小，F3保持不变2.(2020·河北衡水中学调研)如图2所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动，用轻绳在O点悬挂一个重力为G的物体，另一根轻绳一端系在O点，O点为圆弧的圆心，另一端系在圆弧形墙壁上的C点，当该轻绳端点由点C逐渐沿圆弧CB向上移动的过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳拉力的大小变化情况是()图2A．逐渐减小B．逐渐增大C．先减小后增大D．先增大后减小3．(多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图3，图3柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N .初始时，OM竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞π2)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小4．(2019·山东大联考三模)如图4，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O 为圆心，最高点B 处固定一光滑轻质滑轮，质量为m 的小环A 穿在半圆环上．现用细线一端拴在A 上，另一端跨过滑轮用力F 拉动，使A 缓慢向上移动．小环A 及滑轮B 大小不计，在移动过程中，关于拉力F 以及半圆环对A 的弹力N 的说法正确的是( )图4A ．F 逐渐增大B ．N 方向始终指向圆心OC ．N 逐渐变小D ．N 大小不变5．(多选)(2019·山东烟台市第一学期期末)如图5所示，一质量为m 、半径为r 的光滑球A 用细绳悬挂于O 点，另一质量为M 、半径为R 的半球形物体B 被夹在竖直墙壁和A 球之间，B 的球心到O 点之间的距离为h ，A 、B 的球心在同一水平线上，A 、B 处于静止状态．重力加速度为g .则下列说法正确的是( )图5A ．A 对B 的压力大小为R ＋r hmg B ．竖直墙壁对B 的摩擦力可能为零C ．当只轻轻把球B 向下移动一点距离，若A 、B 再次保持静止，则A 对B 的压力大小保持不变，细绳拉力增大D ．当只轻轻把球B 向下移动一点距离，若A 、B 再次保持静止，则A 对B 的压力减小，细绳拉力减小6．(2020·河南开封市模拟)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A ，A 与竖直墙之间放另一截面也为半圆的光滑柱状物体B ，整个装置处于静止状态，截面如图6所示．设墙对B 的作用力为F 1，B 对A 的作用力为F 2，地面对A 的作用力为F 3.在B 上加一物体C ，整个装置仍保持静止，则( )图6A．F1保持不变，F3增大B．F1增大，F3保持不变C．F2增大，F3增大D．F2增大，F3保持不变7．(多选)(2019·安徽省A10联盟开年考)如图7，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中()图7A．拉力F逐渐增大B．轻绳上的张力先增大后减小C．地面对斜面体的支持力逐渐增大D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小8．(2019·湖南衡阳市第一次联考)如图8所示的装置中，在A端用外力F把一个质量为m的小球沿倾角为30°的光滑斜面匀速向上拉动，已知在小球匀速运动的过程中，拴在小球上的绳子与水平固定杆之间的夹角从45°变为90°，斜面体与水平地面之间是粗糙的，并且斜面体一直静止在水平地面上，不计滑轮与绳子之间的摩擦．则在小球匀速运动的过程中，下列说法正确的是()图8A．外力F一定增大B．地面对斜面体的静摩擦力始终为零C．绳子对水平杆上的滑轮的合力一定大于绳子的拉力D．绳子A端移动的速度大小等于小球沿斜面运动的速度大小9．(2019·湖北省黄冈中学第三次模拟)哥伦比亚大学的工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌肉，可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作．如图9所示，连接质量为m 的物体的足够长细绳ab一端固定于墙壁，用合成肌肉做成的“手臂”ced的d端固定一滑轮，c端固定于墙壁，细绳绕过滑轮，c和e类似于人手臂的关节，由“手臂”合成肌肉控制．设cd与竖直墙壁ac夹角为θ，不计滑轮与细绳的摩擦，下列说法正确的是()图9A．若保持θ不变，增大cd长度，细绳ad部分拉力变大B．若保持θ＝90°，增大cd长度，细绳对滑轮的力始终沿dc方向C．若保持ac等于ad，增大cd长度，细绳对滑轮的力始终沿dc方向D．若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac>cd，则细绳对滑轮的力先减小后增大10．(2020·山东临沂市质检)如图10所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上的质量为2m 的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则()图10A．细绳OO′的拉力逐渐增大B．细绳对物块B的拉力逐渐变大C．斜面对物块B的支持力逐渐变大D．外力F逐渐变大11.(2019·安徽省皖北协作区联考)如图11所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ，OP 竖直放置，OQ水平，小球a、b固定在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力，作用于b 上，使a、b紧靠挡板处于静止状态．现用力F推动小球b，使之缓缓到达b′位置，则()图11A．推力F变大B．b对OQ的压力变大C．弹簧长度变短D．弹簧长度变长12．(多选)(2019·湖南长沙一中月考)《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1 000 kV的高压线上带电作业的过程．如图12所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮上．另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制．身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处．绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m，不计一切阻力，重力加速度大小为g.关于王进从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是()图12 A．工人对绳的拉力一直变大B．绳OD的拉力一直变小C．OD、CD两绳拉力的合力大小等于mgD．