_____________高等数学_______________课程教案
授课类型 理 论 课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求：
理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
2、平面薄片的质量
3、二重积分的定义
()()∑⎰⎰=→∆=n
i i i i
D
f d y x f 1
,lim ,σηξσλ
几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ
⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y g x y d f x y d g x y d D D
D
其中:α
β,是常数。
2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则
f x y d f x y d f x y d D
D D (,)(,)(,)σσσ
=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
1
3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则：
σσσ
==⎰⎰⎰⎰1d d D
D
几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在D 上,f x y x y (,)(,)≤ϕ,则有不等式：⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x d y x f σ
ϕσ),(),(
特别地,由于),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-，有：σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰≤),(),(
5、【估值不等式】
设M 与m 分别是()y x f ,在闭区域D 上最大值和最小值, σ是D 的面积,则
⎰⎰⋅≤≤⋅D
M d y x f m σ
σσ),(
6、【二重积分的中值定理】
设函数()y x f ,在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点()ηξ,,使得
⎰⎰⋅=
D
f d y x f σ
ηξσ),(),(
重点与难点：二重积分的概念及性质 三、讲解例题：
【例1】估计二重积分
⎰⎰++=D
d y x I σ
)94(22 的值, D 是圆域
x y 224+≤。 解: 求被积函数 f(x,y)=x 2+4y 2
+9在区域D 上的最值：25max =f ,9min =f ,
于是有ππππ1004254936=⋅≤≤⋅=I
【例2】比较积分
⎰⎰+D
d )y x ln(σ与⎰⎰
+D
d )]y x [ln(σ2的大小, 其中D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)。 解：三角形斜边方程2=+y x
，在D 内有e y x <≤+≤21,故1<+)y x ln(, 于是
[]2
)y x ln()y x ln(+>+,因此>+⎰⎰D
d )y x ln(σ⎰⎰+D
d )]y x [ln(σ2 。
本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处。
作业 P79 5(2,3)
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”
部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
_____________高等数学_______________课程教案
授课类型 理 论 课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第十章 重积分
第二节 二重积分的计算法（1） 本授课单元教学目标或要求：
熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域D 为X －型：)x (y )x (21ϕϕ≤≤，b x a ≤≤，)x (1ϕ、)x (2ϕ在区间[]
b ,a 上连续。
()σd y ,x f D
⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面()y ,x f z =为顶的曲顶柱体的体积应用计算“平
行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：
.dy )y ,x (f dx d )y ,x (f D
b
a )
x ()x (⎰⎰⎰⎰=21
ϕϕσ
如果积分区域D 为Y －型：),y (x )y (21ψψ≤≤d y c ≤≤，)y (1ψ、)y (2ψ在区间[]d ,c 上连续。
⎰⎰⎰⎰=D
d
c )
y ()y (dx )y ,x (f dy d )y ,x (f 21
ϕϕσ 。
重点与难点：确定积分区域的类型，将二重积分如何转化为二次积分。 二、讲解例题： 【例1】改变积分
⎰⎰-x
dy )y ,x (f dx 1010的次序.
【例2】改变积分
⎰⎰⎰⎰--+x
x x dy )y ,x (f dx dy )y ,x (f dx 20
21201
02
的次序.
【例3】计算
σd xy D
⎰⎰
, 其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的区域。 解：(法一)x y x x D ≤
≤-
≤≤,10:1 , x y x x D ≤
≤-≤≤2,41:2
8
45
2
41
10
2
1
=
+=+=⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--σσσ
σσd xy dx d xy dx d xy d xy d xy x
x x
x
D D D
