x x cos 11cos 0-=-< 2sin 22x
= 2)2(2x < ,
22x =
,02lim 20=→x x ,0)cos 1(lim 0=-∴→x x
,1cos lim 0=∴→x x ,11lim 0=→x 又 .1sin lim 0=∴→x x
x
注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。
（2）公式形象的记为：0
sin
lim
1x →=
例1． 求0sin 3lim sin 4x x x →
解略
例2．求0tan 2lim
x x
x →
解 ： 000tan 2sin 21sin 21
lim
lim lim 22
222x x x x x x x x cos x x cos x →→→===
15’
15’
A C
x
B
D
o
)
+)型幂指函数的极限。
1x +⎪-⎭3lim 1x ⎛+-
湖南机电职业技术学院教案（五）备课组长签名：教师签名：
教学场所、设备要求：
教 学 过 程 设 计（时间大体分配）
教学方法
Ⅰ.组织教学：
上节回顾：两个重要极限公式．无穷小的比较；作业讲析 Ⅱ、新课教学 一、 函数的增量
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
定义1 如果函数()y f x = 在0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 从0x 变到0x x +∆，函数()y f x =相应地从0()f x 变到0()f x x +∆，因此函数相应的增量为： 00()()y f x x f x ∆=+∆-
强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。
例1 设2
()31y f x x ==-，求适合下列条件的自变量的增量x ∆和函数的增量
y ∆：
（1）x 由1变化到0.5
（2）x 由1变到1x +∆ （3）x 由0x 变到0x x +∆ 解略。
二、函数连续性的概念
2’
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10’
由图形分析加强学生对定义
1. 一点处连续的定义。 定义2 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域有定义,如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y 也趋向于零，即：那末就称函数
在点x 0处连续。
例2 证明函数2()22y f x x x ==-+在点0x x =处连续。 定义 3 设函数
在点x 0的某个邻域内有定义，如果有称函数
在点x 0处连续，且称x 0为函数的
的连续点.
由定义，函数在()y f x =点0x 连续需同时满足三个条件： （1） 函数在点0x 的一个邻域内有定义，即0()f x 存在 （2） 0
lim ()x x f x →存在，即左右极限相等0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-
→→= （3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值0
lim ()x x f x →=0()f x
例3 讨论函数21()1
x f x x -=-在1x =处的连续性。
例4 讨论函数1,1()0,11,1x x f x x x x +>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
在1x =处的连续性。
例5 讨论函数1,1
()0,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩在1x =处的连续性。
2. 区间连续 设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于
， 即：=
，那末我们就称函数
在点b 左连续.
设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于
， 即：
=
，那末我们就称函数
在点a 右连续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a 点右连续，b
的理解
10’
10’
15’ 5’
设函数
当x →x 0时的极限存在且等于a ，即：
.而函数在点u=a 连续，那末复合函数
当x →x 0时的极限也存在且等于
.即：
。
注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：
[]00lim ()lim ()x x x x f g x f g x →→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所以---------初等函数在其定义区间内连续。
例4 求()x
x n +∞→1ln lim ．。
解：由对数函数的连续性有 原式()
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==+=→→x n x
n x x 1
01
1lim ln 1ln lim 1ln ==e ．
例5 求()
x
x n cos 1ln lim 2
+∞←．
解：由于0=x 属于初等函数()()
x
x x f cos 1ln 2
+=的定义域之内，故由f 的连续
性得 ()
()00cos 1ln lim
2
==+∞→f x
x n ．
五、 闭区间上连续函数的性质
定理1.4 （最大值和最小值定理） 如果函数 f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点1x 和2x ，使得
[]12()()(),,f x f x f x x a b ≤≤∈
亦即[]
{}1,()min ()x
a b
f x f x m ∈== ， []
{}2,()max ()x a b f x f x M ∈==
若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点
推论： 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。 定理1.5（介值定理） 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取
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