当绳CD与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为33mg答案精析1．A[设小球A的质量为m，圆环B的质量为M，对A受力分析，如图甲所示，甲乙由平衡条件可得F3′cos α＝mg，F＝mg tan α，故随α增大，F增大，则F3′增大，即F3增大；再对两者的整体受力分析，如图乙所示，有：F1＝F，F2＝(M＋m)g，则F2不变，F1增大，故选A.]2.C[对物体受力分析，物体受力平衡，则竖直绳的拉力等于物体的重力G，故竖直绳的拉力不变；再对O点分析，O点总受竖直绳的拉力、OA的支持力F及OC绳的拉力而处于平衡状态，受力分析如图所示，F和OC绳的拉力的合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳端点上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，由图可知OC绳的拉力先减小后增大，故C正确．]3．AD[以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．]4．D [在小环A 缓慢向上移动的过程中，小圆环A 处于三力平衡状态，根据平衡条件知mg 与N 的合力与T 等大反向共线，作出mg 与N 的合力，如图，由三角形相似得：mg BO ＝N OA ＝T AB由于最高点B 处固定一光滑轻质滑轮，则F ＝T ，可得：F ＝T ＝AB BOmg ，AB 变小，BO 不变，则F 变小，故A 错误；N ＝OA BOmg ，AO 、BO 都不变，则N 不变，方向始终背离圆心，故B 、C 错误，D 正确．]5．AD [分析A 球的受力情况，如图所示，N 与mg 的合力与T 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似有：N R ＋r ＝mg h ＝T OA，得：N ＝R ＋r h mg ，T ＝OA h mg ，由牛顿第三定律知A 对B 的压力大小为：N ′＝N ＝R ＋r hmg ，故A 正确；B 在竖直方向受到重力，而A 、B 间无摩擦，由平衡条件知竖直墙壁对B 一定有摩擦力，故B 错误；当只轻轻把球B 向下移动一点距离，分析A 球的受力情况，如图乙所示：N 与T 的合力与mg 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得：N R ＋r ＝mg L ＝T OA可得：N ＝R ＋r L mg ，T ＝OA Lmg ，由于L ＞h ，可知，N 减小，T 减小，由牛顿第三定律知A 对B 的压力减小，故C 错误，D 正确．]6．C [先对B 、C 整体受力分析，受重力、墙壁支持力和A 的支持力，根据平衡条件，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示，在B上加一C物体，相当于整体的重力增加了，故墙对B的作用力F1增加，A对B的支持力也增加，根据牛顿第三定律，B对A的作用力F2增加；再对A、B、C整体分析，受重力、地面的支持力、地面的静摩擦力、墙壁的支持力，根据平衡条件，地面的支持力等于整体的重力，故加上C物体后，地面的支持力和摩擦力均变大，则F3变大，故A、B、D错误，C 正确．]7．AD[小球B受重力mg、轻绳OB的拉力T和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图．在T转至水平的过程中，轻绳OB的拉力T逐渐减小，拉力F逐渐变大，故选项A正确，B 错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力，向上的支持力，向左的摩擦力和拉力四个力的作用，根据小球的受力分析可知，拉力F的竖直分力逐渐增大，水平分力先增大后减小，所以支持力逐渐减小，摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．]8．A9．C[细绳ad、bd的拉力大小等于物体的重力，如终不变，选项A错误；若保持θ＝90°，因T ad＝T db＝mg，则ad绳和bd绳拉力的合力方向指向左下方∠adb角平分线的方向，则细绳对滑轮的力方向指向左下方，不沿dc方向，选项B错误；若保持ac＝ad，则∠acd＝∠adc ＝∠cdb，则此时ad绳和bd绳拉力的合力方向沿dc方向，即使增大cd长度，上述关系仍然不变，即细绳对滑轮的力始终沿dc方向，选项C正确；若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac>cd，则ad与ac的夹角先增大后减小，ad与db的夹角先减小后增大，则ad绳和bd绳拉力的合力先增大后减小，即细绳对滑轮的力先增大后减小，选项D错误．]10.D[由题可知，物块缓慢移动整体都处于平衡状态，则绳OO′的拉力等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于物块A 的重力的大小，但是由于物块B上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故选项A、B错误；物块B未运动前，对物块B 受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡方程可知：斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知外力F逐渐变大，故选项C错误，D正确．]11．D [隔离a 分析受力，设此时a 、b 间作用力与水平方向的夹角为θ，如图甲所示，由力的平衡条件可得：F ′＝mg sin θ，N ＝mg tan θ小球到达b ′位置，当a 、b 重新处于静止状态时，由几何关系可知，θ增大，则sin θ、tan θ增大，F ′减小，N 减小，根据胡克定律可知弹簧的形变量变小，所以弹簧长度变长，故D 正确，C 错误；对a 、b 的整体受力分析如图乙所示：由共点力的平衡条件可知，a 、b 重新处于静止状态前后，OQ 挡板对b 的支持力始终和a 、b 的总重力大小相等，保持不变，推力F ＝N 在减小，故A 、B 错误．]12．CD [对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示，绳OD 的拉力为F 1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD 的拉力为F 2，与竖直方向的夹角为α.根据几何知识可知θ＋2α＝90°，由正弦定理可得，F 1sin α＝F 2sin θ＝mg sin ()180°－θ－α＝mg sin (90°＋α)，王进从C 点运动到E 点的过程中，α增大，θ减小，则F 1增大，F 2减小，选项A 、B 错误；两绳拉力的合力大小等于mg ，选项C 正确；当绳CD 与竖直方向的夹角为α＝30°时，θ＝30°，2F 2cos 30°＝mg ，可得F 2＝33mg ，即工人对绳的拉力为33mg ，选项D 正确．]。

