第七章 方差分析

第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在

z ( pˆ1 pˆ 2 ) ( p1 p2 )
pˆ1(1 pˆ1) pˆ 2 (1 pˆ 2 )
n1
n2
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4. 总体方差的假设检验
2020/2/4
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单个总体方差的假设检验
• 假设总体近似服从正态分布
• 检验的形式
– H0 ：σ²=σ0² H1 ：σ²≠σ0² (双侧检验) – H0 ：σ²≤σ0² H1 ：σ²＞σ0² （右侧检验） – H0 ：σ²≥σ0² H1 ：σ²＜σ0² (左侧检验)
• 检验统计量
–设有两总体X1 与X2，他们都服从正态分布：x 1～N (µ1, σ1²)， x2～N(µ2, σ2²)，从两总体中分别独立抽取容量为n1、 n 2的随机样本，其样本方差为S1²、S2²。
F

s12 s22

2 1

2 2
~ F (n1 1, n2 1)
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5. 单因素方差分析
– 一般单一总体参数检验假设有以下几种类型：
• Ⅰ H0 ：θ=θ0
H1 ：θ≠θ0 双侧检验假设
• Ⅱ H0 ：θ=θ0 或θ≤θ0 H1 ：θ＞θ0 右侧检验假设
• Ⅲ H0 ：θ=θ0 或θ≥θ0 H1 ：θ＜θ0 左侧检验假设 6
假设检验的有关概念
• 检验统计量
–在假设检验中，必须借助样本的统计量进行推断 。所选 的检验统计量分布必须已知，而且必须是不包含任何其 他未知参数的样本的函数；对实际抽样，可以计算出它 的具体值，并可估计其发生的概率。
– 总体服从二项分布 – 可用正态分布来近似(大样本)
• 检验的 z 统计量
pˆ p
z
~ N (0,1)
p (1 p )

第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。

一、数学模型

假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )

1 1 k n
（7-4）
因此，得到表 7-1 类型资料平方和与自由度的分解式为： 总平方和=组间(处理间)平方和＋组内(误差)平方和
k n k k n
( xij x ) 2 n ( xt x ) 2 ( xij xt ) 2
1 1 i 1 1 1
（7-5） 记作：
第一节
方差分析基本原理
方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因 素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。即将试验 的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推 断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
二、F 分布与 F 测验
1．F 分布
设想在一正态总体 N（μ，σ2）中随机抽取样本容量为 n 的样本 k 个，将各样本观测值整 理成表 7-1 的形式。此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由（7-8） 式算出的 st 和 se 都是误差方差 的估计量。以 se 为分母， st 为分子，求其比值。统计学
s e2
SS e2 DFe
[例 7.1] 设有 A、B、C、D、E5 个大豆品种（k=5） ，其中 E 为对照，进行大区比较试验， 成熟后分别在 5 块地测产，每块地随机抽取 4 个样点（n=4） ，每点产量（kg）列于表 7-2， 试作方差分析。
表 7-2 品 A B C D E 种 大豆品比试验结果（kg/小区） 取 1 23 21 22 19 15 2 21 19 23 20 16 样 点 3 24 18 22 19 16 4 21 18 20 18 17 Tt 89 76 87 76 64 392