高数下册精品课教案

高等数学精品课程 教案 课程代码 7100350 任课班级 交运2005-1,2,3

内容 8-2 偏导数 制作 邹兆南 教授 发布 基础部 高等数学精品课程建设小组 时间 2005 年 3 月 14 日 课程名称：高等数学AII（7100350） 8-2偏导数 教案 教师：邹兆南 任课班级：交运03-1,2,3； 页数：总5-1 序号 名称 教 学 内 容 说 明 版面设计 间分 分配

1 复习

一元函数处的导数在0x)x(fy 定 义： x x xy 0000 x0 x)x(f)x(flimlim)x('f 几何意义：曲线处切线的斜率在0x)x(fy：)x('fk0 物理意义：物体运动规律)t('s:t),t(ss000时刻的瞬间速度在

强调：导数的实质 的变化率处对在表示函数xx)x(fy)x('f'yxx000

1 5’

2 引例

考察：圆柱体体积HRV2 （1）当高H保持不变时，如何求体积V对底面半径R的变化率？ （2）当底面半径R保持不变时，如何求体积V对高H的变化率？

启发思维： 可否借助于一元函数导数来求变化率？ 2 2’

3 定义 条件：（1）)y,x()y,x(fZ00在点的某邻域内有定义。 （2） y固定于y0处（y保持不变）。 (3)当x在x0处有增量△x时，Z有偏增量： )y,x(f)y,xx(fzx0000  （4）极限存在： x x0 xzlim xy x, x 0000x00000 x0 x)y,x(f)x(flimzlimxzx)y,x()y,x(fz:)y,x(的偏导数对在函数结论 记号：)y,x(fxfzxz'x)y,x()y,x('x)y,x(00000000 类似：y y y 0000y000 x0y )y,x(f)y,x(flimzlimxz)y,x( 启发思维： (1) 极限： x x0 xzlim是一元（单）极限还是二重极限？ (2) 是否表示)y,x(xz00 )y,x()y,x(fz00在处沿平行于x轴方向的变化率？ (3) 符号：?)y,x(f)y,x(f'x'x0000 1 3 10’ 课程名称：高等数学AII（7100350） 8-2偏导数教案 教师：邹兆南 任课班级：交运03-1,2,3； 页数：总5-2 序号 名称 教 学 内 容 说 明 版面设计 间分 分配

4 偏导函数

偏导函数：若,)y,x(D)y,x(fz处的偏导数存在内每一点在则称此偏导数为偏导函数

y y 0y y xy x,0 x)y,x(f)y,x(flimz)y,x(f)x(flimxz偏

导数值： )oy,ox('y)oy,ox()y,x('x)oy,ox()y,x(f)y,x(fxzyz 00 2

2’

5 基本题

例1．设处在处在求),()(,)y,x()(:yzxz.yxyxz2121322 （1）8 3221),(xzyxxz （2）7 2321),(yzyxyz

教材：P15，例1 3

1 2

3 16’

例2．设),x(f),yx(cos)y,x(f'x112求 )yx(sin.)yxsin().yxcos()y,x(f'x121112

xsin),x(f'x21

纠错： (1) )yxcos()y,x(f'x12 (2) xsin)],x(f[),x(f'x'x211

例3．设zyzxlnxzyx:),x,x(xzy2110求证 （1）)(yxxzy按幂函数求导1 代入即得证

（2）)(xlnxyzy按指函数求导

教材：P15，例3

例4．设zu,yu,xu,)zy(ux求 （1）)zy(li)zy(xux （2）xx'yxxzxy]Z.y[yu1 （3）11xx'zxz)x.(y]Z.y[zu

启发思维： (1) 有哪些不同的求导方式？ (2)按哪种方式求导较简单？ 课程名称：高等数学AII（7100350） 8-2偏导数 教案 教师：邹兆南 任课班级：交运03-1,2,3； 页数：总5-3 序号 名称 教 学 内 容 说 明 版面设计 时间