动态平衡中的三力问题方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1.1 如图1所示，一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。

F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。

F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。

由此可知，F 2先减小后增大，F 1随β增大而始终减小。

同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）方法二：相似三角形法。

图1-1 图1-2F 1G F 2 图1-3 图1-4特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

专题12三力平衡中的动态平衡问题及最小值问题1、三个力的动态平衡问题:一个力恒定，另外两个力的大小或(和)方向不断变化，但物体仍然平衡，关键词——缓慢转动、缓慢移动……2、三个力的动态平衡问题的解法1）解析法——画好受力分析后，对力进行分解列平衡方程，然后由角度变化分析力的变化规律.2）图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接构成力的封闭三角形，由于三角形的边的长短反映力的大小，从动态三角形边的长度变化规律看出力的变化规律.3、图解法分析的一般顺序：封闭的矢量三角形→等腰三角形→相似三角形→圆与矢量三角形相结合或正弦定理→圆与矢量三角形相结合考点一解析法分析三个力的动态平衡问题解析法：对研究对象进行受力分析，列平衡方程，根据角度变化分析力的变化规律.1．（2022·江苏南通·高二期末）如图所示，半球形碗静止于水平地面上，一只可视为质点的蚂蚁在碗内缓慢从b点爬到a点的过程中（）A．蚂蚁受到的弹力逐渐变大B．蚂蚁受到的摩擦力逐渐变大C．蚂蚁受到的合力逐渐变大D．地面对碗的摩擦力逐渐变大【答案】B【详解】AB．设蚂蚁所在位置的切线与水平方向夹角为，对蚂蚁分析得支持力和静摩擦力分别为N=mcos，=msin故A错误，B正确；C．蚂蚁缓慢上爬的过程中变大，可知蚂蚁受到的支持力减小，静摩擦力增大。

又因为蚂蚁缓慢移动，视为平衡状态，故所受合力为零保持不变，故C错误；D．系统保持平衡状态，则地面对碗的摩擦力为零保持不变，故D错误。

2.(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是()A．F1减小B．F1增大C．F2增大D．F2减小【答案】AD【详解】解析以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1＝G tanθ，F2＝Gcosθ，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．考点二矢量三角形法分析三个力的动态平衡问题矢量三角形法常用于三个力中只有一个力的方向发生变化的情况.3.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。

动态平衡中的三力问题物理组 王高波在有关物体平衡的问题中,有一类涉及动态平衡;这类问题中的一部分力是变力,是动态力,力的大小和方向均要发生变化,故这是力平衡问题中的一类难题;解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”,“静”中求“动”;根据现行高考要求,物体受到往往是三个共点力问题,利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点,许多同学因不能掌握其规律往往无从下手,许多参考书的讨论常忽略几中情况,笔者整理后介绍如下; 方法一：三角形图解法;特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中,有一力的大小、方向均不变通常为重力,也可能是其它力,另一个力的方向不变,大小变化,第三个力则大小、方向均发生变化的问题;方法：先正确分析物体所受的三个力,将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形;然后将方向不变的力的矢量延长,根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时,这个闭合三角形总是存在,只不过形状发生改变而已,比较这些不同形状的矢量三角形,各力的大小及变化就一目了然了;例 如图1所示,一个重力G 的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为α,在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态;今使板与斜面的夹角β缓慢增大,问：在此过程中,挡板和斜面对球的压力大小如何变化解析：取球为研究对象,如图1-2所示,球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2;因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,将三个力矢量构成封闭的三角形;F 1的方向不变,但方向不变,始终与斜面垂直;F 2的大小、方向均改变,随着挡板逆时针转动时,F 2的方向也逆时针转动,动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F 2;由此可知,F 2先减小后增大,F 1随β增大而始终减小;同种类型：例所示,小球被轻质细绳系着,斜吊着放在光滑斜面上,小球质量为m ,斜面倾角为θ,向右缓慢推动斜面,直到细线与斜面平行,在这个过程中,绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况方法二：相似三角形法;特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中,一个力大小、方向不变,其它二个力的方向均发生变化,且三个力中没有二力保持垂直关系,但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题原理：先正确分析物体的受力,画出受力分析图,将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形,再寻找与力的三角形相似的几何三角形,利用相似三角形的性质,建立比例关系,把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论;例2．一轻杆BO ,其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上,B 端挂一重物,且系一细绳,细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮,用力F 拉住,如图2-1所示;现将细绳缓慢往左拉,使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少,则在此过程中,拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是A ．F N 先减小,后增大 始终不变 C ．F 先减小,后增大 始终不变图1-1图1-2F 1GF 2图1-3图2-1图2-2图1-4解析：取BO 杆的B 端为研究对象,受到绳子拉力大小为F 、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力大小为G 的作用,将F N 与G 合成,其合力与F 等值反向,如图2-2所示,将三个力矢量构成封闭的三角形如图中画斜线部分,力的三角形与几何三角形OBA 相似,利用相似三角形对应边成比例可得：如图2-2所示,设AO 高为H ,BO 长为L ,绳长l ,lF L F HG N ==,式中G 、H 、L 均不变,l 逐渐变小,所以可知F N 不变,F 逐渐变小;正确答案为选项B 同种类型：如图2-3所示,光滑的半球形物体固定在水平地 面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A 点,另一端绕过定滑轮,后用力拉住,使小球静止．现缓慢地拉绳,在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中,半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是 D ;A N 变大,T 变小,B N 变小,T 变大C N 变小,T 先变小后变大D N 不变,T 变小方法三：作辅助圆法特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中,开始时两个力的夹角为90°,且其中一个力大小、方向不变,另两个力大小、方向都在改变,但动态平衡时两个力的夹角不变;②物体所受的三个力中,开始时两个力的夹角为90°,且其中一个力大小、方向不变,动态平衡时一个力大小不变、方向改变,另一个力大小、方向都改变,原理：先正确分析物体的受力,画出受力分析图,将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形,第一种情况以不变的力为弦作个圆,在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形,从而轻易判断各力的变化情况;第二种情况以大小不变,方向变化的力为直径作一个辅助圆,在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形,从而轻易判断各力的变化情况;例3、如图3-1所示,物体G 用两根绳子悬挂,开始时绳OA 水平,现将两绳同时顺时针转过90°,且保持两绳之间的夹角α不变)90(0>α,物体保持静止状态,在旋转过程中,设绳OA 的拉力为F 1,绳OB 的拉力为F 2,则 ;A F 1先减小后增大B F 1先增大后减小C F 2逐渐减小D F 2最终变为零解析：取绳子结点O 为研究对角,受到三根绳的拉力,如图3-2所示分别为F 1、F 2、F 3,将三力构成矢量三角形如图3-3所示的实线三角形CDE,需满足力F 3大小、方向不变,角∠ CDE 不变因为角α不变,由于角∠DCE 为直角,则三力的几何关系可以从以DE 边为直径的圆中找,则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形;由此可知,F 1先增大后减小,F 2随始终减小,且转过90°时,当好为零; 正确答案选项为B 、C 、D另一种类型：如图3-4所示,在做“验证力的平行四边形定则”的实验时,用M 、N 两个测力计通过细线拉橡皮条的结点,使其到达O 点,此时α+β= 90°．然后保持M 的读数不变,而使α角减小,为保持结点位置不变,可采用的办法是 A ; A 减小N 的读数同时减小β角 B 减小N 的读数同时增大β角 C 增大N 的读数同时增大β角D 增大N 的读数同时减小β角图3-1图3-2 图3-3图2-3 图3-4方法四：解析法 特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮,三个力中其中两个力是绳的拉力,由于是同一根绳的拉力,两个拉力相等,另一个力大小、方向不变的问题;原理：先正确分析物体的受力,画出受力分析图,设一个角度,利用三力平衡得到拉力的解析方程式,然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面,找到所设角度的三角函数关系;当受力动态变化是,抓住绳长不变,研究三角函数的变化,可清晰得到力的变化关系;例4．如图4-1所示,在水平天花板与竖直墙壁间,通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N,绳长L =2.5m,OA =1.5m,求绳中张力的大小,并讨论： 1当B 点位置固定,A 端缓慢左移时,绳中张力如何变化2当A 点位置固定,B 端缓慢下移时,绳中张力又如何变化解析：取绳子c 点为研究对角,受到三根绳的拉力,如图4-2所示分别为F 1、F 2、F 3,延长绳AO 交竖直墙于D 点,由于是同一根轻绳,可得：21F F =,BC 长度等于CD,AD 长度等于绳长;设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：θsin 21G F =；在三角形AOD 中可知,ADOD=θsin ;如果A 端左移,AD 变为如图4－3中虚线A ′D ′所示,可知A ′D ′不变,OD ′减小,θsin 减小,F 1变大;如果B 端下移,BC 变为如图4－4虚线B ′C ′所示,可知AD 、OD 不变,θsin 不变,F 1不变;同种类型：如图4－5所示, 长度为5cm 的细绳的两端分 别系于竖立地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ,绳子上 挂有一个光滑的轻质钩,其 下端连着一个重12N 的物体, 平衡时绳中的张力多大图4－1图4－2 图4－3′ 图4－4 图4－5。

求解平衡问题的九种方法一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，如此任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反;“力的合成法〞是解决三力平衡问题的根本方法.例1如图1甲所示，重物的质量为m ,轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端固定，平衡时AO 水平,B0与水平面的夹角为θ，AO 拉力1F 和BO 拉力2F 的大小是 () A 、1F mg = B.1cot F mg θ= C.2sin F mg θ= D.2sin mgF θ=解析 根据三力平衡特点，任意两个力的合力与第三个力等大反向，可作出图1所示矢量图，由三角形知识可得1cot F mg θ=，2sin mgF θ=.所以正确选项为BD二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解:0x F =合,0y F =合.为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原如此.例2 如图2甲所示，不计滑轮摩擦,A B 、两物体均处于静止状态.现加一水平力F 作用在B 上使B 缓慢右移，试分析B 所受力F 的变化情况.解析 对物体B 受力分析如图2所示，建立如图直角坐标系，在x 轴上有cos 0f A x F F F F θ=--=合①在y 轴上有sin 0N A B y F F F G θ=+-=合②又f N F F μ=③联立①②③得(cos sin )A B F F G θμθμ=-+. 可见，随着θ不断减小，水平力F 将不断增大. 三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法;当只涉与研究系统而不涉与系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法.隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(连接体)系统中隔离出来进展分析的方法，其目的是便于进一步对该物体进展受力分析，得出与之关联的力.为了研究系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法.一般情况下，整体法和隔离法是结合在一起使用的.例3有一直角支架AOB ，AO 水平放置，外表粗糙，OB 竖直向下，外表光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如下列图，现将P 环向左移一小段距离，两环再将达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比拟，AO 杆对P 环的支持力N F 和细绳拉力T F 的变化情况是：〔 〕 A 、N F 不变、T F 变大 B 、N F 不变、T F 变小 C 、N F 变大、T F 变大D 、N F 变大、T F 变小解析采取先“整体〞后“隔离〞的方法.以P 、Q 、绳为整体研究对象，受重力、AO 给的向上弹力、OB 给的水平向左弹力.由整体处于平衡状态知AO 给P 向右静摩擦力与OB 给的水平向左弹力大小相等;AO 给的竖直向上弹力与整体重力大小相等.当P 环左移一段距离后，整体重力不变，AO 给的竖直向上弹力也不变.再以Q 环为隔离研究对象，受力如图3乙所示，Q 环所受重力G 、OB 给Q 弹力F 、绳的拉力T F 处于平衡,P 环向左移动一小段距离的同时T F 移至'T F 位置，仍能平衡，即T F 竖直分量与G 大小相等，T F 应变小，所以正确答案为B 选项. 四、三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断.如图4甲，细绳AO 、BO 等长且共同悬一物，A 点固定不动，在手持B 点沿圆弧向C 点缓慢移动过程中，绳BO 的张力将 () A 、不断变大 B 、不断变小 C 、先变大再变小 D 、先变小再变大解析 选0点为研究对象，受F 、A F 、B F 三力作用而平衡,此三力构成一封闭的动态三角形如图4乙.容易看出，当B F 与A F 垂直即090αβ+=时，B F 取最小值，所以D 选项正确. 五、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图申的几何三角形相似，进而力三角形与几何三角形对应成比例，根据比值便河计算出末知力的大小与方向.例5 固定在水平面上的光滑半球半径为R ，球心0的正上方C 处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A 点，另一端绕过定滑轮，如图5所示，现将小球缓慢地从A 点拉向B 点，如此此过程中小球对半球的压力大小N F 、细线的拉力大小T F 的变化情况是 ()A 、N F 不变、T F 不变 B.N F 不变、T F 变大 C ，N F 不变、T F 变小 D.N F 变大、T F 变小解析 小球受力如图5乙所示，根据平衡条件知，小球所受支持力'N F 和细线拉力T F 的合力F 跟重力是一对平衡力，即F G =.根据几何关系知，力三角形'N FAF 与几何三角形COA 相似.设滑轮到半球顶点B 的距离为h,线长AC 为L ，如此有'N T F F G RR hL==+,由于小球从A 点移向B 点的过程中，G R h 、、均不变,L 减小，故'N F 大小不变，T F 减小.所以正确答案为C 选项.六、正弦定理法正弦定理:在同一个三角形中，三角形的边长与所对角的正弦比值相等;在图6中有sin sin sin AB BC CAC A B ==同样，在力的三角形中也满足上述关系，即力的大小与所对角的正弦比值相等.例6 不可伸长的轻细绳AO 、BO 的结点为0，在0点悬吊电灯L ，OA 绳处于水平，电灯L 静止,如图图7甲所示，保持0点位置不变，改变OA 的长度使A 点逐渐上升至C 点，在此过程中绳OA 的拉力大小如何变化?解析 取0点为研究对象，0点受灯的拉力F(大小等于电灯重力G)、OA 绳的拉力1T 、OB 绳的拉力2T ,如图7乙所示.因为三力平衡，所以1T 、2T 的合力'G 与G 等大反向.由正弦定理得1sin sin T G θα=,即1sin sin G T θα=,由图知θ不变,α由小变大, α增大到090后再减小，所以据1T 式知1T 先变小后变大，当090α=时，1T 有最小值. 七，拉密原理法拉密原理:如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比.在图8所示情况下，原理表达式为312123sin sin sin F F F θθθ==例7 如图9甲所示装置，两根细绳拉住一个小球，保持两绳之间夹角θ不变;假设把整个装置顺时针缓慢转动090，如此在转动过程中，CA 绳拉力1T F 大小的变化情况是，CB 绳拉力2T F 大小的变化情况是 .解析 在整个装置缓慢转动的过程中，可以认为小球在每一位置都是平衡的.小球受到三个力的作用，如图9乙所示，根据拉密原理有12sin sin sin T T F F G βαθ==,由于θ不变,α由090逐渐变为0180，sin α会逐渐变小直到为零，所以2T F 逐渐变小直到为零;由于β由钝角变为锐角，sin β先变大后变小，所以1T F 先变大后变小. 八、对称法研究对象所受力假设具有对称性，如此求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性.例8 如图10甲所示，重为G 的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求;(1)链条两端的张力大小. (2)链条最低处的张力大小.解析 (1)在求链条两端的张力时，可把链条当做一个质点处理.两边受力具有对称性使两端点的张力F 大小相等，受力分析如图10乙所示.取链条整体为质点研究对象.由平衡条件得竖直方向2Fsin =G θ，所以端点张力为GF=2sin θ(2)在求链条最低点张力时，可将链条一分为二，取一半研究，受力分析如图10丙所示，由平衡条件得水平方向所受力为'cos cos cot 2sin 2G G F F θθθθ===即为所求.九、力矩平衡法力矩平衡:物体在力矩作用下处于静止或匀速转动状态时，所受力矩达到平衡·力矩平衡条件:一般规定逆时针方向的力矩为正设为1M ，顺时针方向的力矩为负设为2M ，如此力矩平衡条件为120M M +=.例9 如图1l,AC 为竖直墙面，AB 为均匀横梁其重力为G ，处于水平位置;BC 为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向的夹角为α，A B C 、、三处均用铰链连接，如此轻杆BC 所承受的力为多大?解析 以轻杆BC 为研究对象，由三力汇交原理可知，横梁AB 对它的作用力一定沿着轻杆BC.再以横梁AB 为研究对象，受力分析如图11所示，由力矩平衡可得cos 2AB GN AB α=,所以有2cos G N α=由牛顿第三定律可得，轻杆BC 所承受的力为'2cos G N N α==。