分配

6 综合题

例1．设'y'xf,f)(),y,x(f)().yx(x)yx,yx(f21 222求 （1）u.u.),u(f)yx(xy)y,x(f22 （2）xyxfyxyf'y'x2 222

发散思维： （1）求f(x,y)有哪些方法？ （2）不先求f(x,y),可以直接求偏导数? 1

2 3 4’

例2．设yz,xz,)yx(zysin求 （1）1ysin)yx.(ysinxz （2）yxysin)yxln(.ycosz)yxln(.ysin.zeyx'y'ysimy)yxlim(

结构思维： （1）z是关于y的幂函数？指数函数？幂指函数？ （2）求幂指函数导数用什么方法？

例3．设'y'xxf,f,dy)y(y)y,x(f求20 （1）x)x(gy'xf22 （2）2xo'ydy)y(f

分析思维：

(1) dy)y(xo2：既是x的函数，又是y的函数?

(2) dy)y(xo2：是x的函数,不是y的函数?

7 * 概念深化题

例1． （1）设),(f,yxyx,,yxxy)y,x(f'x00 000222222求 000 x x002 x0 x0 x x00 x,000 x00limlim),(f)(flim),('xf （2）的地位对称性y,x),(f'

y 000

循环思维： (1) 按定义求fx(o,o)的步骤是什么？ (2) 先求xf，再代入（o,o）的步骤是什么？

(3) 思考：)o,o('x'xf)o(fo, ？ 1

2 10’ 例2． 设),(zx),(z,xyz'x0000 的偏导数处对在求 olim.)(lim),(f)(flim),(zo'x x x00 x0 x00 x,00000 x0 x





比较：)y,x(?xy)(y,x(?xzyz),(yxyx),(,'xlim'xzlim0 2 20) 100000000设偏导数的极限设偏导数的函数值

比较思维： (1) 按定义求)o,o('x'X)o,o(zz与求有何异冈？

(2) 求'xzlim'xzoyox)o,o( 与有何异冈？

(3) 求'Xzlim'xzoyox)o,o( 与有何异冈？ 课程名称：高等数学AII（7100350） 8-2 偏导数 教案 教师：邹兆南 任课班级：交运03-1,2,3； 页数：总5-4 序号 名称 教 学 内 容 说 明 版面设计 时间 分配

8 几何意义

偏导数的几何意义 （1）)y,x(xzoo：表示曲线oyy)y,x(fz在xo处切线的斜率。

（2）)y,x(yzoo：表示曲线oxx)y,x(fz在yo处切线的斜率。

图形：参见教材P,17

1 2

3 1 10’

例1．判断下列命题是否成立： （1）若处的切线存在在则曲线存在o)oy,ox(xyoy)y,x(fz,xz （√）

（2）若曲线存在则处的切线存在在)oy,ox(ooxE,xyy)y,x(fE （×） （3）处的切线存在在曲线存在00xyy)y,x(fzXz)OY,OX( （×） 例2．求旋转抛物面轴方向的切线方程处分别沿平等于在y,x),(yxE2122 （1）曲线222yyxz切线斜率：,xk),(x2221切线：2125y)x(z

（2）曲线,x,yxz122切线斜率：,yk),(y4221切线：1245x)y(z

比较思维 (1) 曲面22222yxzyxz与有何区别？

(2) 42222xzyyxz与有何区别？

9 可导与连续的关系 一元函数：可导与连续的关系： 可导连续 二元函数“可导”：特指偏导数zx，zy存在，关系：“可导”?连续 特殊与一般的关系： )y,x()y,x(zX00001在处沿平行于x轴方向连续（特殊方向） 2 1 3 15’ 例。设;""),()y,x(f)(:,),()y,x(),()y,x(,,oyxxy)y,x(f可导处在证明001000022 （2）不连续在),()y,x(f00 让：（1）“可导性”：):(,l)o,o(flimimx前例参见00 x0- x.00 x0 x （2）非连续性：考察特殊路径，令y=kx

)( )( 122202200单极限二重极限有关与)K(kk)kx(xkx.xyxxylxkxyyxlimim