动态平衡问题苗贺铭动态平衡问题是高中物理平衡问题中的一个难点，学生不掌握问题的根本和规律，就不能解决该类问题，一些教学资料中对动态平衡问题归纳还不够全面。

因此，本文对动态平衡问题的常见解法梳理如下。

所谓的动态平衡，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，物体在任意时刻都例题F N2..不由矢量三角形可知：始二、解析法方法：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，得到自变量与应变量的函数关系，由自变量的关系确定应变量的关系。

例题2.1倾斜长木板一端固定在水平轴O上，另一端缓慢放低，放在长木板上的物块m?一直保持相对木板静止状态，如图所示．在这一过程中，物块m受到长木板支持力F N和摩擦力F f的大小变化情况是（）A.F N变大，F f变大B.F N变小，F f变小C.F N变大，F f变小D.F N变小，F f变大解析：设木板倾角为θ根据平衡条件：F N=mgcosθF f=mgsinθ可见θ减小，则F N变大，F f变小；例题°，重物通三、相似三角形方法：找到与力的矢量三角形相似的几何三角形，根据相似三角形的性质，建立比例关系，进行讨论。

例题3如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是(????)。

(A)N变大，T变小???(B)N变小，T变大???(B)N变小，T先变小后变大??(D)N不变，T变小解析:小球受力如图所示,此三力使小球受力平衡.力矢量三角形如图乙，设球面半径为R ，BC=h,AC=L,AO=R.则由三角形相似有：R G h =L F T =RF NG 、h 、R 均为定值，故F N 为定值，不变，F T ∝L ，由题知：L ↓,故F T ↓.故D 正确.归纳：相似三角形法适用于物体受到的三个力中，一个力的大小、方向均不变，其他两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何解析：以结点O 为研究对角，受到三个拉力，如图所示分别为F M 、F N 、F 合，将三力构成矢量三角形(如图所示的实线三角形),以O 为圆心，F M 为半径作圆，需满足力F 合大小、方向不变，角α减小，则动态矢量三角形如图中画出的一系列虚线表示的三角形。

三力平衡的四种解法处理三个力的平衡时，有四种解法。

（一）分解法：（二）合成法：（三）三角形法：（四）正交分解法：三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。

例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。

解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。

由正弦定理得：由直角三角形得：（三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解：先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。

例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。

在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？解：由三角形相似有由正弦定理有小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。

（2）同时用相似与正弦定理。

如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知α=45°, β=30°.求棒的重心位2010-11-16 12:24提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次绳与壁的夹角为a b2010-11-16 17:07最佳答案设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。

重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30°以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L)联立可求出L=3(3-√3)=3.8米在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目：一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？一般书中都有答案：弹簧伸长．（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））．图1 图2以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得N=mg，①T=2mgcosθ．②另外，根据胡克定律有T=k（2Rcosθ-L），③根据以上各式可得cosθ=（kL／2（kR-mg））．二、发现的问题到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．）但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？令cosθ=1，即θ=0得kL=2（kR－mg），即mg=（1／2）k（2R－L），这是一个重要的临界值．由cosθ的表达式可知，m越大，cosθ也越大，θ角就越小．当mg＜（1／2）k（2R－L）时，θ＞0，小环不在大环的最低点；随着m的逐步变大，θ逐步变小，当mg=（1／2）k（2R －L）时，θ=0，小环恰好降低到大环的最低点；以后随着m的再进一步变大，小环的位置不会再变化了（哪怕m增大到使cosθ的表达式变为负的）．由此可见，θ（或者cosθ）的表达式应该是“分段函数”，cosθ＝（kL）／（2（kR-mg）），mg≤（1／2）k（2R-L）1，mg≥（1／2）k（2R-L）这个问题还可以进一步研究下去．当mg≥（1／2）k（2R－L）以后，随着m的继续增大，θ≡0是不会再有变化了，但并不意味着就什么都不变．其实，当mg＜（1／2）k（2R －L）时，随着m的增大，弹簧拉力T和大环弹力N的大小始终满足T=2mgcosθ和N=mg，而且方向也相应改变．但一旦当mg≥（1／2）k（2R－L）后，m再增大时，T和N两个力的方向就都保持在竖直方向（与mg在同一直线）而不再改变，改变的仅仅是力的大小了．也就是说，T和N也是“分段函数”．T= k（2Rcosθ-L），（1／2）k（2R-L）k（2R-L），（1／2）k（2R-L）N= mg，（1／2）k（2R-L）k（2R-L）-mg，（1／2）k（2R-L）我们看其中N的第二段表达式“N=k（2R-L）-mg”，N＞0，表示N的方向向下，此时（1／2）k（2R－L）≤mg＜k（2R－L）；当N＜0，表示N的方向向上，此时mg＞k（2R－L）；而当mg=k（2R－L）时，N=0．也就是说，当m逐渐增大到mg=（1／2）k（2R－L）时，小环恰好降到最低点（θ=0），此时大环对小环的弹力N方向仍然是向下，大小仍等于mg（跟θ≠0时的情况相同）．不过随着m的进一步增大，N先是大小渐渐减小到0，然后再方向改变为向上并逐渐增大（弹簧弹力在这期间内则始终等于k（2R－L））．并不是小环一落到最低点大环对它的支持力马上变为向上的．有兴趣的读者可以自己画出T、N（的大小）还有θ随m的变化图线，都是一些“分段函数曲线”，其中都有一段水平段．度系数为弹簧与竖直方向的夹角，解得：联立求解得：。

三力动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。

因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。

因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。

现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G 的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。

根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。

三力动态平衡问题的几种解法物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。

因为物体受到的力都在发生变化，是动态力，所以这类问题是力学中比较难的一类问题。

因为在整个过程中物体一直处于平衡状态，所以过程中的每一瞬间物体所受到的合力都是零，这是我们解这类题的根据.下面就举例介绍几种这类题的解题方法.一，三角函数法例1．（2014年全国卷1）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。

现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。

与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（）A．一定升高B．一定降低C．保持不变D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定解析:设L0为橡皮筋的原长，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长,即小球与悬挂点的距离为，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:得：，，解得：，弹簧的伸长：，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：，即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故选A.点评：这种方法适用于有两个力垂直的情形，这样才能构建直角三角形，从而根据直角三角形中的边角关系解题.二，图解法例2.如图所示，半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，OA绳受力大小变化情况是______，OB绳受力大小变化情况是______．解析：对O点受力分析，根据O点合力是零可知绳OA和绳OB上拉力的合力跟重力大小相等，方向相反，也就是说这个合力的大小不变方向竖直向上。

根据图像OA绳受力变小，OB绳受力先变小后变大.点评：这种方法适用于一个力大小方向都不变，另一个力方向不变，只有第三个力大小方向都变化的情况.三，相似三角形法例3.（2014年上海卷）如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。

动态平衡问题的几种解法刘金艳在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。

方法一：三角形法则。

原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1.如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？图1解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。

挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。

由图可知，F2先减小后增大，F1随β增大而始终减小。

图2点评：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

方法二：解析法。

原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例2. 如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ ）图3A. 绳子的拉力F 不断增大B. 绳子的拉力F 不变C. 船所受的浮力不断减小D. 船所受的浮力不断增大解析：小船共受四个力作用：重力G 、浮力F 浮、水的阻力f 、绳子拉力F 。

1．三力动态平衡常用图解法、相似三角形法、正弦定理法、等效圆周角不变法等，三个力中重力一般不变：(1)若还有一个力方向不变，第三个力大小方向都变时可用图解法；(2)若另外两个力大小方向都变，且有几何三角形与力的三角形相似的可用相似三角形法；(3)若另外两个力大小方向都变，且知道力的三角形中各角的变化规律的可用正弦定理；(4)若另外两个力大小方向都变，且这两个力的夹角不变的可用等效圆周角不变法或正弦定理．2．多力动态平衡问题常用解析法．3．涉及到摩擦力的时候要注意静摩擦力与滑动摩擦力的转换．1．(2019·重庆市沙坪坝等主城六区第一次调研抽测)如图1，轻绳一端系在小球A上，另一端系在圆环B上，B套在粗糙水平杆PQ上．现用水平力F作用在A上，使A从图中实线位置(轻绳竖直)缓慢上升到虚线位置，但B仍保持在原来位置不动．则在这一过程中，杆对B的摩擦力F1、杆对B的支持力F2、绳对B的拉力F3的变化情况分别是()图1A．F1逐渐增大，F2保持不变，F3逐渐增大B．F1逐渐增大，F2逐渐增大，F3逐渐增大C．F1保持不变，F2逐渐增大，F3逐渐减小D．F1逐渐减小，F2逐渐减小，F3保持不变2.(2020·河北衡水中学调研)如图2所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动，用轻绳在O点悬挂一个重力为G的物体，另一根轻绳一端系在O点，O点为圆弧的圆心，另一端系在圆弧形墙壁上的C点，当该轻绳端点由点C逐渐沿圆弧CB向上移动的过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳拉力的大小变化情况是()图2A．逐渐减小B．逐渐增大C．先减小后增大D．先增大后减小3．(多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图3，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞π2 )．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中()图3A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小4．(2019·山东大联考三模)如图4，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，直径竖直，O为圆心，最高点B处固定一光滑轻质滑轮，质量为m的小环A穿在半圆环上．现用细线一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动．小环A及滑轮B大小不计，在移动过程中，关于拉力F以及半圆环对A的弹力F N的说法正确的是()图4A．F逐渐增大B．F N的方向始终指向圆心OC．F N逐渐变小D．F N大小不变5．(多选)(2019·山东烟台市第一学期期末)如图5所示，一质量为m、半径为r的光滑球A用细绳悬挂于O点，另一质量为M、半径为R的半球形物体B被夹在竖直墙壁和A球之间，B 的球心到O点之间的距离为h，A、B的球心在同一水平线上，A、B处于静止状态．重力加速度为g.则下列说法正确的是()图5mgA．A对B的压力大小为R＋rhB．竖直墙壁对B的摩擦力可能为零C．当只轻轻把球B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则A对B的压力大小保持不变，细绳拉力增大D．当只轻轻把球B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则A对B的压力减小，细绳拉力减小6．(2020·河南开封市模拟)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A 与竖直墙之间放另一截面也为半圆的光滑柱状物体B，整个装置处于静止状态，截面如图6所示．设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3.在B上加一物体C，整个装置仍保持静止，则()图6A．F1保持不变，F3增大B．F1增大，F3保持不变C．F2增大，F3增大D．F2增大，F3保持不变7．(多选)(2019·安徽省A10联盟开年考)如图7，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中()图7A．拉力F逐渐增大B．轻绳上的张力先增大后减小C．地面对斜面体的支持力逐渐增大D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小8．(2019·湖南衡阳市第一次联考)如图8所示的装置中，在A端用外力F把一个质量为m的小球沿倾角为30°的光滑斜面匀速向上拉动，已知在小球匀速运动的过程中，拴在小球上的绳子与水平固定杆之间的夹角从45°变为90°，斜面体与水平地面之间是粗糙的，并且斜面体一直静止在水平地面上，不计滑轮与绳子之间的摩擦．则在小球匀速运动的过程中，下列说法正确的是()图8A．外力F一定增大B．地面对斜面体的静摩擦力始终为零C．绳子对水平杆上的滑轮的合力一定大于绳子的拉力D．绳子A端移动的速度大小等于小球沿斜面运动的速度大小9．(2019·湖北省黄冈中学第三次模拟)哥伦比亚大学的工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌肉，可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作．如图9所示，连接质量为m 的物体的足够长细绳ab一端固定于墙壁，用合成肌肉做成的“手臂”ced的d端固定一滑轮，c端固定于墙壁，细绳绕过滑轮，c和e类似于人手臂的关节，由“手臂”合成肌肉控制．设cd与竖直墙壁ac夹角为θ，不计滑轮与细绳的摩擦，下列说法正确的是()图9A．若保持θ不变，增大cd长度，细绳ad部分拉力变大B．若保持θ＝90°，增大cd长度，细绳对滑轮的力始终沿dc方向C．若保持ac等于ad，增大cd长度，细绳对滑轮的力始终沿dc方向D．若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac>cd，则细绳对滑轮的力先减小后增大10．(2020·山东临沂市质检)如图10所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上的质量为2m 的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则()图10A．细绳OO′的拉力逐渐增大B．细绳对物块B的拉力逐渐变大C．斜面对物块B的支持力逐渐变大D．外力F逐渐变大11.(2019·安徽省皖北协作区联考)如图11所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ，OP 竖直放置，OQ水平，小球a、b固定在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力，作用于b 上，使a、b紧靠挡板处于静止状态．现用力F推动小球b，使之缓缓到达b′位置，则()图11A．推力F变大B．b对OQ的压力变大C．弹簧长度变短D．弹簧长度变长12．(多选)(2019·湖南长沙一中月考)《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000 kV的高压线上带电作业的过程．如图12所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O 点，另一端固定在兜篮上．另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制．身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E 点的电缆处．绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m，不计一切阻力，重力加速度大小为g.关于王进从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是()图12A．工人对绳的拉力一直变大B．绳OD的拉力一直变小C．OD、CD两绳拉力的合力大小等于mgmgD．当绳CD与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为33答案精析1．A[设小球A的质量为m，圆环B的质量为M，对A受力分析，如图甲所示，甲乙由平衡条件可得F3′cosα＝mg，F＝mg tanα，故随α增大，F增大，则F3′增大，即F3增大；再对两者的整体受力分析，如图乙所示，有：F1＝F，F2＝(M＋m)g，则F2不变，F1增大，故选A.]2.C[对物体受力分析，物体受力平衡，则竖直绳的拉力等于物体的重力G，故竖直绳的拉力不变；再对O点分析，O点总受竖直绳的拉力、OA的支持力F及OC绳的拉力而处于平衡状态，受力分析如图所示，F和OC绳的拉力的合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳端点上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，由图可知OC绳的拉力先减小后增大，故C正确．]3．AD[以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．] 4．D[在小环A缓慢向上移动的过程中，小圆环A处于三力平衡状态，根据平衡条件知mg 与F N的合力与F T等大反向共线，作出mg与F N的合力，如图，由三角形相似得：mg BO ＝F N OA ＝F T AB由于最高点B 处固定一光滑轻质滑轮，则F ＝F T ，可得：F ＝F T ＝AB BO mg ，AB 变小，BO 不变，则F 变小，故A 错误；F N ＝OA BOmg ，AO 、BO 都不变，则F N 不变，方向始终背离圆心，故B 、C 错误，D 正确．]5．AD [分析A 球的受力情况，如图所示，F N 与mg 的合力与F T 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似有：F N R ＋r ＝mg h ＝F T OA，得：F N ＝R ＋r h mg ，F T ＝OA h mg ，由牛顿第三定律知A 对B 的压力大小为：F N ′＝F N ＝R ＋r hmg ，故A 正确；B 在竖直方向受到重力，而A 、B 间无摩擦，由平衡条件知竖直墙壁对B 一定有摩擦力，故B 错误；当只轻轻把球B 向下移动一点距离，分析A 球的受力情况，如图乙所示：F N 与F T 的合力与mg 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得：F N R ＋r ＝mg L ＝F T OA 可得：F N ＝R ＋r Lmg ，F T ＝OA L mg ，由于L ＞h ，可知，F N 减小，F T 减小，由牛顿第三定律知A 对B 的压力减小，故C 错误，D 正确．]6．C [先对B 、C 整体受力分析，受重力、墙壁支持力和A 的支持力，根据平衡条件，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示，在B上加一C物体，相当于整体的重力增加了，故墙对B的作用力F1增加，A对B的支持力也增加，根据牛顿第三定律，B对A的作用力F2增加；再对A、B、C整体分析，受重力、地面的支持力、地面的静摩擦力、墙壁的支持力，根据平衡条件，地面的支持力等于整体的重力，故加上C物体后，地面的支持力和摩擦力均变大，则F3变大，故A、B、D错误，C 正确．]7．AD[小球B受重力mg、轻绳OB的拉力F T和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图．在F T转至水平的过程中，轻绳OB的拉力F T逐渐减小，拉力F逐渐变大，故选项A正确，B错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力，向上的支持力，向左的摩擦力和拉力四个力的作用，根据小球的受力分析可知，拉力F的竖直分力逐渐增大，水平分力先增大后减小，所以支持力逐渐减小，摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．]8．A9．C[细绳ad、bd的拉力大小等于物体的重力，如终不变，选项A错误；若保持θ＝90°，因F T ad＝F T db＝mg，则ad绳和bd绳拉力的合力方向指向左下方∠adb角平分线的方向，则细绳对滑轮的力方向指向左下方，不沿dc方向，选项B错误；若保持ac＝ad，则∠acd＝∠adc＝∠cdb，则此时ad绳和bd绳拉力的合力方向沿dc方向，即使增大cd长度，上述关系仍然不变，即细绳对滑轮的力始终沿dc方向，选项C正确；若θ从90°逐渐变为零，cd长度不变，且保持ac>cd，则ad与ac的夹角先增大后减小，ad与db的夹角先减小后增大，则ad绳和bd绳拉力的合力先增大后减小，即细绳对滑轮的力先增大后减小，选项D错误．] 10.D[由题可知，物块缓慢移动整体都处于平衡状态，则绳OO′的拉力等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于物块A的重力的大小，但是由于物块B上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故选项A、B错误；物块B未运动前，对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡方程可知：斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知外力F 逐渐变大，故选项C 错误，D 正确．]11．D [隔离a 分析受力，设此时a 、b 间作用力与水平方向的夹角为θ，如图甲所示，由力的平衡条件可得：F ′＝mg sin θ，F N ＝mg tan θ小球到达b ′位置，当a 、b 重新处于静止状态时，由几何关系可知，θ增大，则sin θ、tan θ增大，F ′减小，F N 减小，根据胡克定律可知弹簧的形变量变小，所以弹簧长度变长，故D 正确，C 错误；对a 、b 的整体受力分析如图乙所示：由共点力的平衡条件可知，a 、b 重新处于静止状态前后，OQ 挡板对b 的支持力始终和a 、b 的总重力大小相等，保持不变，推力F ＝F N 在减小，故A 、B 错误．]12．CD [对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示，绳OD 的拉力为F 1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD 的拉力为F 2，与竖直方向的夹角为α.根据几何知识可知θ＋2α＝90°，由正弦定理可得，F 1sin α＝F 2sin θ＝mg sin (180°－θ－α)＝mg sin (90°＋α)，王进从C 点运动到E 点的过程中，α增大，θ减小，则F 1增大，F 2减小，选项A 、B 错误；两绳拉力的合力大小等于mg ，选项C 正确；当绳CD 与竖直方向的夹角为α＝30°时，θ＝30°，2F 2cos 30°＝mg ，可得F 2＝33mg ，即工人对绳的拉力为33mg ，选项D 正确．]。